广东省茂名市2025-2026学年高三下学期第二次综合测试数学试卷（含答案）

绝密★启用前

2026年茂名市高三年级第二次综合测试

数学试卷

试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上

要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知z=1+2i,则z·z=

A.-3B.5C.-5D.3

2.不等式|x-2|<3的解集为

A.(-1,1)B.(0,5)C.(-1,5)D.(-5,1)

3.曲线f(x)=e*-3sinx-1在点(0,f(0))处的切线方程是

A.2x+y+1=0B.2x+y=0

C.x+2y+1=0D.x+2y=0

4.已知,则cos2α=

ABD

5.某学校从周一至周五中选择2天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择

方案有

A.7种B.8种C.9种D.10种

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6.在△ABC中，AB=2,,则BC=

ABCD

7.已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,直线AB与以C的短轴为直径的圆交于

点P(不同于B),若△POB(0为原点)为正三角形，则C的离心率为

ABCD

8.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数，且x⁴f'(x)+4x³f(x)=(x+2)e⁴,f(1)=2e,则

A.f(x)只有1个零点B.f(x)有2个零点

C.Vx∈(0,+0),f(x)≥3xD.Vx∈(0,+∞)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,则

A.BC·DA₁=0B.BC₁在AD上的投影向量的模为1

C.BD₁=BA₁+BC₁+BDD.BD{与AD所成的角为45°

10.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1-x)=f(1+x),f(x)+f(4-x)=1,则

AB.f(x)是奇函数

C.f(x)的图象关于直线x=1对称D.4是f(x)的周期

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sₙ,且a₁>0,(S₂₂-S19)(S₂₃-S₁9)<0,则

A.a2₁>a₂2B.当n=21时，S。最大

C.当n≥42时，S<0D.的最小项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线的焦距为

13.若函数在区间[0,m]上有且仅有3个零点，则m的最小值为

14.已知1~10这10个正整数的随机排列为a₁,a₂,…,a10.记d=max{a₁,a₂,…,a}-max{ak+1,

ak+2,…,a10},k=1,2,…,9,事件A为“a₁,a₂,…,a1满足d≥3”,则事件A₃的概率为

事件A₁UA₂U…UA。的概率为_·

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的

立定跳远成绩(单位：厘米)进行分析，得到如下频率分布表.

成绩区间(160,170)(170,180)(180,190)(190,200)(200,210)[210,220]

频率0.100.150.200.250.200.10

(1)计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值(同一组中的数据用该组区间的

中点值为代表);

(2)规定成绩在区间[210,220],(200,210),(190,200)分别为A,B,C等级.用分层抽样的方法

从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范.记示范学生

中成绩A等级的人数为X,求X的分布列与E(X).

16.(15分)已知等比数列{an}满足aₙ>0,a₁a₃=64,a₄=512.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列{b}的前n项和为,将数列{log₂an与{bₙ}的公共项按从小到大

的顺序组成一个新数列{c1,求{cn}的前10项和.

17.(15分)已知函数f(x)=x-alnx-a³.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在小于0的极小值，求a的取值范围.

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18.(17分)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2√2,E为AD的中点，把△ABE沿BE翻折至△A₁BE,

G为线段A₁C上的动点.

(1)当G为A₁C的中点时，证明：GD//平面A₁BE;

(2)在翻折过程中，若A₁在平面BCDE内的投影F落在BC边上，且三棱锥A₁-BEF的各个顶点

均在球0的球面上.

(i)求球0的半径；

(ii)求平面GEF与平面A₁EO的夹角的最小值.

19.(17分)已知p>0,M是抛物线C₁:x²=2py与C₂:y²=2px的公共点，0为坐标原点，O|M|=4√2.

(1)求p的值；

(2)P,A,B(P在最左侧)是C₁上不同于M的三点，直线PA,PB与C₂相切，切点分别为D,E,点

G为△PAB的重心.

(i)证明：G在y轴上，且|OG|>2;

(ii)若S△PDE=4S△PAB,求S△GDE:S△GAB的值.

