信息与计算科学专业英语 数学与统计学 译文

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第一章基础数学

§1.数学和数学语言

数学来自于人类的社会实践，例如，工业和农业生产、商业活动、军事行动和科技研究。

反过来，数学服务于实践，并在各个领域都发挥着重要的作用。如果没有数学的应用，现代

科学和技术分支就无法定期发展。

从人类的需求开始，出现了数字和形式的概念。然后几何发展于土地测量问题，三角学

来自于测量问题。为了处理一些更复杂的实际问题，人建立并求解了未知数的方程，从而产

生了代数。在17世纪以前，人类局限于基础数学，即几何、三角学和代数，其中只考虑常

数。17世纪工业的快速发展促进了经济和技术的进步，并需要处理不同数量的问题。从常

数到变量的跳跃带来了数学的两个新分支一解析几何和微积分，它们属于高等数学C

数学语言是一种带有符号和符号的语言，全世界都是如此。公式、图表和图表有不同的

符号。一些最著名的数学符号是阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、加法符号

"+"、减去乘法"X"、除法匕"和等式"二"。数学家们研究概念和命题。公理、

彳院、定义和定理都是命题。符号是数学中一种特殊而强大的数学工具，经常被用来表达概

念和命题.

数学中的结论主要是通过逻辑推理和计算得出的。在数学的悠久历史中，数学方法的中

心位置被逻辑推理所占据。现在，由于电子计算机的开发迅速和应用广泛，计算的作用变得

越来越重要。在我们的时代，计算不仅被用于处理大量的信息和数据，而且还被用于执行一

些工作，而这些工作仅仅可以通过逻辑推理来提前完成这些工作，例如，大多数几何定理的

证明。

§2.方程及其方程应用

等式是两个相等的数或数的符号之间相等关系的表述。因此，r(r-5)=「2-5r和x-3=5是

等式。等式有两种：恒等式和条件等式。算术或代数恒等式是一个等式。在这样的方程中，

这两个等式要么是相同的，要么通过计算变得相等。因此,12-2=2+8;(m+n)(m-n)=m2-n2

是恒等式。涉及字母的恒等式对于其中字母的件可一组数值都是正确的。因此，当例如x=3

和r=7时，标识x(+2)=+2x变成3(7+2)=21+6和27=27。一个等式只对其中一个

字母的某些值成立，或对其两个或多个字母的某些相关值成立，它是一个条件方程，或仅仅

是T方程。因此，3x-5=7仅适用于x=4;而2x-y=10对于x=6和y=2,以及对于x和

y的许多其他值对都是正确的。方程的根是满足该方程的彳切可数字或数字符号。要得到一个

方程的根或根，就称为求解一个方程。有各种各样的方程式，它们是线性方程、二次方程等。

求解一个方程是指求出未知项的值。要做到这一点，我们必须进行移项，直到未知项单

独出现在方程的一边，从而使它等于另一边的一些东西。然后我们得到未知数的值和问题的

答案。因此，要求解这个方程，意味着移项，而使这个方程恒成立，直到只剩下未知量在一

边，无论哪一边.

§3.虚数和复数

随着我们在代数研究中的进展，几乎每一步都涉及到使用一种更复杂和更精细的数字

类型。在算术中，正整数和正分数对所有要求都有足够的满足。在代数的开头，引入了负整

数和分数。二次方程的解，迫使我们得到有理数，并导致了对自由基操作方法的研究，以及

自由基方程的解。每一种新的数字都是一个我们应该求解的方程的根，随着每个数字的引入，

我们的代数方法的幕和普遍性都增加了。

到目前为止，一个负数的平方根一直被避免，或忽略它是一个虚构的。的确，我们无

法想象这个数字可以测量到的任何长度。正数是我们所需要测量的全部正数。同样地，有非

常简单的数学需求的人可能会注意到，由于正整数足以进行计数，因此分数和无理数是不必

要的。

就像我们用负数和有理数定义和使用加、减、乘法和除法的运算一样，现在我们将在

所谓的想象上定义这些操作的意义。这些数字的引入使我们能够完全求解所有情况下的二次

方程。它们经常被用于应用数学的许多分支中，特别是在电的理论中。

方程X2+1=O,或X2=-l，表示，X是一个平方为-1的数字。通过定义一个新的数字,

作为一个平方为-1的数字，我们得到了方程乂2+1=0的一个根。

正数都是单位+1的倍数，负数都是单位-1的倍数.同样，纯虚数是虚单位口的实

数倍。虚数单位口通常用字母i表示，即3d=3i0

如果一个实数用一个正号或一个负号合并成一个纯虚数，则由此得到的表达式称为复

数。复数是一个同时包含实数和虚数的数。复数有实部和虚部。

我们得到了复平面，一个复数可以表示为一个点.

§4.根式

根式是一个代数或算术表达式的一个确定的根。因此，S,V4和7r2-3r-l都

是根式。游中的小数字3称为指数。该指数决定了根式的次数并指出被开方的根。被开

方数是根号下的数字或表达式。

根式的表达式可以用两种表达方式：用根号或分数指数。

有理数是一个正的或负的整数或任何可以表示为两个整数的商或比的形式的数。因此,

8,4,6.175是有理数。

不是有理数的任意实数是无理数。如果一个根号下的数根本无法得到准确显示的话，

这个根式表示的就是无理数。

循环小数虽然是无穷的，但它也不是无理数，因为任何一个循环小数都可以表示为普

通分数,因此是有理数。一个负数的平方根被称为虚数。

所有代数数可以分为两类：实数和虚数。实数有两种，有理数和无理数。

一个不尽根是一个无理数，被开方数是有理数。

§5.对数和指数

对数的发明是为了缩短扩展数字计算的工作，它涉及一个或多个乘法、除法、乘方和开

方的运算。它的使用减少了计算量，使得需要几个小时进行计算的工作，在对数的帮助下花

很少的时间就能完成。

如果我们写方程〃二夕(1)

