高职物理 基础模块 课件 第二章 静电场及其应用

静电场及其应用第二章目录2.1电荷的量子化库仑定律电场强度2.2电场强度通量静电场的高斯定理2.3静电场的环路定理电势能电势2.4电场强度与电势梯度2.1电荷的量子化库仑定律电场强度第二章静电场及其应用课标要求——电荷的量子化库仑定律电场强度了解电荷及其量子化特征，以及电荷守恒定律。了解点电荷模型以及点电荷模型建构的过程和条件，掌握真空中点电荷的库仑定律。了解静电场及其电场的物质特性。理解电场强度，掌握点电荷电场强度的计算方法，会使用叠加原理计算点电荷系及部分连续分布规则电荷的电场强度。了解静电场在生产、生活中的应用，了解静电场的危害及防护办法。在干燥的冬天，穿毛衣时为什么会有电火花？物体所带电荷的多少用电量来量度。在国际单位制中，电量的单位是库仑，符号为C。一个电子所带电量的绝对值称为基本电量，又称元电荷，用e表示。e的值可取为2.1.1电荷的量子化物体所带的电量Q都是基本电量e的整数倍，即其中n为正整数。这种电荷的分立取值现象称电荷的量子化。电荷的一个基本性质是与其他电荷之间存在相互作用力——静电力。静电力的规律会因为带电体的形状、大小而出现复杂性，如何简化呢？想一想第一章中的“质点”。2.1.2库仑定律当带电体的尺度、形状与带电体间的距离相比可以忽略不计时，就可将这些带电体视为点电荷。1785年，法国物理学家库仑通过扭秤研究带电体之间的相互作用，构建出电荷之间相互作用的基本规律，后称库仑定律：真空中两个静止的点电荷q1与q2，它们之间相互作用力的大小与q1q2成正比，与距离r的平方成反比。作用力的方向沿着它们的连线方向，同号电荷相斥，异号电荷相吸。其数学表达式为(2.1)式中，，称为真空介电常数，又叫真空电容率。为由施力者指向受力者的单位矢量，大小为1。满足库仑定律的带电粒子之间的静电力称库仑力。库仑定律式（2.1）与第一章中的万有引力定律式（1.40）非常相似，实验是如何实现电荷量的“定量”测量呢？查阅资料，体会扭秤实验的精妙之处。带电体都是有质量的物体，那么在考虑带电体之间库仑作用力的同时是否需要考虑万有引力呢？氢原子是由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。若电子绕核做半径为的圆周运动，试求它们之间的静电力和万有引力大小之比。已知电子质量、质子质量，万有引力常量。

解

质子带+e电荷，电子带-e电荷，它们之间的静电力为引力，其大小由库仑定律求得例2.1它们之间的万有引力大小为则两个力大小之比为可见。由此可知，在原子、分子层面上的微观范畴内，考虑电荷之间的库仑力的同时可以忽略万有引力的存在，但在宏观带电体受力问题中，往往要综合考虑这两个力的作用，不能随意忽略某一个力。2.1.3电场强度感知是通过“接触”来实现的。电荷的相互作用是通过什么实现的？思考什么是“场”——物质存在的特殊形式电荷在其周围空间激发电场，该场对放于其中的其他电荷有力的作用，这一作用力叫做电场力。电荷电荷电场静止电荷产生的电场称为静电场，静电场对放入其中的电荷的电场力也称为静电力——这是用“电场”形式引进的力的定义，与上述库仑力一致。如何测量一个看不见的“电场”的强弱？把一个电荷q0放入另一个电荷的电场中。测量其受到的电场力F，得到电场反映力的特征的物理量。电荷q0电场对于电场中的某点，试探电荷受到的电场力与电荷电量的比值

，是一个大小及方向均与试探电荷无关的物理量，反映了电场本身的性质。这个比值作为描写电场的物理量，称为电场强度（简称场强），即静电场中任一点的电场强度是一矢量，其大小等于单位电荷在该点所受电场力的大小，其方向与单位正电荷在该点所受电场力的方向一致。电场强度通常用符号E表示，即一个电荷q0放入另一个电荷的电场中。(2.2)在国际单位制中，场强的单位为或

