第十章二元一次方程组数学活动（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

数学活动

第十章

二元一次方程组

人教版（新教材）·七年级下册学

习

目

标123知道以一个二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，了解二元一次方程的图象是一条直线；能通过两个二元一次方程的图象求方程组的解（直观感知）；能分析轮胎换位问题中的数量关系，列出方程组求解.经历“列表—描点—观察—猜想—验证”的探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想；通过将方程转化为图象，感悟数形结合思想；在解决轮胎换位问题的过程中，进一步培养建模能力.在探究活动中感受数学的奇妙与统一，激发学习兴趣；通过解决实际问题，体会数学的应用价值，增强学好数学的信心.二元一次方程💡核心定义含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。📝经典示例x-y=1✨关键特点通常有无数个解，解的形式是数对，二元一次方程组💡核心定义由两个或两个以上的二元一次方程联立组成的方程组。📝经典示例

✨关键特点解的情况有三种：

唯一解、无解、无数解。知识回顾新知导入1.二元一次方程x-y=0的解有多少个?请你写出一些它的解.无数个.……2.在平面直角坐标系中，一组有序数对表示一个点的坐标，你能把问题1中写出的解分别用一个点的坐标表示出来吗?(1，1)，(-1，-1)，(0，0)……x=1，y=1；x=-1，y=-1；x=0，y=0；

我们已经知道二元一次方程有无数个解，这些解是一对一对的数值.大家思考一下，能否把这些解在平面直角坐标系中表示出来？如果能，这些点会有什么规律？探究问题

——二元一次方程的图象.新知探究活动1

二元一次方程的“图象”做一做二元一次方程x－y＝0的“图象”（1）请同学们写出方程x－y＝0的几个解（至少5个），x-y=0xy-3-3-2-2-1-100112233（2）将这些解转化为有序数对（x，y）(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(-1,-1)(-2,-2)(-3,-3)新知探究活动1

二元一次方程的“图象”做一做（3）在平面直角坐标系中描出这些点，观察这些点的位置有什么特征.1234-4-3-2-10xy1234-4-3-2-1(5)过其中任意两点作直线，你有什么发现?二元一次方程x－y＝0的“图象”（x，y）(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(-1,-1)(-2,-2)(-3,-3)这些点都在同一条直线上.（4）这些点的分布状态是怎样的？是杂乱无章的散点，还是呈现出某种特定的排列趋势所有描出的点，似乎都落在一条经过原点(0,0)的直线上，新知探究活动1

二元一次方程的“图象”做一做二元一次方程x－y＝0的“图象”1234-4-3-2-10xy1234-4-3-2-1（5）在这条直线上任意取一点，如(4,4)，它的坐标是方程x－y＝0的解吗？直线上任意一点的坐标都是方程的解.把x=4代入x－y＝0中4-y=0y=4∴(4，4)的坐标是方程x－y＝0的解（6）请大家再取几个点试试.以二元一次方程x－y＝0的解为坐标的点都在同一条直线上；反之，这条直线上任意一点的坐标都是这个方程的解.结论：新知探究活动1

二元一次方程的“图象”议一议小组合作——自主探究其他方程的“图象”每个小组小组展示：各小组汇报探究结果，展示所画的图象。2x+y=4x-2-101234y86420-2-4填写下面的表格：x-y=-1x-3-2-10123y-2-1012342x+y=4xyx-y=-1xy根据左边的表格画出图象1234-4-3-2-10xy1234-4-3-2-12x+y=4x-y=-1(1，2)（7）自选一个二元一次方程（如2x+y=4、x-y=-1等），重复上面的探究过程，看看是否得到同样的结论？新知探究活动1

二元一次方程的“图象”归一归（1）二元一次方程的“图象”含义1234-4-3-2-10xy1234-4-3-2-1方程的图象：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象二元一次方程的解平面直角坐标系中的一个点坐标点组成的图形二元一次方程的图象结论：在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线技巧提示：巧用截距核心原理：两点定线根据“两点确定一条直线”的几何事实，只需找到二元一次方程的任意两组解，在坐标系中描出这两点并连线，即可得到图象。这种高效的方法被称为“两点法”。•为简化计算，优先选取直线与坐标轴的交点。•Y轴交点：令x=0，代入方程求解y的值。•X轴交点：令y=0，代入方程求解x的值。几何直观演示点A点B两点确定一条直线新知探究活动1

