小学五年级数学核心素养导向下《最大公因数》单元整体教学设计与实践

小学五年级数学核心素养导向下《最大公因数》单元整体教学设计与实践

  本单元教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求，以“数的认识”与“数量关系”领域中的关键概念“最大公因数”为锚点，进行单元整体重构与教学设计。最大公因数作为整数理论体系中的基础概念，是连接因数倍数知识与分数运算、解决实际问题的关键节点，其理解深度直接影响后续约分、通分及解决相关复杂问题的能力。传统教学往往将其局限于技能操练，本设计力图超越此局限，从“大概念”视角出发，以“数的共性特征及其应用”为核心统领，将知识学习置于真实、复杂、富有挑战性的问题情境中，引导学生经历数学概念从“发现-建构-深化-应用-迁移”的完整认知过程，着力发展学生的数感、推理意识、运算能力、几何直观、模型意识及应用意识，实现从“掌握算法”到“理解算理”再到“发展素养”的层级跃升。

一、单元整体规划与核心素养目标分析

1.单元大概念锚定：本单元的核心大概念确定为“通过探寻数的共同特征（公因数），可以简化和优化数量关系的处理与空间结构的规划”。此大概念贯穿单元始终，将抽象的数学概念与现实的优化问题建立本质联系。

2.内容结构重组：打破传统按课时平铺知识的模式，将本单元知识整合为三个螺旋上升的层次模块：第一层次“概念本源与多元表征”（公因数与最大公因数的意义、关系及多种直观与抽象表征）；第二层次“策略生成与算法理解”（探索并理解求解最大公因数的多种方法及其内在联系，重点突破短除法的算理）；第三层次“问题解决与创新应用”（在真实、跨学科情境中灵活应用最大公因数解决优化问题，感受其工具价值）。

3.核心素养细化目标：

1.4.数感与量感：能直观感知两个数公因数的存在，估计其大小范围；能在具体情境中判断使用最大公因数的必要性，并对其结果的实际意义做出合理解释。

2.5.推理意识：能通过观察、操作、比较，归纳概括出公因数与最大公因数的定义；能基于因数、倍数的概念，合乎逻辑地推导出列举法、筛选法、短除法等方法；能理解并阐述不同求法之间的内在逻辑关系。

3.6.运算能力：能熟练、灵活地运用列举、筛选、短除等方法准确求出两个数的最大公因数；能判断两个数是否互质，并理解互质在简化运算中的作用。

4.7.几何直观与空间观念：能利用方格纸、图形分割、拼摆等几何手段，直观表征和探索最大公因数，建立“数”与“形”之间的深刻联系（如用边长是公因数的正方形铺满长方形）。

5.8.模型意识与应用意识：能从“等分”、“分割”、“分组”等实际问题中抽象出求最大公因数的数学模型；能主动识别生活、艺术、科技等领域中潜在的“最大公因数”问题，并尝试用此模型加以分析和解决。

6.9.创新意识：鼓励对求解方法进行优化，对应用情境进行拓展想象，提出新颖的问题解决方案。

二、单元学习目标

1.知识与技能：

1.2.理解公因数和最大公因数的意义，明确其与因数概念的联系与区别。

2.3.掌握求两个数最大公因数的基本方法（列举法、筛选法），理解并掌握用短除法求最大公因数的方法及其算理。

3.4.认识互质数，能判断两个数是否互质。

4.5.能灵活运用最大公因数的知识解决简单的实际问题（如最大分割、最优分组等）。

6.过程与方法：

1.7.经历从生活实例抽象出数学问题、通过操作探究发现规律、归纳总结概念、并应用概念解决问题的完整数学化过程。

2.8.体验解决问题策略的多样性，学会在比较中优化方法，体会“化繁为简”和“优化”的数学思想。

3.9.发展动手操作、合作交流、有条理地表达思考过程的能力。

10.情感态度与价值观：

1.11.感受数学与生活的密切联系，体会数学在解决实际问题中的工具性价值。

2.12.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心和兴趣。

3.13.培养思维的条理性、严谨性和追求最优解的探索精神。

三、教学重点与难点

1.教学重点：理解最大公因数的意义；掌握求两个数最大公因数的方法。

2.教学难点：理解短除法求最大公因数的算理；灵活运用最大公因数解决实际问题，特别是将实际问题抽象为数学模型的过程。

四、教学准备与环境创设

1.教师准备：单元整体规划案、各课时详细教案与课件、学习任务单、探究活动材料包（包括不同规格的长方形纸、方格纸、数字卡片等）、实物投影仪、交互式白板课件（内含动态演示工具）。

