第二十一章 四边形 单元测试卷（含答案） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章四边形单元测试卷用时:120分钟总分:120分得分:一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.(2025·江苏扬州高邮期末)如图,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠ADE是四边形ABCD的一个外角.若∠B=75°,则∠ADE的度数为().A.125° B.105° C.90° D.75°2.(2025·泸州中考)矩形具有而菱形不具有的性质是().A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.对角相等3.(2025·广元中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,对角线AC,BD交于点O,P是AB的中点,连接DP,E是DP的中点,连接OE,则OE的长是().A.1 B.32 C.2 4.(2025·宿迁中考)如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,则下列结论错误的是().A.DE∥BC B.∠B=∠EFCC.∠BAF=∠CAF D.OD=OE5.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6,AB=5,则AE的长为().A.4 B.8 C.6 D.106.(2025·石家庄正定三模)如图,EF为△PBC的中位线,过点P作PQ⊥EF,垂足为Q,将△PBC分割后拼接成矩形ABCD.若EF=8,PQ=6,则矩形ABCD的面积是().A.48 B.24 C.72 D.967.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,CE⊥BD,垂足为E,CE=5,且EO=2DE,则AD的长为().A.56 B.65 C.10 D.638.(2025·山东济南槐荫区期末)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点O,若OA=OD=5,AB=6,则四边形ABCD的面积为().A.24 B.36 C.48 D.609.(2025·安徽马鞍山含山期中)如图,AB=40A.15 B.202 C.152 D.10.(2025·北京密云区期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M是CD边上的一个动点(不与C，D两点重合)，过点M作射线MO交AB边于点N，作线段MN的垂直平分线分别交AD，BC边于点P，Q，得到四边形MPNQ.在点M的运动过程中，下列结论正确的是().①存在无数个四边形MPNQ是平行四边形；②存在无数个四边形MPNQ是矩形；③存在无数个四边形MPNQ是菱形；④至少存在一个四边形MPNQ是正方形.A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11.(2025·广东清远英德期末)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD为平行四边形,则需添加一个条件，这个条件可以是.12.(2025·江苏宿迁宿城区期末)在平面直角坐标系中,有四个点O(0,0),A(4,0),B(1,3),C(x，3)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=.13.(2025·黑龙江中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使平行四边形ABCD为菱形.14.(2024·湖南长沙第一中学期中)如图，在平行四边形ABCD中，CD=6,∠BAD=60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AD于点N；②分别以点M，N为圆心，大于115.(2025·辽宁中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段OA上,AE=2,点F在线段OC上,OF=1,连接BE,G为BE的中点,连接FG,则FG的长为.16.如图,四边形ABCD是边长为3的菱形,对角线AC+BD=8,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,顺次连接E,F,G,H,则四边形EFGH的面积为.17.(2025·北京中考)如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,∠EBC=30°,则△ABF的面积为.18如图,在正方形ABCD中,AB=6,E,F,G分别为AD,AB,BC上的点,连接EG,DF,若AE=AF=CG,则2DF+EG的最小值为.三、解答题(本大题共8小题，共66分)19.(6分)(2025·云南中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l₁,△BOC的周长为l₂,四边形ABCD的周长为l₃.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若l220.(8分)(2025·浙江中考)[问题背景]如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.[数学理解](1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.21.(8分)(2025·山东德州庆云期末)如图,已知E是▱ABCD中边BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF=BC.(1)求证:四边形ABFC为矩形;(2)若△AFD22.(8分)(2025·青岛二模)如图,AD是△ABC的中线，过点D作AB的平行线交AC于点E，O是AD的中点,连接EO并延长,交AB于点F,连接DF.