（伏特每米）。若静电场是由点电荷（源电荷）所激发，如图（a），则由和

可得，试探电荷所受的电场力为其中为源电荷指向场点的单位矢量。由此可得，点电荷电场强度的计算表达式(2.3)即，点电荷产生的电场强度的大小正比于电荷量，反比于距离的平方，其方向如图（b）。思考：什么是“试探电荷”？为什么要引入“试探电荷”？利用静电场可以进行选矿分离，压碎的某种磷酸盐矿石是磷酸盐和石英颗粒的混合体，在通过输送器A时将它们振动，引起摩擦带电，使磷酸盐带正电，石英带负电，后从两块平行带电平板(可视做无限大均匀带电平行平面)之间的中央落入，设其间的电场强度大小为，方向如图所示，它们每千克所带电荷的大小均为

。求在带电平板中每千克磷酸盐所受的电场力大小。

解

由题意与电场力公式，得例2.2代入题中数据，可得电场力大小为如果空间同时存在多个源电荷，则电场中任一点P的场强应是这些电荷共同激发的结果。实验表明，任一点的场强等于各点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和。这个结论叫做场强叠加原理。(2.4)其中表示点电荷qi单独存在时在场点P所激发的场强。

解

设P点到O点的距离为r，点电荷+q和-q单独存在时激发的电场在P点的场强分别为E+和E-

，由于P点到+q和-q的距离相等，为例2.3一对等量异号点电荷相距为l，它们构成的带电系统称为电偶极子。求电偶极子连线的中垂线上任一点P处的场强。因此，E+和E-大小相等，为

E+和E-的方向在x轴上的分量大小相等、方向相同，都沿x轴负方向。而在y轴上的分量大小相等、方向相反，互相抵消。所以总场强E只有的x分量，为由几何关系可知故P点的场强的大小为场强E的方向沿x轴负方向。本例题中的两点电荷连线的中点O，是中垂线上的特殊点，因此以r=0代入上式应该就是O点的场强的大小，即(2.5)电偶极子在空间各点产生的电场对电磁辐射有着非常重要的意义，因为一旦电场随时间变化，它就成为了向外辐射电磁波的源。视频：从电偶极子磁偶极子到无线充电对于电荷连续分布的带电体而言，电场的叠加原理依然适用，此时将带电体看成由许多电荷元所组成，不同于式（2.4），求和要被积分替代，即对于一个体分布电荷，，其中为电荷体密度（单位体积中的电量），dV为带电体的体积元；对于一个面分布电荷，，其中为电荷面密度（单位面积上的电量），

dS为带电面上的面元；对于一个线分布电荷，，其中为电荷线密度（单位长度上的电量），

dl为带电线上的线元。

解

取圆环中心轴为x轴，圆心为坐标原点，方向向右为正。由题意可知，电荷线密度为。将圆环分割成许多小的线元，任取一线元dl，其带电量（电荷元）为例2.4一均匀带电细圆环的半径为R，带电量为q>0，环的轴线上一点P与环心O的距离为x，求P点的场强。电荷元dq在圆环轴线上距环心为x的P点的场强大小为把电场dE分解为沿x轴的分量dEx和垂直y轴的分量dEy，由轴对称性知，垂直分量有相互抵消的成分，导致有则总电场只有沿x方向的分量，即

由于R、x为定值，故θ、r亦为常量，且、，可得(2.6)当观察点到带电体系的距离远大于带电体系的线度时，场强会表现特殊规律，这是一般规律的极端表现，这也是物理学习中应该掌握的能力。（1）当，，此时有（2）当，有当在远离环形电荷分布处看这个分布时，已无法看出环形形状，只能认为是一个“点”分布。

这个特定点的情况，是因环心处各电荷元的电场互相抵消的结果。一均匀带正电直线（通电电缆截面），长为l，电荷线密度为。在中垂面有一点P与带电直线的距离为x，则P点的场强E的大小与方向是如何处理的？拓展探究这是一个一般带电直导线的特殊（中垂面）点问题。想一想例2.4，在解题时用了什么方法？电荷元法+积分在直导线任意位置上取电荷元dq，此电荷元到P点的距离为r，则dq在P产生的场强大小为由于不同位置处的电荷元在P点产生的dE的方向不同，所以在计算场强时要分别计算x方向和y方向上的电场分量由于对称性，因此P点的电场强度只有x分量，即