2.学生准备：预习基础知识、直尺、彩笔、剪刀。

3.环境创设：教室布置成利于小组合作探究的模式，墙面预留“公因数探索墙”和“最优方案展示区”，用于张贴学生探究过程和成果。

五、教学实施过程（核心环节详述）

本单元计划用5-6课时完成，以下是核心教学环节的详细阐述。

第一课时：概念本源——从“等分”与“分割”中诞生

1.环节一：真实情境导入，引发认知冲突

1.2.情境呈现：“学校公益社计划将一块长18分米、宽12分米的长方形宣传板，分割成大小相同的正方形宣传牌，且没有剩余。正方形宣传牌的边长最大可以是多少分米？”

2.3.学生独立思考后初步猜想。教师不急于评判，引导学生将问题转化为数学语言：“分割成大小相同的正方形且没有剩余”意味着什么？（正方形的边长要能同时整除长方形的长和宽）这和我们学过的什么知识有关？（因数）从而自然引出：我们需要找能同时整除18和12的数。

4.环节二：多元操作探究，构建概念表象

1.5.活动1：摆一摆（几何直观）。小组合作，利用印有方格（每格代表1平方分米）的学习单（长18格、宽12格），尝试用不同边长的正方形纸片去“铺”这个长方形。记录下哪些边长的正方形能正好铺满（无重叠、无空隙）。学生将发现边长为1、2、3、6分米的正方形可以。

2.6.活动2：画一画（几何表征）。让学生在方格纸上画出用边长6分米的正方形铺满长方形的示意图，直观感受“正好铺满”。

3.7.活动3：说一说（语言表征）。引导学生用数学语言描述发现：“能正好铺满的正方形边长，既是18的因数，又是12的因数。”教师板书这些数：1，2，3，6。

4.8.活动4：理一理（符号表征）。教师揭示：1，2，3，6既是18的因数，又是12的因数，我们称它们为18和12的公因数。其中最大的6，就是它们的最大公因数。明确记法：公因数集合{1，2，3，6}，最大公因数（18，12）=6。

5.9.活动5：辨一辨（概念辨析）。出示几组数（如（4，8）、（5，7）、（6，9）），让学生先找出各自的因数，再找出公因数，最后确定最大公因数。特别关注（5，7），公因数只有1，引出“互质”的雏形概念，但不急于定义。

10.环节三：归纳抽象定义，建立数学模型

1.11.引导学生从大量实例中归纳公因数与最大公因数的定义。强调“公有”、“最大”的含义。

2.12.回扣导入问题，给出解决方案：正方形边长最大是6分米。并追问：一共可以裁出多少块？（(18÷6)×(12÷6)=6块）将求最大公因数与解决实际问题的完整过程呈现出来。

13.环节四：初步应用巩固，理解概念内涵

1.14.完成基础性练习，如：找出给定数组的公因数和最大公因数。部分题目配以简单的图形情境（如分彩带、裁纸张），强化概念的实际背景。

第二课时：策略生成——探索“最大”的求法

1.环节一：方法初探——列举法与筛选法

1.2.出示挑战任务：求出（24，36）的最大公因数。

2.3.小组竞赛（策略多样化）：鼓励各小组用不同的方法寻找。教师巡视，收集典型方法。

3.4.全班分享与梳理：

1.4.5.方法A：分别列举再找公有。先分别写出24和36的全部因数，再找出公因数，最后确定最大公因数。优点是清晰完整，缺点是数大时繁琐。

2.5.6.方法B：从较小数的因数中筛选。先写出较小数24的全部因数，然后从中筛选出哪些同时是36的因数，最大的那个就是最大公因数。此方法是方法A的优化，体现了“从特殊入手”的思想。

