2026年上海高考数学模拟试卷试题及答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页静安区2026年第二学期教学质量调研高三数学试卷2026.04考生注意：1．本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、准考证号等信息，粘贴考生本人条形码．2．本考试分设试卷和答题纸．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在草稿纸、试卷上作答一律不得分．3．可使用符合规定的计算器．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．直径为的球的表面积为______．（计算结果保留）2．设i是虚数单位，计算：______．3．在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答）4．双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示）5．若，则______．6．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数）参考数据：若随机变量，则，，．7．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______．8．已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______．9．在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______．10．如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______．11．若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______．12．设，函数，给出下列三个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，，则．其中所有正确结论的序号是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置上，将代表正确选项的小方格涂黑．13．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．14．已知集合，，则（

）．A． B． C． D．15．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（

）．A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子”B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子”D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”16．设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：①存在最小值，且最小值小于零；②存在最大值，且最大值大于零．则下列判断正确的选项是（

）．A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①和②都错误 D．①和②都正确三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．年份20212022202320242025年份代码x12345年销售量у（万台）23.52.589(1)用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）(2)为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表．知晓不知晓合计A地区8020100B地区4060100合计12080200试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平）附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；0.050.010.001k3.8416.63510.82818．已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）．(1)依次写出数列的前项；(2)设数列的前项和为，求．19．如图，在长方体中，，，，是的中点．(1)求四棱锥的体积；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值；(3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数（且）．(1)当时，求函数的极值；(2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；(3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【详解】由题意知球的半径，所以球的表面积.2．【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可.【详解】，所以.3．15【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.【详解】二项展开式的通项公式为.令，解得，则.故的系数为15.4．【分析】首先得到双曲线的两条渐近线，再利用正切两角和差公式求解即可.【详解】由题可得，，因此渐近线方程为，两条渐近线斜率为，.两直线夹角，夹角公式为，代入得，由于且，因此夹角大小为.5．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解.【详解】，故.6．0.954【详解】依题意，活塞销的直径，，因此，所以随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是0.9547．【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件，依题意，，，，由全概率公式得，所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是.8．【详解】当时，，，又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，，．9．##【分析】设的中点为，在底面的投影为，则就是与底面所成角，再解三角形求正弦值即可．【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图，由对称性可知在上，就是与底面所成角，又，，又是等腰直角三角形，，，，．10．【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出.【详解】因为，，所以.以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，即.因为为边的中点，所以.因为，所以.直线：，即.直线：，即.联立，解得，即.故.11．【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可.【详解】设，，，，因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆，可得；且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，则，，，可得，联立方程，解得，且，则，可得，，所以.12．②③【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解.【详解】对①：若，即时，有，则在区间上单调递增，故①错误；对②：由，则当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递减，则时，，当时，，当时，，要使得存在最大值，则，解得，故②正确；对③：由题意可得，若，则在上，则，由，则；若，则，有，故；综上可得：恒成立，故③正确.13．A【分析】根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断．【详解】解：定义域为故排除，又，函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除，，当时，的变化是越来越快，故排除故选：．【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．14．D【详解】由解得或，即集合，由可得，解得，即集合；所以.15．C【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可．【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件.对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子”包含事件、事件.两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足.对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件.两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足.对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件.两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足.对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件.两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足.16．A【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解.【详解】设中点为，若、为同一平面的相邻顶点，则，则，即，，此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；若、为同一平面的不相邻顶点，则，则，即，此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；若、为体对角线上两顶点，则，则，即，则，此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零；综上可得：①正确；②错误.17．(1)(2)在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化的知晓情况有显著差异【分析】（1）计算出样本中心以及回归系数和，即可求解；（2）利用列联表中的数据，代入公式计算观测值，并与临界值3.841进行比较，从而判断两个分类变量是否有关.【详解】（1）由表可知，样本中心为：..则.所以，净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程为：.（2）根据列联表中的数据，计算的观测值：.因为，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异.18．(1)数列的前项依次为(2)【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项；（2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​．【详解】（1）根据题意可得，，所以，，，，，，所以数列的前项依次为．（2）．所以．19．(1)(2)【分析】（1）直接利用棱锥的体积公式求解；（2）通过建立空间直角坐标系，得到两个平面的法向量进而求解二面角即可.【详解】（1）因为底面是直角梯形，上底，下底，高，因此梯形面积，四棱锥的高为到底面的距离，即，因此体积.（2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，根据题意得各点坐标，，，，平面的一个法向量为，在平面中，向量，，设平面的法向量为，则令，得，即.设锐二面角为，则，因此锐二面角大小为.20．(1)(2)证明见解析(3)存在定点，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程，并与椭圆联立方程组，利用韦达定理及的条件，建立直线参数间的关系，再使用点到直线的距离公式即可证明.（3）设直线的方程为，并与椭圆联立方程组，求出的值，结合三点共线则即可求解.【详解】（1）由题意知，即.又因为离心率，所以，所以.故椭圆的方程为.（2）证明：设。因为，所以.设直线的方程为，联立方程组，消去得，由韦达定理得.代入，即，整理得。代入韦达定理结果并化简得。原点到直线的距离所以原点到直线的距离为定值.（3）存在定点，理由如下：由（1）知，设直线的方程为，设，则，联立方程组，消去得，由韦达定理得.设，若三点共线，则，即，整理得.将代入上式，化简得.代入韦达定理结果，得.化简得，解得.所以存在定点，使得三点始终共线.21．(1)极大值，无极小值(2)，切点坐标为(3)的取值范围【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值；（2）先求导得到切线斜率公式，再根据“切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数”列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标；（3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围．【详解】（1）当时，，的