表示数字n,对数a,底数b,其中的内在联系，用对数写成

logJ=a（2）

读作"以b为底n的对数为a〃.我们可以用下面的说法来定义对数和底：

一个给定数的对数是另一个称为底的数字的幕指数。要进行升幕运算使其等于给定的数。

重要的是要认识到方程（1）和（2）仅仅是两种不同的表达形式，但意义相同，这点

很重要。一种是指数形式，另一种是对数形式。牢记这样一个事实：对数是一个指数。因此，

81

在81=3」中给定数字81,底是3,对数是4,即log3=4。

常用对数的底是10。因此，常用对数表实际是指数为10的表。由于这些指数的较大

部分的接近于无理数的值，因此通过对数的计算只给出近似的结果。然而表中每个对数是

20或更多的十进制数；因此，事实上要想得到想要的精度，就要使用适当的表了。常用对

数系统专门用于数字工作中。

另外一个用于计算的对数系统为为自然对数系统。它的底是无理数2.7182,这是通常

用字母e表示，主要用于理论上。

我们可以证明前面给出的定律，对有理数指数成立的，对无理数也是成立的。在利用对

数进行计算时，也是成立的。

Chapter!!几何

§1.平面几何

几何学起源于很久以前由巴比伦人和埃及人测量他们的土地被尼罗河洪水淹没的地方。

希腊语几何来源于地理，意思是"地球"，中加速器，意思是测量。早在公元前2000年，

我们就发现这些人的土地测量员通过利用几何的原理重建了消失的地标和边界。

几何学是一门处理用线条构成的图形的科学。对几何学的研究是对成功的工程师、科学

家、建筑师和绘图员进行培训的重要组成部分。木匠、机械师、石匠、艺术家和设计师都将

几何学的原理应用到他们的行业中。

几何学是数学的一个分支。这个数学分支主要不研究数字，尽管它使用数字。它并不主

要研究方程，虽然它也使用方程。它主要是关于图形的研究，如三角形、平行四边形和圆。

一个立体图形有长度，宽度和厚度。一个平面图形有长度和宽度，但没有厚度。一条线

有长度，但没有宽度也没有厚度。线可以是直线或曲线C一个点有位置但没有尺寸。

点是最基本的几何形状。当一个点移动时，形成的轨迹可以为直线，也可以是曲线。当

直线运动时轨迹可以是一个表面或一个立体图形。线段是一条线上两个给定点之间的距离，

这两个点相应地被称为其端点。

这条直线的名字是用大写字母或一个小写字母标记c有三种线：直线、折线和曲线。一

条曲线或简单地说，曲线是一条不属于直线的直线。折线由连接的直线段组成。

对于任意两条直线，都有三种不同的位置关系。如果它们位于同一个平面上且不相交，

它们被称为平行线。如果它们只有一个共同点，它们被称为相交线，共同点被称为它们的交

点。如果这两条线既不平行也不相交，那么它们就不能位于任1可公共平面上,所以它们被称

为异面直线。

一个立体是一个三维图形。立体的常见例子是立方体、球体、圆柱体、圆锥体和金字塔

形。一个立方体有六张光滑而平坦的面。这些面被称为表面或简单的平面。一个表面是二维

的，有长度和宽度.黑板或桌面的表面是平面的一个例子.

