2026年4月上海卷高考预测模拟数学试卷02

2026（考试时间：120分 试卷满分：150分 z0

1

1izz关于x的不等式x+4<0的解集 x- 3 若函数f(x)ln2xab是奇函数，则b 1已知数列an的前n项和为Sn，满足3an2Sn1，则a6 设函数fxlog2x4,0x2，则不等式fx9的解集 2x1,xyekxazlny，求得经验回归方程为z0.25x2.58，则该模型的回归方程 腰直角三角形的三个顶点，则ω 某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为VABC），点D，E在VABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分．如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 → 已知abc是平面内三个非零向量，且abac

bcca1，则当ab与c二、选择题（4,18,13-144,15-165 已知椭圆C： 1，则“m6”是“C的离心率 ”的（ m 充分不必要条 B．必要不充分条C．充要条 D．既不充分也不必要条已知二项式

等于（

23，则该几何体外接球的表面积为（）

28

若无穷数列ana11，当n2anan-1maxa1a2,Lan-1，则称an是X数列”．则下列正确的是（）若an是X数列”，则a4若an是X数列”且是周期数列，则集合1i100ai1的元素个数最多是三、解答题（514+14+14+18+18=78分）AC2A1C14DA1C1上的点ABCA1B1C13ACC1A1ABCDBDBCC1B1所成角的正弦值为15D的位置；若不存在，说明理由fx1a5xxb3,2b是奇函数5xa，bfm1f2m10m的取值范围针对赛制对“强者”和“弱者”n（24，8，16），假设每场比赛只有两种可能结果：胜或负（忽略平4比赛时胜率均为r．Pp 当n4，p0.7，r0.5时，求赛制一、赛制二相应的P 评价三种赛制对“强者”和“弱者”

求椭圆C

中，椭圆Ca2b21(ab0)A，焦距为

若直线l与椭圆CPQPQBD是椭圆CDB3OB，证明△PQD若点M为△APQ的外心，且Mx1A到直线lDf(xgx，若对x1x2D(x1x2，存在一个正实数Mf(x1f(x2)Mg(x1g(x2)gxf(x的M-陪伴函数D0,1g(x)3x1f(x)x23x的M-陪伴函数”，并说明理由，若为“M-陪伴函数”，求M的最小值；证明：任何一给定闭区间[mngx)kxrk0)f(x)ax2bxc(a0)的M-陪2026数学· 【答案】ABA25，所以2B且5B，B2,3m，所以m5.z0【答案】

1

1izz

1

1izz21i1iz2z所以z2 2z,因为复数z0，所以z2关于x的不等式x+4<0的解集 x-【答案】4x40等价于x4x30，由x4x30得4x3xx40的解集为43x 3 【答案】73

1 7所以sinαπ1

3cosα17

33

733 3

4 1 若//→λ→，则3241λ，解得λ 若函数f(x)ln2xab是奇函数，则b 1【答案】ln2xa0得x12xa01f(xln2xab1则方程x12xa0根互为相反数，所以a1，所以a2f(xln2xab的定义域为1,1f(xln2x2b1 1fxfxln2x2bln2x2b0 1

1 所以ln2x22x22b0，即ln42b0，解得bln21 1x f(xln2x2ln2，定义域为1,1fxfx1所以bln2已知数列an的前n项和为Sn，满足3an2Sn1，则a6 【答案】【解析】令n1，得3a12S112a11，得a11，由3an2Sn1，当n23an12Sn11，3an3an12SnSn12an，即an3an1an3，所以数列a是以a1为首项，3所以a135243设函数fxlog2x4,0x2，则不等式fx9的解集 【答案】0

2x1,x0x2时，fxlog2x4fxfxf25fx9；x22x19，解得2x3，yekxazlny，求得经验回归方程为z0.25x2.58，则该模型的回归方程 ye0.25z0.25x2.58zlny，ye0.25x2.58．ye0.25x2.58腰直角三角形的三个顶点，则ω 【答案】 3 解得ωxπkπkZxπkπkZ 不妨取函数f(x),g(x)图象相邻的三个交点为A(π,3),B(7π, ),C(13π,3) 依题意，VABC是等腰直角三角形，由对称性得ABBC，则2π 所以

3π故答案为：某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为VABC），点D，E在VABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分．如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 【答案】【解析】由302402502，可得VABC是直角三角形，其面积S13040600AC30BC40AB50①DEACBC设CDxCEy则有

1xy300xy600DE2x2y22xy1200DE203当且仅当xy 时等号成立②DEACABADxAEysinA4cosA3 则有SV

1xysinA14xy300xy750 2DE2x2y22xycosA2xy2xycosA600DE106，xy530时等号成立；③DEBCABBDxBEysinB3cosB4 则有SV

