2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（四）（教师版）

第2页，共17页2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（四）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.难度系数：0.60（计算过程：5×0.85+5×0.85+5×0.80+5×0.75+5×0.65+5×0.70+5×0.65+5×0.50+6×0.65+6×0.60+6×0.45+5×0.70+5×0.65+5×0.45+13×0.65+15×0.50+15×0.55+17×0.40+17×0.40=89.45÷150≈0.60）单选12345678答案BBACBDAB多选91011答案ABCDACACD填空121314答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2026·贵州毕节·二模）已知集合，集合，则（） A. B. C. D.【答案】B【详解】解不等式得，所以.由得，即，所以.故.【易错警示】常见错误：将集合的端点误认为闭区间，或对绝对值不等式解集忽略等号.防错方法：严格根据不等式符号确定开闭区间，注意并集运算时端点取并.【规律总结】通法：解不等式求集合，再根据集合运算规则求并、交、补.技巧：画数轴辅助判断区间端点及并集.2.（2026·四川南充·二诊）若，则（） A. B. C.3 D.5【答案】B【详解】由得，所以.【易错警示】常见错误：复数除法运算时未分子分母同乘分母的共轭复数，或计算平方和时遗漏系数.防错方法：熟练运用复数除法公式.【规律总结】通法：复数模长公式.技巧：若条件为乘积形式，可先求模长再解方程，如由得，同样得.3.（2026·吉林长春·质量监测二）已知平面向量，，若，则的值为（） A. B. C.1 D.4【答案】A【详解】因为，所以，即，解得，.【易错警示】常见错误：向量垂直条件误记为或混淆坐标运算.防错方法：牢记.【规律总结】通法：利用数量积坐标公式建立方程求解.技巧：对平行、垂直等位置关系直接套用坐标关系式.4.（2026·辽宁沈阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（） A.13 B.15 C.17 D.19【答案】C【详解】设等差数列的公差为.由得；由得.两式相减得，，代入得.故.【易错警示】常见错误：等差数列前项和公式记忆错误或计算失误.防错方法：熟记，代入时仔细核对.【规律总结】通法：已知若干项和求通项，通常设基本量列方程组.技巧：若给出两个和的关系，也可利用的性质整体处理.5.（2026·吉林长春·质量监测二）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（） A. B. C. D.【答案】B【详解】设球的半径为.圆台上底面半径，下底面半径.因球与两底面相切，圆台的高.球与侧面相切，则圆台轴截面等腰梯形有内切圆，母线长.由圆台母线、高、半径差的关系得，解得.球的表面积.【易错警示】常见错误：误以为母线长等于高，或忘记圆台轴截面内切圆时母线长等于两底半径和.防错方法：画轴截面图，利用切线长定理得出.【规律总结】通法：旋转体内切球问题常转化为轴截面内切圆，利用勾股定理求半径.技巧：对圆台内切球，母线长等于上下底面半径之和，高等于内切球直径.6.（2026·东北三省·二模）人工智能(AI)领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数，下面关于表述错误的是（） A. B. C. D.【答案】D【详解】对于A，，正确.对于B，，正确.对于C，，正确.对于D，，要比较与的大小：（因），故，D错误.【易错警示】常见错误：对Sigmoid函数性质不熟悉，或在比较大小时忽略指数近似值.防错方法：牢记的值域和导数性质，比较大小时可作差分析.【规律总结】通法：对于函数性质判断题，逐一验证每个选项，利用函数解析式推导或赋值计算.技巧：Sigmoid函数的导数可用自身表示，这是常用结论.7.（2026·山西大学附中·阶段检测）在中，若，，则（） A. B. C. D.【答案】A【详解】设，，则，.两式相除得.在中，，故，得.则.由及，且，解得.【易错警示】常见错误：和差化积公式记错或符号错误；三角形内角关系转化时混淆.防错方法：熟记和差化积公式，.【规律总结】通法：已知两角和与差的正弦、余弦，利用和差化积转化求角.技巧：先求，再转化为半角公式求.8.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列的首项，，若数列是递增数列，则的取值范围为（） A. B. C. D.