射线是从某一点开始并无限延伸的线。从同一点出发的两条射线构成一个角。这甚个射

线就是角的两臂或两边。如果角的两边在一条直线上以相反的方向伸展，这个角称为平角。

平角的一半称为直角。锐角是小于直角的角度。大于直角的角是钝角。比平角大的角称为优

角。角AOB是由两射线0A和0B从同一点出发形成的，0A逆时针方向旋转，则角的轨

迹为正。当0A顺时针旋转时，角的轨迹为负。0A称为始边，0B称为终边。当两个相邻

的角之和是直角时，称它们是互余的，或者说一个是另一个的余角。当相邻两个角的和是一

个平角，称它们是互补的或说一个是另一个的补角。两直线AB和CD彼此相交于点0,或

者说AB交CD于点0.在这种情况下AOC和/BOD被称为对顶角，它们大小相等。一

条直线EF与两条平行线AB和CD相交。ZL和/2称为对顶角。/2和/3为内错角.z3

和/4是同旁内角。

有三条边的直线图形叫三角形。等腰三角形是两边相等的三角形。等边三角形是所有边

长者相等的三角形。三角形的一个角是直角时，我们称为直角三角形。当一个角是钝角时，

我们称为钝角三角形。当三角形的所有角都是锐角时，我们称它为锐角三角形。当三角形的

所有的角都相等时，称为等角三角形。在一个直角三角形中，直角所对的边称为直角三角形

的斜边。

在平面上，所有都与平面上的一个固定点距离相等的点构成的一个封闭的曲线称为圆。

固定点为圆心。通过圆心并且结束在圆上的直线称为直径。直径的一半是半径。闭合曲线的

长度称为周长。

从这个定义可以明显看出，一个直径是一个弦。圆的任＜可部分都是一个弧，比如弧AE,

用AE表示。点A和点E将圆划分为劣弧AE和优弧ABE。一个直径将一个圆分成两个弧，

称为半圆，如AB和BCA。

当在一个公共平面上有许多直线时，它们可能会形成一个多边形.多边形是一个以直线

为边界的封闭图形，线段称为多边形的边。最常见的正多边形包括三角形、四边形、五连形、

六边形和八边形。一个有三条边的直线图形被称为三角形。平行四边形是一个著名的四边形，

它的两组对边分别相互平行。梯形是另一个著名的四边形，其中只有一组对边是平行的。

§2.平面解析几何

解析几何的发展通常归功于两位法国数学家，费马和笛卡尔。解析几何的主要特征是它

在几何研究中使用代数。一个不那么强调但仍然重要的特征是它允许代数关系的几何可视化。

从历史上看，解析几何的发展为微积分和积分的发展打开了大门，许多人认为微积分是开始

于17世纪的科学革命的基本数学工具。

解析几何是通过代数关系来研究几何图形，其中方程的运算描述了它们的位置、形成和

分解。因此，解析几何为微积分和向量代数揖共了基础。通过提供一种代数函数可视化的方

法，它汇集了代数的分析工具和几何的可视化即时性特点。

为了以代数的方式来表示几何图形，点用它相对于会标系的唯一对应坐标来表示，如笛

卡尔坐标系。给定图上所有点的坐标都满足一个代数方程，称为点的轨迹方程。另一方面，

一个代数方程的解可以看作是相应点的坐标，然后所有的点构成一个几何图形，称为代数方

程的几何轨迹。因此，解析几何也被称为坐标几何。总之解析几何中有两个主要主题，其中

一个是对于一个给定的代数方程的几何轨迹。

坐标

解析几何中的关键思想是建立一个平面上的点和数对（x,y）之间的一对应关系。选

择两条垂线和长度单位。

按照惯例，我们称水平轴为乂轴，纵他为y他，它们的交点是原点.习惯上把乂轴的右

侧当作正方向，Y轴上方为正方向。每个轴按所选择的单元长度进行度量，因此字母0代

表原点，并且符号+a表示与x轴原点右侧a个单位有关，或者与v轴原点上方a个单位有

关。类似地，-a与x轴原点左侧a个单位有关，或者与y轴原点下方a个单位有关。这样，

所有实数和x轴上的点之间就建立了——对应的关系，Y轴上的点与全体实数之间也建立了

—对应关系。

我们将以下规则将平面上一个点和数对联系起来：我们从点到两个轴画垂线。如果这些

线与X轴相交于点a,与y轴交于点b,我们把这对数字(a,b)赋值给这个点。我们称

(a,b)为点P的坐标，通常记作P(a,b1属于X轴上的符号a称为P点的横坐标；

属于y轴上的符号b称为P点的纵坐标；相反的，如果我们找到对应的点P(a,b),我们

通过x轴上标出为a的点画一条平行于y轴的线，并通过y轴上标为b的点画出另一条平

行于x轴的线。这两条平行线的交点被标记为P(a,b1

两个轴将平面划分成23个象限，分别称为第一、第二、第三、和第四象限，标记为I,

n,m和IV。第一象限中的点的两个坐标都为正。第二象限中横坐标为负，纵坐标为正；第

三象限中横坐标和纵坐标都为负，第四象限中的点横坐标为正纵坐标为负。

平面上的点集

我们已经知道平面上的点和数对(x,y)之间存在——对应关系。对平面上的某些点可

能有特殊的兴趣。例如，我们希望组成一个圆周或一个三角形的内部点的集合。有人可能会

问，如果这样的点集可否用简洁的数学符号进行描述。

我们可以写｛(乂)，)|)，=2耳(1)

描述有序数对(x,y)的集合，或相应的点满足纵坐标等于横坐标的两倍。实际上［1)

中的竖线读作"使得"。有序数对的集合的图形指的是与有序数对相对应的平面的所有点的

集合.学生很容易推断出点集构成的图象是一条直线"

