2025年北京竞赛试题及答案

2025年北京竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1.已知函数f(x)=ln(A.(0,]B.(0,2.正四棱锥底面边长为2，侧棱长为，则其内切球半径为（）A.B.C.D.3.最小的正整数n使得n!末尾有2025个零，nA.8095B.8100C.8105D.81104.椭圆+=1（b>0）的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A,B两点，若A.(0,B.(0,C.5.6人围坐圆桌，其中甲不坐乙左侧（不一定相邻），不同的坐法数为（）A.60B.120C.240D.360二、填空题（每题6分，共24分）6.数列满足=1，=2+n7.已知x,y>0且8.复数z满足|z|=1，且9.袋中有3红2白共5个球，不放回取3次，每次取1个，X为取到红球数，Y为取到白球数，Co三、解答题（共51分）10.（12分）已知函数f(x)=3ax+b（a>011.（13分）已知数列满足=1，=+，证明：当n≥212.（13分）在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上一点，满足∠13.（13分）某城市规划建设一条地铁线路，起点A到终点B距离10km，中间设n个站点（n≥1），相邻站点间距均匀。已知地铁行驶速度为60km/h，每停一站上下客时间为30秒，忽略启动刹车时间，求n为何值时，从A到答案及解析一、选择题1.选A。f(x)定义域为ℝ，求导得(x)=2当x=0时，(0)=因1+≥1，故≤1，且当=1时，=为最小值。因此a2.选C。正四棱锥底面为正方形，边长2，底面积。侧棱长，底面中心到顶点距离为，故高h=(=，体积V=侧面为等腰三角形，斜高l==2，侧面积，总表面积内切球半径r满足V=Sr，解得r==？（此处计算错误，正确应为：斜高计算错误。底面边长2，底面中心到边的距离为1，故斜高l==+=2，侧面积4××2×2=8，总表面积4+8=12，体积×4×=。由V=Sr，得r==，但选项中无此答案，说明斜高计算错误。实际侧棱长为，底面顶点到中心距离为，故高h=(=。侧面三角形的高（斜高）为=2（底面边长2，半边长1），故侧面积4××2×2=8，总表面积4+3.选B。n!末尾零的个数由5的指数决定，即⌊试算n=8100：⌊⌋=1620，⌊⌋=324，n=8105：1621+324+64+12+2=2023（错误，实际n=8110：n=8115：1623+324+64+12+2=4.选A。椭圆右焦点F(,0)（b<2）。设直线方程x=设A(,),B=(由OA→·OB→=+=0，代入化简得(+5.选A。6人围坐圆桌，圆排列总数为(6−1二、填空题6.=(递推式两边除以，得。令=，则=+n，=1累加得=1+17.9。展开得()()=。因x+y=由x+y=1≥8.。设z=，则|+z|=|z9.−。X+Y=3，故X∼超几何分布，参数N=三、解答题10.由(x)=33a，f(x)在x=1处有极值，故(曲线与y=8有三个交点，需f(−1)>8且f(1)<8。计算得f(−1)=−1+11.数学归纳法：当n=2时，=1+1=2，=≈1.732假设n=k时，<<由>，得>+又（平方后>2k+1由<，得<+又（平方后<2k+2正确方法：由=+2+当n≥2，>，则<，故累加得<1+2(n1)+<12.以D为原点，BC为x轴，AD为y轴建系。设B(−1,0)，∠BEC=，故EB→·F为BE中点，B(−1,CF的斜率=1=−，AD的斜率为无穷大（沿y正确建系：设D(0,0)，B(−a,0)，C(a,0)，A(CF的向量为(−a,0)=(−,)，AD的向量为(0,b)（沿y轴），故CF的斜率为，与AD（垂直于x轴）不垂直，说明条件或证明有误，正确方法应为CF·AD=0（向量点积），CF→=(−a,013.相邻站点间距d=km，行驶时间=停靠次数为n次（起点不停），停靠时间=30n秒总时间T(n)=10+0.5n。但此模型错误，实际行驶时间应为各段行驶时间之和，每段停靠时间为n次，每次30秒，故总