3.6.7.方法C：从最大公因数的可能范围筛选。引导学生思考：最大公因数不可能比两个数都大，最大可能等于较小数。可以从较小数开始，依次检验它是否是较大数的因数。24不是36的因数，接着试23……直到找到6。此方法体现了“从大到小尝试”的定向搜索策略。

7.8.教师引导学生比较三种方法的异同和优劣，体会筛选法在思维上的效率。

9.环节二：算法深化——短除法的算理突破（本课难点）

1.10.认知冲突：出示（72，96），“用列举或筛选法麻烦吗？有没有更通用、更简洁的方法？”

2.11.铺垫：公因数的性质探究。引导学生观察（24，36）及其公因数。提问：24和36的公因数，与它们差（12）的因数有关系吗？与它们除以某个公因数后的商（如都除以6得4和6）的公因数有关系吗？通过举例，让学生初步感受公因数的继承性。

3.12.短除法原理的直观演示：

1.4.13.第一步：寻找“第一层”公因数。教师用图示法，将24和36并排，思考它们有没有除了1以外的公因数？学生发现2是。我们“提取”这个公因数2，相当于把24和36都除以2，得到商12和18。板书：2|2436→1218。强调：左边是公因数，右边是除以公因数后的新数对。

2.5.14.第二步：迭代寻找。现在问题转化为求（12，18）的最大公因数。继续找它们的公因数，比如2，提取2，得到6和9。板书：2|1218→69。

3.6.15.第三步：直至互质。继续求（6，9）的最大公因数，公因数3，提取3，得到2和3。板书：3|69→23。此时2和3除了1以外没有其他公因数（互质），过程停止。

4.7.16.第四步：合成最大公因数。引导学生观察：我们每次提取的公因数2、2、3，与最终的最大公因数是什么关系？将左边所有的除数相乘：2×2×3=12。验证：12确实是24和36的最大公因数。

8.17.原理揭示：教师用“层层剥离公共外壳”的比喻解释短除法。每一次短除，都是用一个公因数去除两个数，得到的两个新数，它们的公因数中包含了原数剩余的公共部分。当不能再“剥离”（即两数互质）时，所有“剥离”下来的“公共外壳”（除数）的乘积，就是最初两个数全部公共部分的乘积，即最大公因数。

9.18.规范书写与练习：教学短除法的标准书写格式，并让学生用短除法重新计算（24，36）和（72，96），体验其简洁性。

19.环节三：方法沟通，形成网络

1.20.引导学生思考：短除法和列举法、筛选法本质上有什么联系？短除法是连续进行筛选和分解的自动化、流程化表示。理解算理是避免机械套用格式的关键。

第三课时：概念延伸——互质数、特殊关系与规律探究

1.环节一：互质数的概念明晰与判断

1.2.从上一课的例子（如2和3，5和7）引出：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

2.3.辨析：互质数与质数的区别。通过举例说明：两个数互质，不一定两个都是质数（如8和9）；一个是质数，另一个不是它的倍数，通常互质（如5和12）；两个合数也可能互质（如9和16）；1和任何自然数互质。

3.4.判断练习，并总结快速判断互质的常见情况。

5.环节二：特殊数对最大公因数的规律探究

1.6.探究活动：小组合作，计算以下几组数的最大公因数，观察规律：

1.2.7.（3，12）（5，15）（8，24）→（倍数关系）

2.3.8.（3，5）（7，11）（8，9）→（互质关系）

3.4.9.（12，18）（24，36）→（一般关系）

5.10.归纳规律：

1.6.11.当两个数是倍数关系时，较小数是它们的最大公因数。

2.7.12.当两个数互质时，它们的最大公因数是1。

3.8.13.一般关系，用短除法或其他方法求。

9.14.鼓励学生用已有知识解释这些规律（如倍数关系的解释）。

15.环节三：变式与综合练习

1.16.设计综合性、辨析性题目。例如：“已知A=2×3×5，B=2×5×7，求（A，B）。”引导学生利用分解质因数的知识，直观找出公有质因数的乘积，建立与短除法的内在联系，深化理解。