考虑集合｛(x,y)|>'=-｝与我们先前的解释一致，这个符号代表有序数对的集合(x,y),

纵坐标是横坐标的平方。这里包括一个简单可辨的几何图形，即抛物线。

在这两个例子的基础上，我们可以试探的认为随意绘制一条曲线，当然曲线确定点集或

有序数，可以简单地描述成一个方程。不幸的是,这是没有的情况。

考虑到点集｛*,y)|y>2x｝描述的是纵坐标大于两倍的横坐标。在这种情况下，我们的

点集不是曲线，而是坐标平面内的一个区域。

§3.圆锥曲线

圆锥曲面的形成和实际应用

圆锥曲面在几何上也称为圆锥形，由平面和直立圆锥相交产生的曲线。根据平面相对于

锥体的角度，相交的部分可能是一个圆、一个椭圆、一个双曲线，或一个抛物线。圆锥曲线

的基本描述，但不是名字，可以追溯到梅纳克姆斯，柏拉图和克尼德斯的尤多克斯的学生。

佩加的阿波罗尼乌斯，被称为"大几何家"，给圆锥曲线起了它们的名字，并第一个定义了

双曲线的两个分支。圆锥曲线是古代世界最伟大的科学工作之一。

圆锥曲线是平面与圆推相交所形成的一条曲线。为方便起见，我们将使用一对直立圆锥。

如果相交的平面与圆推的底平行，则相交的曲线是圆。

如果相交的平面截其中一个圆锥而与另一个不相交，且平面与底不平行，该曲线称为椭

圆。

如果相交的平面与圆锥的母线平行，则相交的曲线称为抛物线。

如果相交的平面与两个圆锥相交，则这对相交的曲线称为双曲线。

我们把这个问题留给学生来确认，在某些退化情况下，平面与圆锥的交点可以是一个点、

一条直线或两条线。

这些曲线被挑选出来进行特殊的研究，不仅因为它们的历史重要性，而且因为这些曲线

很好地描述了许多物理现象。例如一个行星绕太阳旋转所成的轨道是一个椭圆。当受到重力

影响时，抛物体形成的路径是一条抛物线。某些彗星的轨道为双曲线。在一系列问题中，我

们将遇到其他物理现象与圆锥曲线有关的情况。

由于每一圆推曲线具有无穷多个性质，任1可一个都足以唯一地定义，我们将选择与其实

际应用价值相关的性质加以定义。

圆锥形曲线的概念和性质

圆锥曲线是一个动点P的轨迹，使它与固定点-焦点的距离除以它与定直线-准线的距离，

e是一个常数，称为离心率。如果离心率为零，则曲线为一个圆；如果等于1，则为抛物线；

如果小于1,则为椭圆；如果大于1,则为双曲线。

圆是与固定点距离为常数的所有点的轨迹。

椭圆是与两个不动点的距离之和为常数的所有点的轨迹。

任I可这样的路径7寸于第二个不动点和第二条定直线都具有相同的性质，并且椭圆通常被

认为有两个焦点和两个准线。距离之匕匕称为离心率，是判别式。通过焦点并延伸到任意方向

的直线是椭圆的长轴。在中心处垂直于长轴的是短轴，长轴上的点到焦点距离相等。通过焦

点平行于短轴的是直线。

椭圆关于两个轴都是对称的。当绕任意一个轴旋转时，曲线形成了称为旋转椭球体或球

体的曲面。根据牛顿万有引力定律，在封闭轨道上绕另一个天体运动的路径是一个椭圆。在

太阳系中，这样一条绕太阳的路径的一个焦点是太阳本身。

抛物线是距离固定点即焦点的距离等于其到定直线的距离即准线的所有点的轨迹抛物

线的顶点是曲线上最接近在线的点；它与准线和焦点的距离是等距的.顶点和焦点决定了一

条垂直于该方向的直线，即抛物线的长轴。通过焦点平行于方向是主轴。抛物线绕其轴对称，

当曲线向远离其顶点的方向后退时，离轴移动得更远。抛物线绕其轴旋转形成一个抛物面。

抛物线是忽略空中的空气阻力和旋转效应的路径。抛物线的形状也可以出现在某些桥中，

要么是拱门，要么是在悬吊桥的情况下，如果你假设垂直电缆的重量比它们所支撑的道路的

重量要小。

双曲线-到两个不动点距离与到定直线的距离差为常数的的点的轨迹。

穿过焦点并延伸超过焦点的线是双曲线的横轴；垂直于该轴，并与双曲线的中心相交，

位于两个焦点之间的一个点在共辗轴上。双曲线相对于两个轴都是对称的。

两条直线即曲线的渐近线通过中心，双曲线不与渐近线相交，但它与它们的距离在离中

心很远的距离上变得任意小，双曲线绕任何一个轴旋转时形成双曲面。

§1.数系的发展

通过对数的概念的概括来说明数系的发展，是数学研究的重要课题之一。术语"数字"

最初是指整数，称为自然数。与被称为"人工数字”的各种类型相反，它被扩展到数系中。

整数。数系开始于人类区分事物的类别而不需要描述它们。即五条鱼和数字5之间。

即使是最原始的部落对一些数的概念就有所记载。在古代的整数系统发展较快的是远古时代,

古巴比伦人用包含表的楔形文字记录平方，立方，和一些级数。

古代的整数表示法比较笨拙，在某些情况下，计算是借助于辅助和记录计算来完成的。

后来用算盘所取代，算盘是一个具有计数器的槽的仪器，目前仍在使用的有中国，日本，俄

罗斯，印度和其他东方国家。

分数，即下一种数字类型，通过实际中需要细分财产而产生的。分数如单位分子是简单

的细分例子。公元前1400年，Ahme阐述了将:转变为具有单位分子的分数的方法。在商

业实际问题中，涉及分数的计算通过使用包含子单元的表格进行简化。钟表的分秒测量就是

根据古巴比伦人的六十进制分数而制定的。

无理数。数系发展的第三个阶段，是由于发现了不能用单位长度的线段的整数或分数倍

来作为单位长度表示线段。这一发现与直角三角形的研究有很大关系。毕达哥拉斯定理指出，

在一个直角三角形中两边的平方和等于斜边的平方。

希腊数学家认为直角三角形中，这个关系是用整数来表达，例如，边长3,4,5和5,12,13

直角三角形。然而，如果是等腰直角三角形，他们认为斜边的长度是不可测量的。如果两条

直角边取单位长度，然后斜边是由下式给出

V2=l2+12=2

没有满足这个方程的整数值。如果有一个分数;，其口a,b都是整数，然后《=2or

bb

a2=2/r

我们可以假设a和b没有共因数，因为公因数要约去，但这与假设a和b没有共因数矛盾。

因此假设斜边可以用分数表示，导致矛盾。

这种“间接证据"表明符号无不能对应于任何整数或分数，并证明了这两种类型中的

任何一种不能表示该数字类型。

零。下一个进展来自于印度（大约公元600年），符号0的发明最初是用来表示一个空

的列出现在算盘的计算中.