(1)求证:OE=OF.(2)当△ABC23.(8分)(2025·山东淄博期末)如图,在△ABC中，AB=AC,,D,E分别是AB,BC的中点,BF‖(1)求证:四边形BDEF是菱形;(2)连接DF,若BE=4,24.(8分)(2025·广东湛江麻章区期末)如图，在正方形ABCD中，AB=32(1)求证:矩形DEFG是正方形;(2)求AG+AE的值;(3)若F恰为AB的中点,求正方形DEFG的面积.25.(10分)在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B,D,F在同一条直线上,H是BF的中点.(1)如图(1)所示,若AB=1,DG=2,求BH的长;(2)如图(2)所示,连接AH,GH,求证:AH=GH,AH⊥GH.26.(12分)(2025·德阳中考)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E，F处是它的两个门，且DE=CF,，要修建两条直路AF，BE，AF与BE相交于点O(两个门E，F的大小忽略不计).(1)请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系?说明理由.(2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路?若能，能修建几条?并说明理由.1.D[解析]∵∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°,∠A+∠C=180°,∠B=75°,∴∠ADC=360°-180°-75°=105°.∵∠ADE+∠ADC=180°,∴∠ADE=180°-105°=75°.故选D.2.A3.C[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,∴BO=DO.∵AB=8,P是AB的中点,∴∵O是DB的中点,E是DP的中点,∴OE4.C[解析]∵D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,∴DF,EF,DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,∴∠B=∠EFC,四边形ADFE是平行四边形,∴OD=OE,故A,B,D正确,不符合题意;∵AB≠AC,F是边BC的中点,∴∠BAF≠∠CAF,故C错误，符合题意.故选C.5.B6.D[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∵EF为△PBC的中位线,∴EP=EB,BC=2EF=16.∵PQ⊥AD,∴∠PQE=∠A=90°.∵∠AEB=∠QEP,∴△AEB≌△QEP(AAS),∴AB=PQ=6,∴矩形ABCD的面积=16×6=96.故选D.7.A[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,BD=∵EO=2DE,∴设DE=x,则OE=2x,∴OC=OD=3x,∴AC=6x.∵CE⊥BD,∴∠DEC=∠OEC=90°.在Rt△OCE中,∵∴2∴∴在Rt△DCE中,CD∴在Rt△ACD中,AD=AC8.C[解析]∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB.∵OA=OD=5,∴AC=2OA=10,BD=2OD=10,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.∵∴S四边形ABCD=BC·CD=8×6=48.故选C.9.B[解析]如图,连接AO.∵四边形CDGH是矩形,对角线CG,DH的交点为O,∴CO=DO,∴点O在CD的垂直平分线上.∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD,∠CAD=60°,∴AO垂直平分CD,∴AO平分∠CAD,∴∠OAD=12∴当BO⊥AO时,BO的值最小,此时∠AOB=90°.∵∠OAB=30°,AB=402∴BO10.C[解析]由题意，画出图形如图.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD,AD∥BC,OA=OC,OB=OD,∴∠OAN=∠OCM,∠OBQ=∠ODP.在△OAN和△OCM中,{∴△OAN≌△OCM(ASA),∴ON=OM.∵PQ是线段MN的垂直平分线,∴PQ必经过MN的中点O.∵∠BOQ=∠DOP,∴△OBQ≌△ODP(ASA),∴OP=OQ,∴四边形MPNQ的对角线MN,PQ互相平分,∴四边形MPNQ是平行四边形.又PQ是线段MN的垂直平分线,∴PQ⊥MN,∴平行四边形MPNQ是菱形.∵M是CD边上的一个动点(不与C，D两点重合)，∴存在无数个四边形MPNQ是平行四边形，则结论①正确；存在无数个四边形MPNQ是菱形，则结论③正确；若菱形ABCD是正方形(正方形是特殊的菱形，在此只证明存在性),则OA=OB,∠OBN=∠OAP=45°,AC⊥BD,∴∠BON+∠AON=90°.∵PQ⊥MN,∴∠AOP+∠AON=90°,∴∠AOP=∠BON,∴△AOP≌△BON(ASA),∴OP=ON.∵ON=OM,OP=OQ,∴OP=ON=OM=OQ,∴PQ=MN,∵当菱形ABCD是正方形时,菱形MPNQ是正方形.∵M是CD边上的一个动点(不与C，D两点重合)，∴至少存在一个四边形MPNQ是正方形，则结论④正确；不存在无数个四边形MPNQ是矩形，则结论②错误.综上所述，结论正确的是①③④.故选C.11.AB=CD(或AD∥BC)12.-3或5[解析]∵B(1,3),C(x,3),∴BC∥x轴.∵以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,O(0,0),A(4,0),∴BC=OA=4.①当点C在点B左侧时,如图(1),则x=1-4=-3;②当点C在点B右侧时,如图(2),则x=1+4=5.综上所述，x=-3或5.14.12+63根据作图可得AF平分∠BAD，∴∠∴∠BAF=∠BFA=30°,∴BA=BF.