E的方向沿垂直于导线向外的方向。将变量y、r变换为θ。由三角形关系、，及，并考虑到导线上、下半段的对称性，积分范围0~

θ1，则有(2.7)若一般的长直电缆线变为特殊的“无限长”电缆，则式（2.7）中的，且原来中垂面的特殊点，变为空间任一点都是无限长导线的中垂面上的点（对称性所至），因此一根无限长直带电电缆周围的电场强度为(2.8)式（2.8）在很多实际情况中都可作为带电直导线的场强估计值的计算公式。静电场及其应用第二章目录2.1电荷的量子化库仑定律电场强度2.2电场强度通量静电场的高斯定理2.3静电场的环路定理电势能电势2.4电场强度与电势梯度2.2电场强度通量静电场的高斯定理第二章静电场及其应用课标要求——电场强度通量静电场的高斯定理了解电场线模型以及电场线密度的物理意义。掌握电场强度通量和静电场中的高斯定理，知道静电场是有源场，会应用高斯定理计算特定电场的电场强度。2.2.1电场强度通量观察水流和气流，想一想如何观察或感知到“电场”？电场线法拉第引入（电）场线的概念。在静电场中，每一点的场强都有一个确定的方向。因此可以在电场中画出一系列有向曲线，使这些曲线上每一点的切线方向都与该点的场强方向一致，且曲线的疏密程度能反映该点场强的大小。这样画出来的曲线就称为电场线。电场线试着按照课本的提示动手模拟电场线，可以总结出什么规律？电场线观察电场线可以得出：（1）电场线为非闭合曲线。电场线始于正电荷（或来自于无穷远处），终止于负电荷（或终止于无穷远处），在无电荷处不中断。（2）任何两条电场线在无电荷处不相交。电场线在电场中每一点，穿过垂直于场强方向单位面积的电场线根数，与该点场强的大小相等。即电场线密集处场强大；电场线稀疏处场强小。电场线思考测量“降雨量（雨通量）”的方法，并讨论我国古代科技的发展。电场线电场中，穿过任一曲面S的电场线条数称为通过该曲面的电通量，用表示。在非均匀场E中曲面S取一微小面积元dS，该面积元的法线方向与该处场强E（在dS周围可当作恒定量）的夹角为θ，dS⊥是dS在垂直于E方向的投影。根据电场线画法的规定，通过该面积元的电场线条数（电通量）即为上述定义的电通量实际上是大小关系，没有表达出电场线从面的“哪一侧”穿过（穿出）。想一想电场与面的位置关系如何表示？(2.9)电场线设定面积元dS的方位，利用规定面积元的法线方向的单位矢量，将面元表示为矢量（任何一个矢量可以表示为A=Aa，a为A矢量方向上的单位矢量）为任意曲面S都可看作是由无限多个小面元dS组成的，因此通过S的电通量就等于通过这些小面积元电通量的代数和。连续求和就是积分，所以有根据矢量标积的定义，则穿过面积元dS的电通量也可表示为(2.10)电场线复习矢量矢量表达有简洁性，矢量常见运算有两种：标积A·B=ABcosθ；标积对应的物理量为标量，如电通量。叉积A×B=C

