江西省宜春市2026届高三模拟考试数学试卷（含答案）

江西宜春市2026届高三下学期模拟考试数学试卷一、单选题1．设，，则（

）A． B． C． D．2．已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A．4 B．2 C． D．5．一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（

）A． B． C． D．6．设函数满足对任意的，都有，且，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．在上单调递增 D．在上单调递减7．将5个互不相等的实数按从小到大的顺序排列，依次为：，若它们的分位数是2，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．9．已知复数，其中，是虚数单位，则（

）A．当时，为纯虚数 B．当时，C．当时， D．当时，二、多选题10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（

）A．当时，B．曲线在处的切线斜率为C．方程在区间内恰有两个实根D．当时，11．定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（

）A．椭圆的离心率B．的最小值为4C．过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切D．椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点三、填空题12．已知等比数列是正项数列，前n项和为，若，，则公比______.13．已知向量满足，则的取值范围为____________．14．已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______.四、解答题15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求角A；(2)D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积.16．已知函数，.(1)讨论函数的极值；(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围.17．如图，在四棱锥中，，，，，，.(1)求证：平面平面ABCD；(2)若G为线段PC上一点（异于点P，C），平面ABG与平面PBC所成角的余弦值为，求直线BG与平面APB所成角的正弦值.18．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）.（i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围；（ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19．在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处.(1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率；(2)记第n秒末点M回到原点的概率为.（i）求，并利用公式求；（ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的.参考答案1．C2．A3．D4．A5．A6．B7．C8．B9．BCD10．BD11．ACD12．13．14．15．（1）解：因为，所以，，，因为，所以，所以，即，又，则有，所以.（2）解：因为，，，所以在中，，所以，即，因为在中，，所以，因为，所以，所以，所以.16．（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，

即函数在上单调递增，所以函数无极值；当时，由得；由得，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，无极小值，综上：当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值.（2）依题可知：不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，所以函数在上单调递减，则，即函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围是.17．（1）证明：连接AC，因为，，，所以，则，而，，所以，则，所以，在中，，所以，又平面，所以平面，又平面ABCD，所以平面平面ABCD.（2）过点作于点，由（1）知，，而，，，则，即，又，，，则，即，以B为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，设，则，所以，则，设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，平面PBC的法向量为，由，令，则，，所以，所以，解得，所以，由（1）知，平面，则平面APB的法向量为，设直线BG与平面APB所成角为，所以，所以直线BG与平面APB所成角的正弦值为.18．（1）因为，所以点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆，设曲线C的方程为，所以，，，所以，，，所以曲线C的方程为.（2）（i）设，则，则；，所以在中，由角平分线定理得，由，所以，所以t的取值范围为.（ii），，由，得，，其中，，则.①当时，，，直线的方程为，求得点N坐标为，则，所以；②当时，同理可得：；③当时，设，，直线的方程为，直线的方程为，联立，得，所以，，所以，则；所以，点M的坐标为，联立，得，所以，，所以，则；所以，点N的坐标为，，所以，综上所述，.19．(1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上，由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有种，其中点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种，即点这四种情况.则，故点M在第2秒末没有回到原点，且此时点M位于坐标轴上的概率为.（2）（i）点M在第4秒末回到原点，有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种，左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种，所以；若