高职物理 基础模块 课件 电场强度通量 静电场的高斯定理

静电场及其应用第二章目录2.1电荷的量子化库仑定律电场强度2.2电场强度通量静电场的高斯定理2.3静电场的环路定理电势能电势2.4电场强度与电势梯度2.2电场强度通量静电场的高斯定理第二章静电场及其应用课标要求——电场强度通量静电场的高斯定理了解电场线模型以及电场线密度的物理意义。掌握电场强度通量和静电场中的高斯定理，知道静电场是有源场，会应用高斯定理计算特定电场的电场强度。2.2.1电场强度通量观察水流和气流，想一想如何观察或感知到“电场”？电场线法拉第引入（电）场线的概念。在静电场中，每一点的场强都有一个确定的方向。因此可以在电场中画出一系列有向曲线，使这些曲线上每一点的切线方向都与该点的场强方向一致，且曲线的疏密程度能反映该点场强的大小。这样画出来的曲线就称为电场线。电场线试着按照课本的提示动手模拟电场线，可以总结出什么规律？电场线观察电场线可以得出：（1）电场线为非闭合曲线。电场线始于正电荷（或来自于无穷远处），终止于负电荷（或终止于无穷远处），在无电荷处不中断。（2）任何两条电场线在无电荷处不相交。电场线在电场中每一点，穿过垂直于场强方向单位面积的电场线根数，与该点场强的大小相等。即电场线密集处场强大；电场线稀疏处场强小。电场线思考测量“降雨量（雨通量）”的方法，并讨论我国古代科技的发展。电场线电场中，穿过任一曲面S的电场线条数称为通过该曲面的电通量，用表示。在非均匀场E中曲面S取一微小面积元dS，该面积元的法线方向与该处场强E（在dS周围可当作恒定量）的夹角为θ，dS⊥是dS在垂直于E方向的投影。根据电场线画法的规定，通过该面积元的电场线条数（电通量）即为上述定义的电通量实际上是大小关系，没有表达出电场线从面的“哪一侧”穿过（穿出）。想一想电场与面的位置关系如何表示？(2.9)电场线设定面积元dS的方位，利用规定面积元的法线方向的单位矢量，将面元表示为矢量（任何一个矢量可以表示为A=Aa，a为A矢量方向上的单位矢量）为任意曲面S都可看作是由无限多个小面元dS组成的，因此通过S的电通量就等于通过这些小面积元电通量的代数和。连续求和就是积分，所以有根据矢量标积的定义，则穿过面积元dS的电通量也可表示为(2.10)电场线复习矢量矢量表达有简洁性，矢量常见运算有两种：标积A·B=ABcosθ；标积对应的物理量为标量，如电通量。叉积A×B=C

大小：

C=ABsinθ

，其中θ为两矢量之间小于π的角度。

方向：右手四指由矢量A转向矢量B，拇指所指方向。叉积对应的物理量为矢量，如洛伦兹力。2.2.2静电场的高斯定理高斯定理对于非闭合的任意曲面，面元可以有两个任意选择的法线正方向。由于电场强度的方向是确定的，所以不同法线正方向的选择，计算出的电通量的符号就会有正、负之别。对闭合曲面而言，则规定面元的法线方向向外。于是闭合曲面的电通量(2.11)当总电场线从内部穿出时，；当总电场线从外部穿入时，。高斯定理设有一静止点电荷q(q>0)处于半径为r的球面的中心，求该电荷产生的静电场通过该球面的电通量。根据点电荷的场强公式，在球面S上每一点场强大小均为，场强方向均沿径向向外，E与小面元dS同向。因此，由电通量公式可知，通过球面的总电通量为(2.12a)高斯定理式（2.12a）虽然是通过球面的电通量，但可以严格证明，无论封闭面是什么形状，只要电荷被包围在封闭面内，（2.12a）都成立。思考讨论以下问题：（1）式（2.12a）的含义是什么？根据电通量的形象化定义，它是穿过的电场线条数，那么，式（2.12a）表明穿出（）封闭面的电场线条数就等于电荷量q除以（），且电场线发自正电荷（封闭面趋近电荷表面该式仍成立，即可得出此结论）。高斯定理（3）若点电荷不在封闭面内，情况会怎样？结论是什么？该情况的计算结果是电通量为零。这表明电场线穿进的条数等于穿出的条数，更进一步说明电场线在没有电荷的地方不会中断。（2）若封闭面包围的是一个负点电荷，结果会怎样、结论是什么？此情况的计算过程其实与正电荷情况一样，只是最后结果为负，即，其结论表明电场线从外部穿入、汇聚于负电荷。综合上述情况，可以将式（2.12a）扩展为(2.12b)高斯定理封闭面（也可称高斯面）内、外都可以同时有若干电荷存在，那么总电场强度在高斯面上的电通量是怎么决定的呢？在真空中，静电场通过任一闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面内所包围电荷电量的代数和除以，其数学表达式为(2.13)(为高斯面内第i个电荷的电量）

