2026年数字信号处理试题及答案

2026年数字信号处理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知序列x[n]={1,2,3,4}，其4点DFT为X[k]，则X[0]的值为A.6  B.10  C.14  D.16答案：B2.对连续时间信号x(t)=cos(2π·1000t)以8kHz采样，所得离散序列x[n]的周期为A.4  B.8  C.16  D.32答案：B3.设系统y[n]=x[n]+0.5y[n−1]，其冲激响应h[n]为A.(0.5)^nu[n]  B.δ[n]+0.5δ[n−1]  C.(0.5)^{n−1}u[n−1]  D.2(0.5)^nu[n]答案：A4.若FIR滤波器阶数为N，其线性相位条件为A.h[n]=h[N−n]  B.h[n]=−h[N−n]  C.h[n]=h[N−1−n]  D.h[n]=−h[N−1−n]答案：C5.对实序列x[n]，其N点DFT满足X[k]=X[N−k]，该性质称为5.对实序列x[n]，其N点DFT满足X[k]=X[N−k]，该性质称为A.共轭对称  B.共轭反对称  C.周期对称  D.奇对称答案：A6.双线性变换将s平面虚轴映射到z平面的A.单位圆  B.实轴  C.左半平面  D.右半平面答案：A7.设x[n]长度为L，h[n]长度为M，用基2FFT实现线性卷积，FFT点数N应满足A.N≥L+M−1且N为2的整数幂  B.N≥L+M  C.N≥max(L,M)  D.N≥L+M+1答案：A8.对IIR滤波器H(z)=1/(1−0.9z^{−1})，其稳定性判据为A.极点位于单位圆内  B.极点位于单位圆外  C.零点位于单位圆内  D.零点位于单位圆外答案：A9.窗函数法设计FIR低通，窗长N增大时，过渡带宽度A.增大  B.减小  C.不变  D.先增后减答案：B10.采样频率fs=16kHz，欲使数字频率ω=π/4对应模拟频率为A.1kHz  B.2kHz  C.4kHz  D.8kHz答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分；每题至少两个正确答案，多选少选均不得分）11.下列关于FFT的说法正确的是A.按时间抽取基2FFT要求N为2的幂  B.运算量O(Nlog₂N)  C.可计算任意长度序列DFT  D.原位运算可节省存储  E.输出顺序必为自然序答案：ABD12.关于z变换收敛域(ROC)，正确的是A.右边序列ROC为最外层极点外  B.左边序列ROC为最内层极点内  C.双边序列ROC为环状  D.有限长序列ROC为整个z平面  E.ROC内不能包含极点答案：ABCE13.下列属于线性相位FIR滤波器类型的是A.Ⅰ型  B.Ⅱ型  C.Ⅲ型  D.Ⅳ型  E.Ⅴ型答案：ABCD14.关于Goertzel算法，正确的是A.可计算单个DFT样本  B.运算量低于FFT  C.适合DTMF检测  D.为IIR结构  E.对N无2的幂限制答案：ACDE15.对模拟带通信号中心频率2kHz，带宽400Hz，采用带通采样，可无损重建的最小采样率为A.800Hz  B.900Hz  C.1kHz  D.1.2kHz  E.1.6kHz答案：AB三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=e^{j(π/3)n}的周期为________。答案：617.已知X(z)=1/(1−0.5z^{−1}),|z|>0.5，则x[∞]=________。答案：018.用汉宁窗设计FIR低通，窗长N=65，则过渡带宽度近似为________（单位π）。答案：8π/N=0.123π19.信号x(t)=5cos(2π·500t)+3cos(2π·1500t)，以fs=2kHz采样，不发生混叠的最低采样频率为________Hz。答案：3kHz20.8点DIT-FFT最后一级旋转因子W_8^3=________。答案：e^{−j3π/4}=−√2/2−j√2/221.系统函数H(z)=1+z^{−1}+z^{−2}的群延迟在直流ω=0处为________样本。答案：122.对H(z)=1/(1−0.8z^{−1})进行6bit定点量化，直接型结构极限环振荡最大幅度为________。答案：2^{−6}/(1−0.8)=0.0312523.线性卷积y[n]=x[n]h[n]，x长20，h长15，用重叠保留法，FFT长度取32，则每段输入数据长度为________。23.线性卷积y[n]=x[n]h[n]，x长20，h长15，用重叠保留法，FFT长度取32，则每段输入数据长度为________。答案：3224.多速率系统中，抽取因子D=3后，为防止混叠，前置滤波器截止频率应≤________（归一化角频率）。