零的引入和位置原则的发明，使同一数字符号根据其在某一数字中所占的位置不同而存

在不同的意义从而改进了把数字的计算扩展到这样的范围用符号来计算比用算盘更迅速。

中世纪就有关于这两种方法的辩论，争论在于单位的公制和英制系统各自的优点。

§2.数系的发展II

负数。数字概念演变的第五个阶段也是由于印度数学家从代数方程研究中产生的。方程

的形式进行分类是可能的或不可能的，根据能否用已经公认数字来代表未知数。

这样的数字称之为负数，最终被接受时他们可以用来代表负数。因此这个概念被添加进

来，扩展了数的概念。从负数的概念演变而来的向量分析已经成为数学物理理论中的一个强

大工具。

有理数、正整数、负整数、零和分数的全体称为有理数。

和两个整数的乘积总是整数。此属性说整数关于加法、乘法运算是封闭的。

逆运算减法和除法得到的并不总是整数。想要消除这种例外产生了对有理数的解释，

集合中的所有数都可以通过单位的加减乘除运算得到。有理数可以用直线上的点表示。任意

两点代表零和单位一，由这些点之间的距离来确定度量尺度。由这一尺度来表示直线上的一

个点，每个点代表每个有理数，正的或负的。

在数轴的每一个区间，不管有多小，总是有有理数，这条性质表述为有理数是处处稠密

的。

实数。尽管有理数具有稠密性，但有理数并不足以表示轴上的每一点。例如存在无理数，

对应于一个点，不能用任何一个有理数来表示。这表明数轴上的每一点都可以被赋予一个小

数，这可能是有限的或无限的,如果无限，是循环的或不循环的。

有理数可以用有限小数或无限循环来表示，而无理数用无限不循环小数表示。

数轴上的任意一点P,不代表一个有理数，代表一个无限不循环小数,称为P点对应一

个实数.

无理数根据它们是否为代数方程的根可以分为两类：代数数和超越数。超越无理数的例

子是圆的周长与直径的比值3.14159,自然对数的底2.718。

有理数和无理数统称为实数。

§3.数系的发展III

复数。无理数起源于几何学，而复数和负数起源于代数。

Diophantos（公元300年）用现代的方法求解了二次方程，得到了相同形式的解。最

初的解决方案被认为是只有根号下的数是一个完全平方数时，认为解是存在的，而且只认可

根取正号的情况。

印度的巴斯卡拉（公元1114年）认可平方前的两个符号，计算出无理数，但认为一个

负数的平方根是不可能的。

1545年Cardan根据Tartaglia的工作发表了关于三次方程的代数解的文章，通过替

换法和形式控制法得出了形如。+〃匚1的复数满足方程，但他没有接受这样的数字，因为

他无法对这样的数字给予合理的解释。

1806年，哥干德提出了一个虚数的几何表示。通过构造一个圆心在实轴的原点，单位

半径的圆，在实轴上做一条垂线与单位圆交于点0。这个有向线段的单位长度，垂直于代

表的线段。

复数A+BI的另一种表示形式是从0指向P的有向线段。

有了这样的几何解释，方程不再像是不可能的那样被认为是不可能的，因为它们的根可

以很容易地表示出来，就好像它们是直的一样“

复数特别适用于表示复杂的二维关系。最初认为不可能解释的方程的解也可以解决了它

们成为不可或缺的数学物理中的电、磁流或热金属板研究的工具，它们还被用在制图和流体

动力学方面。虚数除了名字之外不是虚的。

复数的代数系统分类如下。

虚数

整数

复数有理数

分数

实数

一代数无理数

无理数

超越无理数

对于六个基本运算来说，复数系是封闭的，因为如果把这些运算应用到复数上，就不会

出现新类型的数。

每一个推广的数的概念带来了运算意义的变化。在复数的加法和乘法中相对于对整数，

有理数和无理数的运算有着不同的意义。

两个复数乘法。Ax8通过将矢量B旋转相同的角度，以单位矢量01的比例改变其长

度，直到与矢量0A重合得到。通过使三角形0BP类似于三角形0IA,可以很容易地实现

这一点。

在数和运算的推广中，加法和乘法的结合率，交换率和分配律保持不变.