称作高斯定理，即式（2.12）是一个点电荷情况下的高斯定理。高斯定理高斯定理的重要意义是把电场与产生电场的源电荷联系起来，反映了静电场是有源场这一基本性质。凡是有正电荷的地方必有电场线发出，凡是有负电荷的地方必有电场线汇聚。正电荷是电场线的源头，负电荷是电场线的终点。因此，高斯定理是有源静电场的理论表述。例2.5式中，代入数据可得，实验表明：在靠近地面处有垂直于地面向下的电场E，大小约为100V/m。如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上的电荷面密度。

解

在地球表面取一底面积为S，高为h的圆柱面，根据高斯定理：圆柱面包裹的电荷量等于电荷面密度乘以面积例2.6高斯定理除了能表明静电场特性外，还能在带电体的电荷分布具有高度对称性时，方便地求出带电体在空间产生的场强分布。一均匀带电薄球壳，半径为R，带电量为Q，试求球壳内、外的场强分布。解

（1）分析电场分布的对称性设球心在O点，在球壳外任取一点P，在OP连线两侧的球壳上对称地选取面积相等的两面元dS1和dS2，因球壳均匀带电，两面元上电荷的电量dq1=dq2，它们激发的电场在P点的场强分别为dE1和dE2。由对称性可知，dE1和dE2的矢量和dE一定沿着OP连线方向。将整个球壳分割成许多对对称的面元，由于球壳均匀带电，每一对对称面元上的电荷激发的电场在P点的场强的矢量和，也一定沿着OP连线方向，故P点的总场强E沿OP方向。由于电荷在球壳上均匀分布，所以在以O为球心、以为半径的球面上，各点的场强大小相等。由此可见，均匀带电球壳上的电荷激发的电场分布具有球对称性，即在与带电球壳同心的球面上各点的场强大小相等，场强的方向沿着径向。（2）选取具有相同对称性的闭合曲面（高斯面）由于场强分布具有球对称性，因此应选取以O点为球心，以所求场点（P点）到球心的距离r为半径的球面S作为高斯面。（3）计算通过选取高斯面的电通量由于球高斯面S上各点场强的大小相等，且E的方向都沿径向，与各点的法线方向（即面元dS的方向）相同。所以，通过该高斯面S的电通量为(2.14)这正好与点电荷电场强度公式一致。当Q＞0时，场强方向沿半径向外；当Q＜0时，场强方向沿半径指向球心。（4）应用高斯定理求场强运用高斯定理，因为高斯面S包围的电荷量为Q，即，结合球的电通量公式有得球壳外场强分布为(2.15)①带电球壳外的场强分布（4）应用高斯定理求场强设P′为带电球壳内任一点，P′点到球心的距离为r（r<R）。上述有关均匀带电球壳上的电荷激发的电场分布具有对称性的分析同样适用，则通过高斯面S′的电通量表达式形式上仍为。因高斯面S′包围的电荷量为0，即，有所以，带电球壳内的场强等于零，即②带电球壳内（r<R）的场强分布可以看出，均匀带电球壳在球外空间激发的电场，与电荷全部集中在球心时的点电荷激发的电场相同；在球壳内部场强处处为零。场强大小随距离r变化的规律如下图。从图中可以看出，球壳表面处的场强最大。球壳不为金属时也有相同的结果。任何形状的导体都具有屏蔽作用，导体球壳做成屏蔽罩不易出现“尖端放电”，而且节省用材。高斯定理的应用例2.7电容器的主要功能是存储电荷、约束电场。电容器的前身是莱顿瓶，它通常由两个金属极板及其中间的绝缘介质构成。大多数电容器是两个相对平板构成的平板电容器。设无限大均匀带电薄板的正电荷面密度为（单位面积的带电量），求平板外任一点处的场强分布。

解

由于电荷均匀分布在平面内，且平面为无穷大，所以电场分布具有面对称性，即到带电平面距离相等的各点场强大小相等，各点的场强方向应是垂直于平面且指向平面外侧。圆柱形高斯面的一个底面S1过场点P，另一底面S2与S1对称地置于带电平面的另一侧。设圆柱底面的面积为，根据高斯定理，有因电场强度掠过侧面，所以侧面的电通量为零，并考虑到，则有得(2.16)上式表明，无限大带电平面在空间任意点产生场强的大小与该点到带电平面的距离无关，即无限大均匀带电平面两侧的电场是匀强电场。若平板带负电，场强大小仍满足上式，只是方向垂直指向板面。（1）值得