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2026年茂名市高三年级第二次综合测试

数学参考答案

1.【答案】B

【解析】z·z=(1+2i)·(1-2i)=1+4=5.故选B.

2.【答案】C

【解析】-3<x-2<3,可得-1<x<5.故选C.

3.【答案】B

【解析】由题意可知：f'(x)=e-3cosx,f(0)=0,f'(0)=-2,所以所求切线方程为y=-2x.故选B.

4.【答案】C

【解析故选C.

5.【答案】C

【解析】从5天中选2天，共有C²=10种.而周一和周二同时被选的选法，共有1种.因此，满足条件的方案为10-

1=9种.故选C.

6.【答案】A

,故故选

【解析】,则sA.

7.【答案】D

【解析】直线AB方程为bx+ay-ab=0,依题意得,化简得.故选D.

8.【答案】D

【解析】由条件，可得[x⁴f(x)-(x+1)e']'=0,令F(x)=x⁴f(x)-(x+1)e³,则F'(x)=0,故F(x)为常函数，设

F(x)=m,m为常数，则m=F(1)=f(1)-2e=0,即x⁴f(x)=(x+1)e⁵,则,那么f(x)没有零点

,故A,B,C错误.由对任意x∈R,均有e³≥x+1,即对任意x∈(0,+∞),均有e⁸=e·e⁻¹≥

ex,那故选D.

9.【答案】AB

10.【答案】ACD

【解析】令x=2,由(2)+f(2)=1,所以,A正确；由f(1-x)=f(1+x),可得f(x)的图象关于直线x=1对

称，由f(x)+f(4-x)=1,可得f(x)的图象关于点对称，则f(x)的图象关于点|对称，所以B错误，C,

D正确.故选ACD.

11.【答案】BCD

【解析】因为(S₂-S₁₉)(S₂₃-S₁9)<0,即a₂₁(a2₁+a₂2)<0.因为a₁>0,所以{a的公差小于零，则a₂₁>0,a₂₂<0,a2₁+

a₂₂<0,故a²,<a²₂,A错误；因为当n≤21时，a>0,且当n>21时，a<0,则当n=21时，S。最大，B正确；因为

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a₂₁>0,a<0,a₂₁+a₂<0,所以S₄1=41a₂₁>0,S₄2=21(a21+a₂)<0,C正确；因为当n≥22时，a₀<0,且当n≤41时，

S>0,所以当22≤n≤41时，,此时又因当22≤n≤41时，|a₂2|最小，且n≥22时，S。单调递减，

所以数列的最大值为,故数列的最小项,所以D正确.故选BCD.

12.【答案】4

13.【答案】

14.【答案】

【解析】记M=max{a₁,a₂,…,agl,M′+=max|aA+1,ak+2,…,a103,则A等价于M-M+≥3.①若10在后段，则

M≤9,M+=10,于是M-M+₁≤-1,不满足.②若10在前段，但8或9在后段，则M=10,M+≥8,于是M-

M₁≤2,不满足.③若8,9,10都在前段，则M+≤7,于是M-M+₁≥3,满足.因此，事件A等价于8,9,10都在

前k个位置.计算P(A₃):将8,9,10放在前3个位置，共3!种选择，余下的7个位置随机排列，共7!种选择，

因此注意到对k=1,2,…,8,均有A为A+1的子事件(因为前k个位置包含8,9,10这三

个数，必然可推出前k+1个位置也包含8,9,10这三个数),因此A₁UA₂U…UA₉=Ag.计算P(A₉):将8,9,10

放在前9个位置，等价于第10位是1到7中的某个数，共7×9!种选择，因此P(A₁UA₂U…UA₉)=P(A₉)=

15.解：(1)这六个区间中，频率最大为0.25,该区间为(190,200),则这40名学生立定跳远成绩的众数的近似值为

195厘米，

平均数=165×0.10+175×0.15+185×0.20+195×0.25+205×0.20+215×0.10=191,所以这40名学生立定跳远成

绩的平均数的近似值为191厘米.