大小：

C=ABsinθ

，其中θ为两矢量之间小于π的角度。

方向：右手四指由矢量A转向矢量B，拇指所指方向。叉积对应的物理量为矢量，如洛伦兹力。2.2.2静电场的高斯定理高斯定理对于非闭合的任意曲面，面元可以有两个任意选择的法线正方向。由于电场强度的方向是确定的，所以不同法线正方向的选择，计算出的电通量的符号就会有正、负之别。对闭合曲面而言，则规定面元的法线方向向外。于是闭合曲面的电通量(2.11)当总电场线从内部穿出时，；当总电场线从外部穿入时，。高斯定理设有一静止点电荷q(q>0)处于半径为r的球面的中心，求该电荷产生的静电场通过该球面的电通量。根据点电荷的场强公式，在球面S上每一点场强大小均为，场强方向均沿径向向外，E与小面元dS同向。因此，由电通量公式可知，通过球面的总电通量为(2.12a)高斯定理式（2.12a）虽然是通过球面的电通量，但可以严格证明，无论封闭面是什么形状，只要电荷被包围在封闭面内，（2.12a）都成立。思考讨论以下问题：（1）式（2.12a）的含义是什么？根据电通量的形象化定义，它是穿过的电场线条数，那么，式（2.12a）表明穿出（）封闭面的电场线条数就等于电荷量q除以（），且电场线发自正电荷（封闭面趋近电荷表面该式仍成立，即可得出此结论）。高斯定理（3）若点电荷不在封闭面内，情况会怎样？结论是什么？该情况的计算结果是电通量为零。这表明电场线穿进的条数等于穿出的条数，更进一步说明电场线在没有电荷的地方不会中断。（2）若封闭面包围的是一个负点电荷，结果会怎样、结论是什么？此情况的计算过程其实与正电荷情况一样，只是最后结果为负，即，其结论表明电场线从外部穿入、汇聚于负电荷。综合上述情况，可以将式（2.12a）扩展为(2.12b)高斯定理封闭面（也可称高斯面）内、外都可以同时有若干电荷存在，那么总电场强度在高斯面上的电通量是怎么决定的呢？在真空中，静电场通过任一闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面内所包围电荷电量的代数和除以，其数学表达式为(2.13)(为高斯面内第i个电荷的电量）

称作高斯定理，即式（2.12）是一个点电荷情况下的高斯定理。高斯定理高斯定理的重要意义是把电场与产生电场的源电荷联系起来，反映了静电场是有源场这一基本性质。凡是有正电荷的地方必有电场线发出，凡是有负电荷的地方必有电场线汇聚。正电荷是电场线的源头，负电荷是电场线的终点。因此，高斯定理是有源静电场的理论表述。例2.5式中，代入数据可得，实验表明：在靠近地面处有垂直于地面向下的电场E，大小约为100V/m。如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上的电荷面密度。

解

在地球表面取一底面积为S，高为h的圆柱面，根据高斯定理：圆柱面包裹的电荷量等于电荷面密度乘以面积例2.6高斯定理除了能表明静电场特性外，还能在带电体的电荷分布具有高度对称性时，方便地求出带电体在空间产生的场强分布。一均匀带电薄球壳，半径为R，带电量为Q，试求球壳内、外的场强分布。解

（1）分析电场分布的对称性设球心在O点，在球壳外任取一点P，在OP连线两侧的球壳上对称地选取面积相等的两面元dS1和dS2，因球壳均匀带电，两面元上电荷的电量dq1=dq2，它们激发的电场在P点的场强分别为dE1和dE2。由对称性可知，dE1和dE2的矢量和dE一定沿着OP连线方向。将整个球壳分割成许多对对称的面元，由于球壳均匀带电，每一对对称面元上的电荷激发的电场在P点的场强的矢量和，也一定沿着OP连线方向，故P点的总场强E沿OP方向。由于电荷在球壳上均匀分布，所以在以O为球心、以为半径的球面上，各点的场强大小相等。由此可见，均匀带电球壳上的电荷激发的电场分布具有球对称性，即在与带电球壳同心的球面上各点的场强大小相等，场强的方向沿着径向。（2）选取具有相同对称性的闭合曲面（高斯面）由于场强分布具有球对称性，因此应选取以O点为球心，以所求场点（P点）到球心的距离r为半径的球面S作为高斯面。（3）计算通过选取高斯面的电通量由于球高斯面S上各点场强的大小相等，且E的方向都沿径向，与各点的法线方向（即面元dS的方向）相同。所以，通过该高斯面S的电通量为(2.14)这正好与点电荷电场强度公式一致。当Q＞0时，场强方向沿半径向外；当Q＜0时，场强方向沿半径指向球心。（4）应用高斯定理求场强运用高斯定理，因为高斯面S包围的电荷量为Q，即，结合球的电通量公式有得球壳外场强分布为(2.15)①带电球壳外的场强分布（4）应用高斯定理求场强设P′为带电球壳内任一点，P′点到球心的距离为r（r<R）。上述有关均匀带电球壳上的电荷激发的电场分布具有对称性的分析同样适用，则通过高斯面S′的电通量表达式形式上仍为。因高斯面S′包围的电荷量为0，即，有所以，带电球壳内的场强等于零，即②带电球壳内（r<R）的场强分布可以看出，均匀带电球壳在球外空间激发的电场，与电荷全部集中在球心时的点电荷激发的电场相同；在球壳内部场强处处为零。场强大小随距离r变化的规律如下图。从图中可以看出，球壳表面处的场强最大。球壳不为金属时也有相同的结果。任何形状的导体都具有屏蔽作用，导体球壳做成屏蔽罩不易出现“尖端放电”，而且节省用材。高斯定理的应用例2.7电容器的主要功能是存储电荷、约束电场。电容器的前身是莱顿瓶，它通常由两个金属极板及其中间的绝缘介质构成。大多数电容器是两个相对平板构成的平板电容器。设无限大均匀带电薄板的正电荷面密度为（单位面积的带电量），求平板外任一点处的场强分布。