答案：π/325.对实信号采样率48kHz，做1024点FFT，频率分辨率________Hz。答案：48000/1024=46.875四、简答题（每题6分，共18分）26.简述用窗函数法设计FIR高通滤波器的步骤，并给出理想高通冲激响应表达式。答案：步骤：(1)确定理想高通频率响应()=(2)求理想冲激响应[(3)选窗w[n]，得h[n]=h_d[n]w[n](4)验证指标，若不满足则增大N或换窗。27.解释频率采样法设计FIR滤波器时，过渡带插入1～2个优化样本的作用。答案：过渡带样本可平滑理想矩形响应的突变，显著减小吉布斯振荡，使阻带衰减从约−20dB提高到−40dB以上，同时保持滤波器长度不变，仅增加少量优化变量。28.画出按时间抽取基2FFT的8点流图第一级结构，并标出输入倒位序排列。答案：第一级为4组2点蝶形，输入顺序x[0],x[4],x[2],x[6],x[1],x[5],x[3],x[7]（倒位序），蝶形单元上下节点距离为1，旋转因子均为W_2^0=1。五、计算题（共45分）29.（8分）已知序列x[n]={1,2,3,4}，h[n]={1,1}(1)计算线性卷积y[n]=x[n]h[n]；(1)计算线性卷积y[n]=x[n]h[n]；(2)用DFT法验证，取N=5。答案：(1)y[n]={1,3,5,7,4}(2)补零得x_5={1,2,3,4,0},h_5={1,1,0,0,0}X[k]={10,−2.5+3.44j,−2.5+0.81j,−2.5−0.81j,−2.5−3.44j}H[k]={2,1.31−0.95j,0.5−0.69j,0.5+0.69j,1.31+0.95j}Y[k]=X[k]·H[k]={20,−6.25+2.64j,−0.75−1.37j,−0.75+1.37j,−6.25−2.64j}IDFT得y[n]={1,3,5,7,4}，与(1)一致。30.（10分）对模拟系统H_a(s)=1/(s^2+√2s+1)，用双线性变换设计数字低通，采样周期T=1ms，截止频率f_c=200Hz。(1)求预畸变模拟截止频率Ω_c；(2)求数字系统函数H(z)；(3)画出直接Ⅱ型结构。答案：(1)ω_c=2π·200·0.001=0.4πΩ_c=2/T·tan(ω_c/2)=2000·tan(0.2π)=1453.1rad/s(2)将s←2/T·(1−z^{−1})/(1+z^{−1})=2000(1−z^{−1})/(1+z^{−1})代入得H(3)直接Ⅱ型：两个延时器，系数b_0=0.067,b_1=0.134,b_2=0.067;a_1=1.143,a_2=−0.413。31.（9分）设x[n]为实序列，其8点DFT为X[k]，已知X[0]=8,X[1]=2−j,X[2]=0,X[3]=1+j,X[4]=0(1)求X[5],X[6],X[7]；(2)计算Σ_{n=0}^{7}x[n]^2。答案：(1)由共轭对称X[k]=X[8−k](1)由共轭对称X[k]=X[8−k]X[5]=X[3]=1−j,X[6]=X[2]=0,X[7]=X[1]=2+jX[5]=X[3]=1−j,X[6]=X[2]=0,X[7]=X[1]=2+j(2)由帕塞瓦尔∑32.（8分）多速率系统如图，输入x[n]采样率48kHz，先插值L=2，再抽取D=3，插值滤波器H_I(z)与抽取滤波器H_D(z)为同一低通，截止ω_c=π/3。(1)画出高效实现结构，标明各节点采样率；(2)求输出采样率；(3)若H_I,H_D采用长度为N=61的Ⅰ型线性相位FIR，计算每秒乘法次数。答案：(1)采用多相+卷积合并，结构：x[n]→↑2→P_0(z^2)→↓3→y[m]→P_1(z^2)→↓3→节点速率：输入48k，插值后96k，多相支路48k，抽取后32k。(2)f_out=48·2/3=32kHz(3)每输出样本需N=61次乘法，每秒输出32000，故乘法次数=61×32000=1.952×10^6。33.（10分）用频率采样法设计N=32的FIR低通，理想截止k_c=8，在过渡带插入一个优化样本T_1。(1)写出频率采样向量H[k]表达式；(2)给出重构冲激响应h[n]的IDFT公式；(3)若要求阻带衰减≥−50dB，求T_1最优值（查表得0.390）。答案：(1)H[k(2)h(3)取T_1=0.390，此时阻带衰减约−50dB。六、综合设计题（共25分）34.（25分）某音频系统需构建48kHz采样的参数均衡器，传递函数采用二阶IIR：H要求：中心频率f_0=1kHz，增益G=12dB，带宽BW=200Hz，采用常Q型设计。(1)给出模拟原型峰值滤波器传递函数H_a(s)；(2)用双线性变换得数字系数，T=1/48000s；(3)画出直接Ⅱ型结构，标出系数；(4)分析