2.17.解决问题：“有两根木料，一根长28米，另一根长42米。现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是几米？一共可以截成多少段？”此题是经典问题的变式，需综合运用最大公因数和实际意义进行解答。

第四课时：迁移应用——在真实与跨学科问题中建模

1.环节一：复杂情境问题解决

1.2.问题1（优化分组）：“五年级一班有男生24人，女生18人，体育老师要分别把男、女生分成若干小组进行练习，要求每组人数相等，且没有剩余。每组最多可以分几人？这时男、女生分别被分成了几组？”

1.2.3.引导学生分析：男生组内人数必须能整除24，女生组内人数必须能整除18，而题目要求“每组人数相等”，即男生每组人数=女生每组人数，所以这个人数必须是24和18的公因数；“最多”意味着求最大公因数。

3.4.问题2（综合规划）：“一间厨房地面长36分米，宽28分米。现计划用正方形地砖铺满（不切割地砖）。有边长为3分米、4分米、6分米、7分米四种规格的地砖可供选择。从节省材料和不切割的角度，你认为应选择哪种边长？需要多少块？”

1.4.5.此题增加了选择条件，需要学生先判断哪些边长是36和28的公因数（4是，7不是），再从公因数中根据实际选择（可能还需考虑美观、价格等，此处聚焦数学条件）。

6.环节二：跨学科视野拓展

1.7.链接音乐（节奏韵律）：介绍简单节奏型，如一个4/4拍小节，左手每拍弹一次（4次），右手每两拍弹一次（2次）。两者同时开始，问经过多少拍后双手再次同时弹下？引导学生将其转化为求4和2的最小公倍数问题（此处为后续学习埋下伏笔，但学生可初步感受周期性相遇问题）。

2.8.链接信息技术（密码学初窥）：极简介绍（科普级别）某些古老的加密方式与数的互质有关（如凯撒密码的移位与字母表长度的关系），感受数学的奥秘与应用广泛性，激发兴趣。

9.环节三：项目式学习启动（可选长时作业）

1.10.发布项目任务：“校园空间优化设计师”——为学校一块不规则区域（可简化为长、宽已知的长方形）设计一个包含正方形花坛、步道地砖铺设、休息区划分等元素的方案，要求大量运用“最大公因数”思想进行规划，使布局整齐、材料节省。提供设计提纲和报告要求。

第五课时：总结反思与单元评价

1.环节一：单元知识网络建构

1.2.引导学生以思维导图等形式，自主梳理本单元的核心概念（因数、公因数、最大公因数、互质数）、方法（列举、筛选、短除）、规律（倍数关系、互质关系）、思想（集合、优化、模型）及应用领域。

2.3.小组分享并完善自己的知识网络图，张贴于“探索墙”。

4.环节二：典型错例分析与思维深化

1.5.呈现本单元练习中出现的典型错误（如概念混淆、短除格式错误、实际问题中单位处理错误、忽略实际意义等），由学生扮演“小医生”进行诊断和纠正，深化理解。

6.环节三：综合性评价与拓展思考

1.7.完成一份单元综合测评卷，涵盖概念理解、技能掌握、问题解决等多个维度。

2.8.布置拓展思考题：“三个数的最大公因数怎么求？例如（12，18，24）。尝试将你学过的方法进行迁移。”鼓励学有余力的学生进行探究。

六、单元学习评价设计

本单元评价遵循“教学评一体化”原则，采用过程性评价与终结性评价相结合、定性评价与定量评价相结合的方式。

1.过程性评价（占比60%）：

1.2.课堂观察记录：教师使用检核表记录学生在操作探究、小组讨论、汇报发言中的