解

由于电荷均匀分布在平面内，且平面为无穷大，所以电场分布具有面对称性，即到带电平面距离相等的各点场强大小相等，各点的场强方向应是垂直于平面且指向平面外侧。圆柱形高斯面的一个底面S1过场点P，另一底面S2与S1对称地置于带电平面的另一侧。设圆柱底面的面积为，根据高斯定理，有因电场强度掠过侧面，所以侧面的电通量为零，并考虑到，则有得(2.16)上式表明，无限大带电平面在空间任意点产生场强的大小与该点到带电平面的距离无关，即无限大均匀带电平面两侧的电场是匀强电场。若平板带负电，场强大小仍满足上式，只是方向垂直指向板面。（1）值得说明的是，虽然实际无限大的带电板是不存在的，但在有限大的带电平面的附近，只要不是太靠近边缘，上面得到的结果近似成立。（2）设两个带电荷的带电板，当它们之间间距很小时，可看作“无限大”均匀带电平面平行放置，其间的电场强度为。这恰恰就是平板电容器内部的电场强度。电容器工作时两极板之间会有电压，此时两极板会带上正、负等量电荷。平板电容器的两极板之间间距很小，每个极板都可看做“无限大”，这就有了的结果。静电场及其应用第二章目录2.1电荷的量子化库仑定律电场强度2.2电场强度通量静电场的高斯定理2.3静电场的环路定理电势能电势2.4电场强度与电势梯度2.1静电场的环路定理电势能电势第二章静电场及其应用课标要求——静电场的环路定理电势能电势了解静电场中电场力做功的特点和电势能的概念，理解电场力做功与电势能变化的关系，加深对电场具有能量的认识，理解静电场的环路定理。了解电势及点电荷电势，会利用叠加原理计算点电荷系及连续分布电荷周围的电势。了解电场力在粒子加速器、离子推进器、材料加工等工程技术中应用。2.3.1静电场的环路定理观察日常生活中电器的插头，有的是三根插头，有的是两根插头，想一想为什么？电场力做功力做功能量速度加速度运动改变位移积累产生电场力做功电荷在电场中运动时电场力做功，会产生能量的变化。若有一点电荷q（q正、负皆可）静止于真空中，一试探电荷q0在q激发的电场中从点a沿任意路径acb移到b点的过程中，电场力将对试探电荷q0做功，这个静电力做功为(2.17)式中和分别为试探电荷的起点和终点到点电荷q的距离。上式表明电场力所做的功只与试探电荷起点和终点的位置有关，而与所通过的实际路径无关。电场力做功对于一般情况下的静电场做功，点电荷电场力做功同样适用。根据场强叠加原理，可以将上述结论推广到任意带电体激发的电场中去，从而得出一般结论：电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功只与该电荷的起点和终点位置有关，与电荷移动的路径无关。所以静电场力是保守力。电场力做功起点和终点设在一个位置，电荷在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，静电场力做功为零，即静电场的环路定理由此可得(2.18)式（2.18）称为静电场的环路定理。环路定理传递出静电场的什么性质以及可以引申出什么物理量？静电场强沿任意闭合路径的线积分称为E的环流。静电场的环路定理的实质是静电场是无旋场。用电场线来表达电场的无旋性，就是电场线不封闭（如果电场线封闭，沿这根电场线路径上的），这与静电场中的电场线“发自于正电荷，终止与负电荷（无穷远）”一致。总结出静电场的两个重要特性：有源、无旋性（高斯定理、环路定理）。静电场的环路定理2.3.2电势能保守力做功对应于势能，静电保守力可以引申出静电能。从能量观点，静电场的环路定理表明，静电场存在一个由位置决定的电势能。与重力场中的重力势能类似，电势能改变量等于电场力做的功的负值。当电场力对某电荷q0从电场a点做功到b点，则电势能的变化与电场力做功W的关系为(2.19a)上式（2.19a）是电功和电能关系的定义表达式。若电场是点电荷产生的，则与式（2.17）比较，并将b点设置在“无穷远”处，同时设定b点为势能零点，则可以得到点电荷电场中某点a位置处电荷q0与场源电荷q的共有电势能的值为(2.20)在电场中引入试探电荷q0，测量能够感知的电势能。由式（2.20）可知，在电场中某点具有的电势能（标量），不仅与电场中a点的位置（