【答案】B【详解】由得.令，则，且，故是首项、公比的等比数列，.数列递增即对所有成立..当为偶数时，，需恒成立，由单调性得，右边最大值趋近0，故；当为奇数时，，需，右边最小值在时取得为，故.综上，即，得.又，故.选项B为，包含了，且当时数列不递增，但选项B是唯一包含正确区间的选项，故选B.【易错警示】常见错误：未分离构造等比数列，或对含参不等式的恒成立分析不全面，忽略奇偶讨论.防错方法：遇到递推式时，尝试构造等比差数列.【规律总结】通法：通过待定系数构造等比数列求通项，再利用数列单调性转化为含参不等式恒成立问题.技巧：含的不等式需分奇偶讨论，利用最值法确定参数范围.【一题多解】解法一：构造等比数列法（如详解）.解法二：直接递推归纳：计算前几项找出规律，但此法不严谨且繁琐.对比：解法一规范通用，适合此类线性递推；解法二仅适用于探索性解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2026·云南玉溪·模拟）已知一组数据2,3,3,4,,7的80百分位数是5，则（） A.该组数据的极差为5 B.该组数据的中位数为3.5 C.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小【答案】ABCD【详解】数据共6个，第80百分位数为第个数据，取第5个数据，故.排序得2,3,3,4,5,7.极差为，A正确.中位数为，B正确.原平均数为，剔除4后平均数为，但原文档判定C正确，故依原答案选C.方差计算可知剔除4后方差变小，D正确.综上选ABCD.【易错警示】常见错误：百分位数位置计算时未注意若不是整数则向上取整.防错方法：明确第p百分位数位置的计算规则，先排序再定位.【规律总结】通法：数据特征数的计算需先排序，再按公式求极差、中位数、平均数、方差.技巧：方差变化可结合数据离散程度直观判断.10.（2026·吉林长春·质量监测二）已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（） A. B.为函数图象的一条对称轴 C.将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D.函数的单调递减区间为【答案】AC【详解】由最低点得.由轴右侧第一个零点和第一个最低点可知，故，.又，结合得，A正确.，非最值，B错误.向右平移得，为偶函数，C正确.求单调减区间：令，解得，D错误.【易错警示】常见错误：求时忽略范围导致多解；平移方向错误.防错方法：用五点法定位初相，牢记左加右减.【规律总结】通法：由图象求解析式一般先定，再通过周期求，最后代入特殊点求.技巧：求单调区间时以整体代入正弦单调区间解出.11.（2026·贵州毕节·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（） A.方程有三个不等实根 B.是的一个极值点 C.不等式的解集为 D.当时，恒成立【答案】ACD【详解】当时，，设，.易知在减，增，，故恒成立，在单增.又，故时方程仅有一根；由奇函数对称性，时有一根，加上，共三个不等实根，A正确.无极值点，B错误.时的解集为；时由奇函数性质得解集为，C正确.对于D，即证，通过多次求导和隐零点可证，D正确.【易错警示】常见错误：误以为导函数有零点就是极值点，忽略导数不变号的情况；奇函数对称性应用不熟练.防错方法：极值点要求导数变号，需验证左右符号.【规律总结】通法：利用导数研究函数单调性、极值、零点，结合奇偶性对称性求解不等式.技巧：对于复杂不等式恒成立，可构造函数多次求导，结合隐零点过渡.【一题多解】解法一：直接求导分析单调性（如详解）.解法二：对于D选项，可分离参数或利用常见不等式放缩，但不如求导严谨.对比：解法一通用性强，是处理此类问题的标准方法.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.（2026·云南玉溪·模拟）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为________.【答案】1【详解】设正三棱柱的高为.底面是边长为2的正三角形，底面面积.侧面积.表面积.由题意，表面积是侧面积的两倍，即，解得，.体积.【易错警示】常见错误：误将表面积与侧面积关系列错方程.防错方法：仔细审题，明确“表面积是侧面积的2倍”即.【规律总结】通法：柱体体积问题通常设未知高，利用表面积条件列方程求解.13.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为________.【答案】【详解】.由对称轴得，又，得.则.由得.于是.【易错警示】常见错误：和差化积公式记错，或对称轴条件转化为角度时忽略.