(2)由分层抽样，可知C等级对应5人，B等级对应4人，A等级对应2人.

从11人中选3人，共C³=165种.

X的所有可能取值为0,1,2,

则

则X的分布列为

X012

P

16.解：(1)设等比数列{a的公比为q,依题意可得，aₙ>0,a₁a₃=a²=64,a₂=8.

a₄=a₂q²=512,解得q=8,a₁=1,

所以aₙ=a1q”⁻¹=8”-1.

(2)由(1)知aₙ=8”⁻¹,所以log₂aₙ=log₂8”⁻¹=3(n-1),

①当n≥2时，bₙ=T。-Ta-1=(n-1)²-(n-2)²=2n-3,

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②当n=1时，b₁=T₁=0.

所以

由{logza}与{b公共项按从小到大的顺序组成{c,可设3n-3=bm,m为正整数.

若m=1,则n=1,公共项为0;

若m≥2,则由3n-3=2m-3,可得3n=2m,n必须为偶数，令n=2k,k∈N°,则公共项为3n-3=6k-3.

故c₁=0且从第2项起，{c}是以3为首项、6为公差的等差数列，即

所以数列{c的前10项和为

17.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且

①当a≤0时，则,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；

②当a>0时，,令f'(x)=0,可得x=a,故f(x)在区间(0,a)上单调递减，在区间(a,+∞)上单调

递增.

综上，当a≤0时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，f(x)在区间(0,a)上单调递减，在区间(a,+∞)上单调递增.

(2)由(1)可知若a≤0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，没有极值点，

故a>0,f(x)在区间(0,a)上单调递减，在区间[a,+o∞]上单调递增，

则f(x)在x=a处取到极小值f(a),

则f(a)=a-alna-a³=a(1-Ina-a²)<0,

即a²+Ina-1>0.令g(a)=a²+Ina-1,

由a>0,故g(a)单调递增，且g(1)=0,

因此a>1,即a的取值范围为(1,+∞).

18.(1)证明：如图，取BC的中点N,连接DN,GN,

由题意知，四边形BNDE是平行四边形，所以DN//BE.

∵DNC平面A₁BE,∴DN//平面A₁BE.

∵N,G分别为BC,A₁C的中点，∴GN//A₁B.

又∵GNC平面A,BE,GN//平面A₁BE,

又DN∩GN=N,所以平面GND//平面A₁BE,

∵GDC平面GND,∴GD//平面A₁BE.

(2)(i)解：过A₁作A₁H⊥BE于H,连接FH,

∵A₁在平面BCDE内的投影F在BC边上，∴A₁F⊥平面BCDE,

又BEC平面BCDE,即A₁F⊥BE,

又A₁F∩A₁H=A₁,故BE⊥平面A₁HF,即BE⊥FH.

∵A₁B=1,A₁E=√2,BE=√3,:

又△ABE~△HFB,所以则

以F为坐标原点，建立空间直角坐标系F-xyz,如图所示，则

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设三棱锥A₁-BEF外接球的球心为点0(x,y,z),外接球半径为R,

因为点A₁,B,E,F均在球0的球面上，所以|OF|=|OA|=|OB|=|O|=R,

解得’则三棱锥A₁-BEF外接球的半径为

(ii)解：由(i),可得

设平面A₁EO的一个法向量为m=(x₁,y1,21),则

可取m=(√2,-1,3).

因为,G为线段A₁C上的动点，

可设A₁G=λA₁C(O≤λ≤1),则

即

设平面GEF的一个法向量为n=(x₂,y₂,z2),

则可取n=(1-λ,√2(1-λ),3√2A),

设平面GEF与平面A₁EO的夹角为θ,则

当λ=0时，cosθ=0,θ为最大值

当0<λ≤1时，,故λ=1时，cosθ取到最大值

即平面GEF与平面A,EO的夹角的最小值

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19.(1)解：设M(s,t),s>0,t>0,则解得则M(2p,2p).

因为|OM|=4√2,所以s²+t²=32,则(2p)²+(2p)²=32.

由p>0