如图,过点B作BH⊥AF于点H,∴∴AF=2AH=63,∴△ABF的周长为AB+BF+AF=6+6+615.13∴∵AE=2,∴OE=OA-AE=4-2=2.如图,取OE的中点H,连接GH,则OH∵G为BE的中点,H为OE的中点,∴GH是三角形EBO的中位线,∴∵OF=1,∴HF=OH+OF=1+1=2.在直角三角形GFH中，由勾股定理得GF=G16.3.5[解析]设菱形ABCD的对角线的交点为O,∴∴12AC∵∴AC·BD=14.∵E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,∴EH∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH为矩形,∴四边形EFGH的面积为EF⋅EH17.38∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABC=90°,∴∠ABC=∠FMC,∴AB∥FM,∴FN=BM.∵∴S△ABF=S△ABM.∵CF⊥BE,BC=AB=1,∠EBC=30°,∴∠∴∠CFM=90°-∠BCF=30°,∴∴18.610[解析]如图,延长BA到点H,使HA=BA,延长CD到点I,使ID=CD,延长DC到点J,使JC=CD,连接HJ,HI,HE,GJ.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD=AD=6,∠HAD=∠ADI=∠BCJ=90°,AB//CD,∴HA=AB=CD=ID,HA∥ID,∴四边形HADI是平行四边形.∵∠ADI=90°,∴平行四边形HADI是矩形.∵HA=BA=AD=CD=DI,∴矩形HADI是正方形,∴HA=HI=ID=CJ=AD=6.∵AE=AF=CG,∠HAE=∠DAF=∠GCJ=90°,HA=DA=JC,∴△HAE≌△DAF(SAS),△HAE≌△JCG(SAS),∴DF=HE=JG,即2DF=HE+JG,∴2DF+EG=HE+JG+EG≥HJ,∴2DF+EG的最小值为HJ的长度.在Rt△HJI中,IJ=ID+DC+CJ=6+6+6=18,∴19.(1)∵O是AC的中点,∴OA=OC.∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.(2)∵记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l₁,△BOC的周长为l₂,四边形ABCD的周长为l₃,∴l联立{b∴20.(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°.又BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS).(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∠ADB=45°.∵DE=DA,∴∠DAE=∠DEA.∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,∴∠DAE=∠DEA=67.5°,∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.21.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.∵E是□ABCD中BC边的中点,∴BE=CE.在△ABE和△FCE中,{∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=FC.∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形.∵AF=BC,∴平行四边形ABFC为矩形.(2)由(1),得四边形ABFC为矩形,∴∠ACF=90°.∵△AFD是等边三角形,.∴∴∴四边形ABFC的面积==22.(1)∵DE∥AB,∴∠ADE=∠DAF.∵O是AD的中点,∴AO=DO.在△AOF与△DOE中:{∴△AOF≌△DOE(ASA),∴OE=OF.(2)当AB=AC时,四边形AEDF为菱形.证明如下:∵AO=DO,OE=OF,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴∠BAD=∠CAD.∵AB∥DE,∴∠FAD=∠ADE,∴∠DAE=∠ADE,∴AE=DE,∴四边形AEDF为菱形.23.(1)∵BF∥DE,EF∥DB,∴四边形BDEF是平行四边形.∵D是AB的中点,E是BC的中点,∴DE(2)如图,连接DF交BC于点M.∵四边形BDEF是菱形,BE=4,∴∵D,E分别是AB,BC的中点,∴∴24.(1)如图(1),作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD=∠EAB.∵EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N,∴EM=EN.∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,∴四边形ANEM是矩形.∵EF⊥DE,∴∠MEN=∠DEF=90°,∴∠DEM=∠FEN.∵∠EMD=∠ENF=90°,∴△EMD≌△ENF(ASA),∴ED=EF.∵四边形DEFG是矩形,∴四边形DEFG是正方形.(2)∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,∴DG=DE,DC=DA=AB=32,∠GDE=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠CDE,∴△ADG≌△CDE(SAS),∴AG=CE,∴AE+AG=AE+EC=AC=AD²+CD²=6.(3)如图(2),连接DF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=32,AB∥CD.∵F是AB中点,∴∴DF=∴正方形DEFG的面积=25.(1)∵四