二元一次方程的“图象”归一归（2）如何简便地画出一个二元一次方程的图象？新知探究活动1

二元一次方程的“图象”画一画3.拓展延伸——方程组的图象解法

1234-4-3-2-10xy1234-4-3-2-12x+y=4x-y=-1(1，2)新知探究活动1

二元一次方程的“图象”议一议

二元一次方程组的解就是两个二元一次方程的图象（两条直线）的交点坐标.（2）我们已经知道每个二元一次方程对应一条直线，那么二元一次方程组对应什么？方程组的解与这两条直线有什么关系？（3）两条直线的交点个数有几种情况？这与方程组的解的情况有什么关系？两直线相交——唯一解；两直线平行——无解；两直线重合——无数解.新知探究活动2

轮胎换位问题议一议背景了解新知探究活动2

轮胎换位问题议一议背景了解前轮任务繁重：承载主要重量，负责转向、驱动和主要制动，工作负荷大。磨损更快：长期处于高负荷运转，磨损速度通常是后轮的1.5到2倍。任务单一：主要负责分担部分承重和随动，不参与主要的转向与驱动。磨损较慢：工作状态相对轻松稳定，受力均匀，整体磨损速度明显更慢。后轮新知探究活动2

轮胎换位问题议一议背景了解经济上的浪费·寿命折损当单轮过度磨损被迫更换时，同轴轮胎往往还有剩余寿命。定期进行轮胎换位，能让整套轮胎的综合使用寿命延长20%~30%，避免了不必要的提前报废，实实在在地节省了用车成本。抓地力严重失衡花纹深度差异过大，在湿滑路面或紧急避让时，极易发生侧滑、甩尾，车辆失控风险激增。刹车距离显著延长轮胎磨损不均破坏了制动平衡，导致刹车效能下降。在突发状况下，多一米的刹车距离就可能意味着事故的发生。新知探究活动2

轮胎换位问题议一议（1）问题展示,

资料显示，汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000km时报废。如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程.问题中的关键信息：

前轮寿命：60000km

后轮寿命：80000km分

析两对轮胎同时报废只交换一次目标新知探究活动2

轮胎换位问题议一议问题中的关键信息：

前轮寿命：60000km

后轮寿命：80000km（2）轮胎的寿命与行驶里程有关，如何用数学语言描述轮胎的‘磨损程度’？2.分析建模

可以把一个新轮胎开至报废时的磨损程度看作单位“1”有2个未知数，设汽车行驶xkm后交换轮胎，交换后又行驶ykm两对轮胎同时报废.（3）问题中的未知数有几个？可以怎样设未知数?新知探究活动2

轮胎换位问题议一议问题中的关键信息：

前轮寿命：60000km

后轮寿命：80000km2.分析建模（3）问题中的的等量关系是什么？前轮换车轮前的磨损+前轮换车轮后的磨损=单位1后轮换车轮前的磨损+后轮换车轮后的磨损=单位1换轮前行驶x公里产生磨损量换轮后行驶y公里产生磨损量前轮后轮

新知探究活动2

轮胎换位问题议一议2.分析建模（4）设汽车行驶xkm后交换轮胎，交换后又行驶ykm两对轮胎同时报废可得怎样的方程组，

新知探究活动2

轮胎换位问题议一议（5）你还有其他解法吗？能否用一元一次方程求解.问题中的关键信息：

前轮寿命：60000km

后轮寿命：80000km解：设一共行驶S千米轮胎同时报废，由题意可得：

解方程得：S≈68,571.4公里设汽车行驶xkm后交换轮胎，由题意得：

小结：二元一次方程组在解决此类问题时，思路更直接、表达更清晰.课堂小结知识总结（1）

二元一次方程的几何意义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上；这条直线叫作这个方程的图象.（2）二元一次方程组的几何意义：两个二元一次方程的图象（两条直线）的交点坐标就是方程组的解（3）两条直线的位置关系与方程组解的情况：相交（唯一解）、平行（无解）、重合（无数解）（4）轮胎换位问题：通过设两个未知数，列方程组求解，得到最佳换位时机.课堂小结方法总结（1）数形结合思想：将抽象的方程与直观的图形联系起来，从“形”的角度理解“数”的关系.（2）建模思想：将实际问题转化为数学模型（方程组），求解后再回归实际解释.（3）转化思想：将新问题转化为已解决的问题（如轮胎换位转化为磨损率的方程）.课堂小结易错提醒（1）活动1易错点：描点不准确导致观察结论偏差；认为所有二元一次方程的图象都过原点（实际上只有常数项为0的方程才过原点）.(2)活动2易错点：磨损率概念理解不清，导致方程列反；单位不统一（如忘记将单位统一为km）；计算粗心，特别是去分母时漏乘.(3)数形结合理解偏差：误以为方程的解就是直线上的任意点（正确），但反过来直线上的任意点坐标都是方程的解（正确），这两者是等价的.课后练习