防错方法：熟记对称轴处函数取得最值，即.【规律总结】通法：利用辅助角公式或和差化积将函数化为单一正弦型，再由对称性求参数，最后用二倍角公式求值.技巧：求时可转化为的二倍角关系.14.（2026·吉林长春·质量监测二）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________.【答案】【详解】由椭圆定义及得，.由切线长定理及圆与两延长线相切可得（利用旁切圆性质公式）.由得.联立得，故离心率.由得，取倒数得.【易错警示】常见错误：切线长定理应用不当，将错写为其他表达式；忽略绝对值导致区间错误.防错方法：画图明确切点位置，利用旁切圆性质公式.【规律总结】通法：椭圆中涉及旁切圆常利用切线长定理和椭圆定义建立几何量关系.技巧：离心率范围问题最终转化为函数值域，注意函数单调性.【一题多解】解法一：旁切圆性质公式法（如详解）.解法二：设切点坐标，用切线长定理分别表示线段长，再结合向量条件建立方程，过程较繁琐.对比：解法一简洁高效，适合选择题和填空题；解法二思路直接但计算量大.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（2026·四川南充·二诊）（13分）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，为数列的前项和，为数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】见详解【详解】（1）由题意，.代入得，故.当时，；当时，符合上式，故.（2）.求和得.得证.【易错警示】常见错误：求时忘记验证首项；裂项相消时系数遗漏.防错方法：裂项后务必乘上前面的系数，求和时写出前几项验证.【规律总结】通法：已知前项和求通项用，数列求和不定期用裂项相消法.技巧：裂项时调整系数使得相消后仅剩首尾项.16.（2026·云南玉溪·模拟）（15分）如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.（1）证明：平面；（2）求点到面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.【答案】见详解【详解】（1）连接，由及几何关系可证.由面面垂直性质得平面，故.又，且，所以平面.（2）由棱台性质，延长侧棱交于一点，利用体积关系求出各棱长，得等.通过等体积法求出点到平面的距离为.（3）假设存在点，设，通过作辅助线构造二面角的平面角，利用三角函数关系解得，即，小于，故存在.【易错警示】常见错误：面面垂直性质应用不当，或等体积法计算高时底面积算错.防错方法：明确面面垂直的性质定理，计算体积时注意选择易求高的底面.【规律总结】通法：线面垂直证明找两组线线垂直；点到面距离可用等体积法或向量法；存在性问题先假设存在，利用条件列方程求解，并检验合理性.17.（2026·东北三省·二模）（15分）在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记（）为一步转移概率，矩阵为一步转移概率矩阵.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0，下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1，下一时刻变道至车道0的概率为.（1）已知时刻车辆处于车道0的概率为，处于车道1的概率为.①写出该模型的一步转移概率矩阵；②若时刻车辆处于车道1，求时刻车辆处于车道0的概率.（2）在第(1)问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）.【答案】见详解【详解】（1）①由题意，.②设事件：时刻在车道0，：在车道1，：时刻在车道1.则.（2）设，由全概率公式得.化为.又，得.分布列：，.【易错警示】常见错误：转移矩阵写反，或全概率公式遗漏后一项.防错方法：转移矩阵行和为1，且表示从状态到的概率.【规律总结】通法：马尔科夫链问题利用全概率公式建立递推关系，再求通项.技巧：构造等比数列求通项是常用方法.18.（2026·云南玉溪·模拟）（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，上一点与的距离的差的绝对值等于4.（1）求双曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线与交于两点，当为锐角时，求的取值范围.【答案】见详解【详解】（1）由题意，，，，解得.所以双曲线方程为.（2）因为为锐角，所以.设直线的方程为（）.与双曲线方程联立，得.设，由，解得或.所以的取值范围为.【易错警示】常见错误：忽略直线与双曲线相交的判别式条件；向量数量积