对于数的概念的进一步发展是通过代数基本假设的变化而产生的。Weierstrass证明出，

如果所有的假设都保留没有改变，构造出一类比复数更一般的数是不可能的。

§1.函数

在数学中函数是一种定义了一个变量（自变量）和另一个变量（因变量）之间的关系的

表达式、规则或定律。函数在数学中无处不在，对于在科学中形成的物理关系至关重要。现

代函数的定义是由德国数学家彼得♦狄利克雷在1837年首次给出的这种关系通常用y=f（x）

表

“函数”一词是由莱布尼茨引入数学的，他主要用这个术语来指代某些数学公式。后来

人们意识到，莱布尼茨的函数概念的范围过于有限，这个词的含义已经经历了许多阶段的概

括。今天函数的意义本质上是这样的给定两个集合比如X和Y,一个函数是一个对应关系，

X中的每个元素有Y中唯一的元素与它对应。集合X被称为函数的定义域。Y与X中相关

联的元素形成了一个称为函数值域的集合。

很少有一个概念像函数的概念那样在数学中发挥了如此重要的作用，我们希望知道这个

概念是如何发展的。和许多其他概念一样，这个概念起源于物理学。物理量是数学变量的先

驱，它们之间的关系在16世纪末被称为函数关系。

例如，公式16/代表物体在任意一个秒数t下落的英尺数，是s和t之间的函数关

系，它描述了s随t变化的规律。对这种关系的研究使18世纪的人们把函数关系看作是一

个公式。

只有在19世纪早期现代分析的兴起之后，的数的概念才得到扩展。在扩展的意义上,

一个函数可以如下定义：如果一个变量y依赖于另一个变量x,使x的每个值对应一个确定

的值y,那么y是x的函数。即使在今天这个定义仍有许多实际目的。

这个定义未指定建立对应方式的规则，它可以用18世纪数学所做的假设公式来完成,

但它同样也可以用统计图表等表格或其他形式描述来完成。

一个典型的例子是室温，这显然是时间的函数。但是这个函数不允许使用公式表示，尽

管它可以以表格形式记录下来，也可以通过自动设备进行图形化追踪。

x的函数V的现代定义只是从一个空间X到另一个空间Y的映射。当X的每个点x都

有一个明确的图像点Y的y,定义一个映射。映射概念接近于直觉，因此作为函数概念的基

础。此外，由于空间概念被纳入了这个现代定义，它的通用性对函数概念的通用性很有帮助。

当这个关系用明确的符号来表示时，使用直角坐标，自变量为横坐标，函数是点的纵坐

标，用点的运动表示，或者说平面上的点Po因此，从具有定值和对应值的不动点开始，动

点P描述了平面上的直线或曲线,这条线被称为该函数的图像。

一般来说，这些函数可以分为初等函数和分段函数。在所有的函数中，基本函数包括幕

函数、指数、对数、三角函数及其逆函数，初等函数是由常数和基本初等函数组成的函数，

通过使用有限的四种初等运算以及组合。分段函数是一种定义随自变量的值而变化的函数。

下面是函数的分类包括最常用于表示科学中的变分,

整式

一有理数函数

分式

代数函数

无理函数

函数指数函数对数函数

初等函数

超越函数三角函数反三角函数

高阶函数

§2.极限方法

极限方法对于纯分析和几何分析中的应用都是至关重要的，在穷尽法中具有几何起源,

希腊几何图形应用于确定长度、面积和体积。传统的极限的几何概念可以通过确定曲线的长

度为适当选择的内接多边形序列的极限来证明。多边形的周长被认为是不断接近曲线所需的

长度，而多边形的边数不断增加，多边形的边的最大长度无限减小。极限即曲线的长度，被

认为是在一个最后实际达到的过程，这个过程被描述为使多边形的边数无限；这种达到极限

的方式是感官想象无法达到的，并且掩盖了几何图形的实际定性变化，它没有边缘，直线段

为它的边界，是一个没有角和曲线边界的图形。柯西认为，该曲线的长度不需要证明极限的

存在，他给出了连续函数积分的存在性的证明。

极限的算术理论，是在收敛的一般原理中总结的，为序列极限的存在提供了一个明确

的准则；现代分析的很大一部分是关于获得基于无理数理论的一般准则的特殊形式；因为没

有无理数的算术理论，所有试图证明收敛序列极限存在的尝试都注定不可避免地失败；这就

是有理数的收敛序列不一定具有在有理数范围内的极限的简单原因。通过有理数的收敛序列

来定义实数不仅仅是这些,字列存在极限的假设；它涉及引入一个扩大的数概念，使有序实数

的方案应该形成一致的整体，因此实数域内的每一个收敛序列在该区域内一定有一个极限。

实数集合存在的假设是合理的，因为它表明为这个集合的元素建立一个完整的定义和假定的

方案，并且这样的方案不会导致矛盾。关于上述长度、面积、体积等极限的存在，序列的顺

序是对传统极限的翻转，极限的存在不再从几何直觉推断出来。

序列和函数的极限

我们在这里关注的主要问题是当"无限增加时,是否趋于一个有限的极限。为了解

决这个问题，我们必须将极限概念扩展到序列。具体过程如下

一个序列优功｝有极限L,如果对于每个正数£,都有另一个正数/v(依赖于£)使得

\f(n)-I]<£，对于所有的〃之N都成立。

在这种情况下，我们说序列伏")｝收敛于L.然后我们写成

lim/(〃)=L

〃一XO

一个不收敛的序列被称为发散的序列。

极限是基于趋近思想的数学概念，主要用于在没有定义值的点上为某些函数赋予的值，

以便与附近的值相一致。

定义函数4M在点检处的极限的一种方法，记作

lim=

还可以给出以下独立于连续性概念的更基本的极限定义：

lim/(x)=L

如果对于任何期望接近度2，可以在的附近找到一个区间，以便这里计算的所有值

都小于£,即如果以-的|<6,那么

这最后一个定义可以用来确定一个给定的数字是否实际上是一个极限。极限的计算，特

别是商的计算，通常涉及到对函数的操作，使它可以写成更明显的极限形式。

§3.导数

微积分

微积分是一个拉丁词，意思是用来计数的小石头。在数学中，微积分是一个关注极限、

函数、导数、积分和无穷级数的分支。一些关于微积分的最基本的想法已经存在了几个世纪

了。

作为一个非常难的学科，微积分所需要的不仅仅是我们的直觉和天才。需要许多伟人的