）有关，还与场中引入的其他电荷q0有关。对比电场强度的引入，比值只与场源和位置有关，因此可用来表征电场能的性质。定义这个物理量为电势V。这样得出源电荷q激发的电场中a点的电势为(2.21)2.3.3电势式（2.21）表明，点电荷电场中，在源电荷q不变的情况下，电势相同的空间位置是以点电荷为中心的球面。当（正电荷电场），球面半径越大，电势越低，反之，越高；当（负电荷电场），球面半径越大，电势越高，反之，越低。在国际单位制中，电势的单位是伏特，简称伏，符号是V。电势是不是也可以叠加？将每一个“点电荷”的电势独立求出后再相加，就得到总的场点电势，这一做法称电势叠加原理。点电荷电势式（2.21）具有一般性，且可以推知出以无穷远为电势零点的一般电势计算表达式为 (2.22)电势是从能量角度来表征静电场性质的物理量，它是标量，也是一个相对量。电势零点的选取，原则上可任意选取。在计算中，当电荷分布在有限区域时，一般选无穷远处为电势零点，如式（2.22）。在实际问题中，常以地球为电势零点，如电器接地。电气设备的接地作用：（1）为了有一个标准本底电势；（2）可以为设备提供一个屏蔽保护，以免外部信号干扰；（3）为了安全。安全是所有用电设备最重要的首位考量因素，包含设备运行的正常和设备使用者的人身安全。如果电气设备发生漏电情况，接地可以很好地保证电流流入地下，而不会对使用者产生伤害。因此，“接地”应该成为所有工程设计、施工和使用者的共识和常识。假如任意选择了某点（不是无穷远）为电势零点，如何由式（2.21）计算出点电荷场新电势零点后的电势？静电场中a、b两点电势的差值，称为这两点间的电势差，用表示，即(2.23)可以看出，电势差与电势零点的选取无关。可先设无穷远处为电势零点，用式（2.21）分别求出场点中的任一点（r）和将要作为电势零点的点O（r0）的电势。再求出它们的电势差，此电势差即为“以O点为电势零点的任意场点处的电势”，即一间半径为R金属圆形的电工元器件调试棚，其棚体带电q，远处到圆心距离处有点电荷Q。为了调式元器件设备，需要了解建筑物本底电势，求空置的调试棚中的电势是多少？例2.8

解首先根据金属“屏蔽”常识得知，金属球体内壁无电荷，然后根据高斯定理，在工棚内任意位置，做任意形状的高斯