工作和思想才建立了现在被称为微积分的先进概念。导致函数、导数和积分概念的想法在整

个17世纪发展起来，但牛顿和莱布尼茨迈出了决定性的一步。

在历史上，微积分被掰为"无穷小微积分"，或"无穷小微积分二微积分的发展可分为

初期、发展和严格化三个阶段。在初期阶段，各种数学家为构建微积分的概念提供了垫脚石。

在发展阶段，牛顿和莱布尼茨发展了今天使用的主要概念和原则。在严格化阶段，许多数学

家利用极限的概念来赋予莱布尼茨和牛顿提出的原理具体的意义。

到17世纪中叶，欧洲数学已经改变了其主要的知识体系。与16世纪继续将希腊数学

作为研究的起点相比，牛顿、莱布尼茨和他们的同时代人越来越多地关注更现代思想家的想

法。欧洲已成为一个新兴的数学体系发源地，随着体制和组织基础加强的出现，一个新的组

织和学术融合水平正在发展。然而重要的是，体系缺乏形式主义；相反它由各种方法、技术、

符号、理论和矛盾的无序理论组成。

牛顿和莱布尼茨知道如何正确地给出最常见函数的导数，但他们没有给出导数的精确定

义；他们无法证明他们所使用的定理。但很明显，牛顿和莱布尼茨的计算方法得到了正确的

答案.在接下来的几百年里，其他数学家,特别是维尔斯特拉斯和柯西，为这些同样的计算

方法提供了更好的解释。

微积分是研究变化的，就像几何是研究形状的，代数是研究运算的一样。数学分析是一

门更高级的数学课程，专门研究函数和极限。众所周知，微积分有两个主要分支，微分和积

分。它处理微分和积分两个基本运算，在函数上进行，井与微积分基本定理有关。

导数

微积分的基本概念是一个变量函数的导数。这个概念的经典物理原型是瞬时速度，它是

一个特定的函数在直角坐标（X,M中的导数。如果y是*的可微函数，也许随着X从M增

加到X?,该函数的图像是一个连续的曲线，每个x都有一个y值，在每一个点上曲线都有

一条不平行于y轴的切线，如果。是从X正方向到切线的逆时针测量的角度,则lana等于

y相对于x的导数。这是基于假设沿着两个轴使用相同的长度单位，lan。也称为曲线的斜

率。

y相对于x的导数为孚。如果使用y=f（x）表示函数，则导数通常用f（x）表示。实际

ax

问题中使用的，作为函数是一个抽象的概念，而fM表示，在x处的值。/'。）表示一个函

数的导数，，（X）是尸在X处的值。

函数最重要的特性之一是函数关于自变量变化的速率。

为了找到这个函数的变化速率，令X任意增加，相应的增量用Z表示。V的增量用

表示，包被称为）4目对于x的平均变化率。

Ax

..Ay

如果区间越来越小，允许以零为极限，则由方程给出Jm广

Ax->0At

平均变化率的极限值称为变化率或导数，用。J表示。

求任何类型函数导数遵循相同的的过程,尽管细司各根据函数而有所不同。因此如果

y=/（-V）,则

Ar

当Ai趋近于零，这个过程被称为微分。

一个线性函数），=im+b的导数为=m。也就是说），关于x的变化速率是恒定的。

线性函数的这一性质使它在各种匀速运动中是非常有用的。金属的膨胀、收缩和道尔顿简单

比例定律就是例子。

一个二次函数），=ad+公+。的导数为Dxy=2ax^ho这个导数的导数为

D"y=2a，或者二阶导数是，因此二次函数的二阶导数是常数。这是一个物体在地球的自

由落体运动的近似定律。

="的导数为。J=Kax,即指数函数的变化率对应所谓的自然化合物定律，其中

变化率取决于物质的数量，就像化学反应、辐射通过介质的光吸收的情况一样。

一个对数函数y=log；的变化速率为3），=三，它随x增加而减小，K为恒定数。

x

这一特性存在于心理学中的疲劳现象中。正弦函数），=sinx的变化速率为。j=cos九因

此变化速率也是周期性的。这个函数），=sinx在数学物理学中非常重要，因为它代表了周

期变化。地球在其轴上和绕太阳的自转产生了许多周期现象，它们可以用正弦或余弦度数来

描述。潮汐、弦的振动和光波就是其他的例子。

§4.积分

微分积分和积分积分是数学的一个分支，处理微分和积分这两个基本运算，它们在函数

上进行。主题，传统上在大学教科书，部分是一个基本发展的纯理论方面的这些操作及其相

互关系，部分的规则和规则的发展公式应用标准函数出现在代数和三角包括指数和对数），

和部分应用问题的几何、物理、化学、工程、经济学，也许和一些其他的主题。

定积分如果/是定义在有限到包含区间上的函数，从七到々的定积分表示『fWdx

是通过需要考虑所谓的近似和应用于一个相当复杂的过程来定义的。当函数/受到一定的

限制时,这个过程最终会确定一个数作为近似和的极限，达到这个极限。将从内到％区间

除以N可以是不一定相等的有限部分。设这些部分的长度为九,色，…，九，并设“为第k部

分中的值。则表达式

f(八)匕+/(4此+…+/(j)心

被称为近似和。当函数是连续的，函数值都是正时，近似和中的每一项/&)4都等于某个

阴影矩形的面积，整个和是函数图与X轴之间面积的近似。

极限过程通过增加N,使用，最大来进行接近于0。然后可以直观地看出，定积分是表

示x轴和图之间的精确面积的数字。这种积分的几何解释是积分积分对面积计算的重要应用

的基础。

在实际应用中，通过实际计算出近似和的极限来计算定积分是繁琐而困难的。因此幸

运的是,通过名屯粹的数学推理，可以证明一个连接导数和积分的定理，并使在许多重要的情

况下，用一个更简单的程序计算定积分成为可能。

下一段将介绍微积分的两个基本定理。在这些陈述中出现了形容词"连续的"。一个

函数y=f(x)大致表示连续，随着X逐渐变化,y必须逐渐变化，要么根本不变化。绝对

突然的跳跃是被禁止的，更多奇怪的不规则行为模式也是如此。

基本定理.对于厂/6)公的计算，连续函数F导数为F',使得当％<x<范时，

k(x)=f(x)，方程(1)写作［："")公=F(X2)-F(x.)

这是两个中心定理.另一个表述为：假设/是连续的，考虑如下定义的函数产，

F(x)=J；,则F有导数定义为F\x)=f(x).

中值定理.关于导数的最重要的定理，不包括这些涉及积分的定理，被称为“中值定律"

和"微积分的中值定理二它以这种形式表示：假设/从占到它是连续的，并且假设对于在

%和W之间的每一个x有一个导数。还有一些这样的式子

f\x）=/82）-/区）（3）

“百

是成立的。

这个定理使我们能够证明，如果/'"）总是正的，则/（幻随着工增加而增加。此外，

如果总是为零，则/（X）随着x变化保持不变。第一个结果对于图的研究是重要的。

第二种方法在证明上述微积分的基本定理以及建立涉及反微分的某些问题的解的唯一由从

函数的导数知识中推测其解的过程）中几乎是不可或缺的。这类问题在将微积分应用于运动

问题中是随处可见的。

导数的应用。如果y是的函数，则导数半可以解释为y相对于A-的变化速率。如果y

dx

是X距离和时间，那半就是速度。如果），是工作所做的力，X是时间则学就是力所做的

axax

功。许多运动问题，如在力学中产生的、由牛顿第二定律表述的问题，都可以通过提出一个

函数及其导数或导数必须满足的方程来表达。这些被称为微分方程。对这类方程的研究是微

积分的扩展和分支。微分方程在物理学的所有分支中都很重要。它们也出现在许多工程和化

学的问题中，例如在放射性衰变中。

函数的最大值或最小值通常涉及导数。如果一个可微函数f在其域的区间内部的某个

点上达到一个相对最大值或最小值，则:（制必须为零。这有助于找到了的极值。

积分的应用。积分用于计算平面上以曲线为界的直积。它们还被用于计算其他的几何

量，如曲线的长度、表面的面积和固体的体积。对于计算体积和表面积，自然工具是多重积

分。积分也被用来计算在物理学中发生的量，如质心、惯性矩、由变力完成的功和由万有引

力引起的引力。在统计学中使用的函数的一、二、高阶导数的概念用积分来表示。

多变量函数。对于一个指定的数对（内,々）的集合中的每一对数，让它们对应于一个特

定的数字，这被定义为两个变量的函数，还可以考虑三个或三个以上变量的因数。通过对分

离变量的偏导数的研究，将微分算推广到不同变量不，巧,…这类函数上，全微分的概念也是

相关的。

通过多重积分的概念，发展了多变量函数的微积分。例如，对于两个变量的函数的情

况，存在一个二重积分的概念。主体理论处理的是二元积分是如何用一个变量函数微积分中

出现的两个连续的定积分来表示的。还有一个线积分的概念，它是一种沿曲线的积分。这一

概念、全微分的概念和二元积分的概念之间存在着关系C

新的发展。微积分属于数学的分析分支。分析的一个特点是它关注无限极限的过程。

目前的分析研究大多是在一个远远超出微积分的发展水平。然而微积分的思想是体现在函数

理论和泛函数分析中，尽管以更泛化和抽象的形式存在C

§5.微分方程

在数学中，微分方程是一个涉及一个或多个函数及其导数的方程。在应用中，函数通常

表示物理量，导数表示它们的变化率，微分方程定义了两者之间的关系。这种关系是常见的，

因此微分方程在包括工程学、物理学、经济学和生物学在内的许多学科中发挥着突出的作用。

出现了各种各样的科学问题，人们试图从它的变化速率来确定某种东西。例如，我们可

以尝试根据了解一个运动粒子的速度或加速度来计算出它的位置。或者放射性物质可能以已

知的速率分解，我们可能需要在给定的时间后确定存在的物质的数量。在这样的例子中，我

们试图从包含至少一个未知函数导数的方程的形式中确定一个未知函数。这些方程被称为微

分方程，它们的研究是数学中最具挑战性的分支之一。

微分方程分为两类：常微分方程和偏微分方程，这取决于未知是一个变量的函数还是两

个或两个以上变量的函数。

常微分方程

在数学中，常微分方程（ODE）是一个包含一个自变量的一个或多个函数和这些函数的导

数的微分方程。术语普通的使用与术语偏微分方程相反，它可以相对于多个自变量。

微分方程是一个包含一个或多个导数或微分的方程c如果该方程中没有高于一阶的导致,

则为一阶微分方程。更准确地说，一阶微分方程是这种类型的方程。

尸。,），,），'）=0（1）

其中了是y关于x的导数。

微分方程的解是一个满足它不含导数的关系。如果所涉及的变量为x和y,则可以写成

形式尸（乂），）=0。

像（1）这样的方程对于学习微分的学生来说并不新鲜。例如，假设我们需要在（3,4）

处找到圆f+产=25的切线方程。通过微分，我们发现切线在圆上的任何一点上的斜率为

-d-y=-..x

dxy

而在（3,4）点。这将成为半=—?（2）方程（2）是一个微分方程。此外，学生

dx4

还可以很容易地解决它来获得v=--|x+C（3）

4

C的每个值都满足方程（2）,即方程（2）有无穷多个解。有一类带有斜率的平行线，我们

325

所寻找的直线是），=-9+午（4）它通过（3,4）点。方程（3）确定了微分方程（2）

44

的通解。方程（4）给出了一个特殊的解。

如果微分方程包含一个二阶的导数，但不包含一个高于二阶的导数，则称为二阶的微分

方程。微分方程就是一个例子安

dx~

这个方程可以通过一次积分得到?=《+G（5）,再一次积分得到来求解

dx2

y=+Gx+。2（6）

6

用(6)表示的(5)的解，包含两个任意的常数，一个包含两个基本任意常数的二阶

微分方程的解称为通解。

n阶微分方程是这类方程尸(x,乂/…,y(n))=0

其中)，,北…,丁⑺表示的一、二n阶导数。包含n个基本任意常数的方程(7)的一个

解称为通解。通过给一个或多个任意常数赋值，可以从通解中得到特解。

微分方程的存在并不意味着该方程存在任何解。上述所有的微分方程都为常微分方程。

"通常"一词是用来区分偏微分方程，偏微分方程是包含偏导数的微分方程。

微分方程在数学、自然科学和社会研究中的应用有很多。因此，能够解决这些问题是很

有用的。用积分来求解一个微分方程似乎是很自然的。

偏微分方程

在数学中，偏微分方程(PDE)是一个包含未知的多变量函数及其偏导数的微分方程。偏

微分方程用于表示涉及几个变量函数的问题，可以用手工求解，也可以用于创建计算机模型。

一种特殊情况是常微分方程(ODEs),它处理单个变量的函数及其导数。

另一方面，一个方程就像

〃/(内)

是一个偏微分方程的一个例子。这个特殊被称为拉普拉斯方程，出现在电和磁学理论、流体

力学和其他地方。它有许多不同种类的解决方法，其中包括f(x.y)=x-v2y,

/(x,y)=excosy,f(x,y)=lg(x2+y2).