1xysinB13xy300xy1000 2DE2x2y22xycosB2xy2xycosB400DE20，xy1010时等号成立；因为20

DE2020米 → 已知abc是平面内三个非零向量，且abac 【答案】21

bcca1，则当ab与c

1：设aOAbOBcOCa

bcca1BACBAC1以VABC是边长为1而ab，故OAOB，故OAB设该圆的圆心为E，则CE 3当ab与cBA与OCOCOC

23 3

2：设aOAbOBcOCa

bcca1BACBAC所以VABC是边长为1因为ab，所以以O 2

sin(πθ)1sinθ3x2x2

13sin13sin

, ,(ab(ab所以

((

θ3sinθ

→

→

则

ab,

(ab) →ab

113sin2θ → 要使得ab与c的夹角最小，则需

ab,

11sin2423sin →

ab,

13sin1t421t42，则ab,

1t

4242

t 2(3t1)(t(42当0t 3时，ft0；当3t2(3t1)(t(42ft在

3上单调递增，在

→则当t 时，ft取得最大值，即

ab,

此时ab与c的夹角最小，sin 333 所 c 故答案为：2二、选择题（4,18,13-144,15-165 已知椭圆C： 1，则“m6”是“C的离心率 ”的（ m A．充分不必要条 B．必要不充分条C．充要条 D．既不充分也不必要条【答案】【解析】若C的离心率为3，当Cx轴上，则2mm20，解得m2

3，解得m611m当Cy轴上，则m22m0，解得0m2

3，解得mmm6所以m6”是C的离心率为3”已知二项式

等于（【答案】

【解析】二项式1ax的展开式中所有项的系数和1a5 由已知1a532，解得a1PX5PX1，所以μ15223，则该几何体外接球的表面积为（）【答案】

28

ABCD的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系，,,,,设几何体外接球的球心为O00tR在VOAOR2|OA|21212t22t2

3t21

3t则2t21

t)2，解得t13 R23

217 故该几何体的外接球的表面积S4πR24π7 下列正确的是（）若an是X数列”，则a4若an是X数列”且是周期数列，则集合1i100ai1的元素个数最多是【答案】A，若an是X数列”，当n2anan1maxa1a2,Lan1a11，若anan1maxa1a2,L当n2a2a1maxa1a11，所以a2a112当n4a4a3maxa1a2a3max1244，所以a4a348，A错误.B，若an是X数列”且是等差数列，设公差为d，当n2a2a1maxa1a1

a1当d1a11，则a20a3

此时a2a3，数列an不单调递增，B错误当n2a2a1maxa1a11，因为数列单调递减，所以a20当n3a3当n4a4

maxa1a2a31，因为数列单调递减，所以a42可知数列不是等比数列，C错误D，若an是X数列”且是周期数列，假设周期为T当n2anan1maxa1a2,Lan1当n2a2a1maxa1a11，所以a20或a2若a22时，当n3a3若a34时，当n4a4

maxa1a22，所以a34或a30maxa1a2a34，所以a48或a40这样数列值会越来越大（非周期），所以a2若a20时，当n3a3若a31时，当n4a4

maxa1a21，所以a31或a31maxa1a2a31，所以a42或a40若a31时，当n4a4

maxa1a2a31，所以a40或a42同理按此规律计算可得数列an的取值可能是10,10,10,10,L，所以1i100ai1的元素个数最多是50，D正确.三、解答题（514+14+14+18+18=78分）(2)ABCA1B1C13ACC1A1ABCDBDBCC1B1所成角的正弦值为15D的位置；若不存在，说明理由【答案】(1)【解析】（1）AC中点O，连接OBODACC1A1DA1C1ACOD又VABCACOBODBODOBODOACBDBODACA1C1E，连接OE，则OEAC所以OEABCACOBABC，所以OEACOE又OBAC，所以OA,OB,OE故可以OOA,OB,OExyz轴建立如图空间直角坐标系ABCA1B1C1两底面间的距离为3，即OE3，ABCAC2A1C14，B0230C200C110,3Da0,31a1 BDa23,3,CB2230,CC110,→ →BCC

n nCB2x23y设平 11的法向量为nx,y,z，则→ 可取n

3z则sinθcos

n→n→n33a5a2

15 14(a1)2a2153a28a115a25a2123a233a5a2aa2所以3a11a10，故a1或a11（因为1a1，故舍去），D10,3A DA1BDBCC1B1所成角的正弦值为15fx1a5xxb3,2b是奇函数5xa，bfm1f2m10m的取值范围【答案】(1)a2b1,【解析】（1）fx1a5xxb3,2b5x故b32b0，故bf(0)1a0，则a2

2 1

5 5 5 15x15x5x115x

f(

2,f(

f

5x 5x 5x15x

0，函 是

所以a2b

1

,x2,25（2）由（1）知，f(x) 1，函数f(x)在2,2上单调递减5x

x1,x22,2且x1x2，则fx2fx1 52151x1x2，得05x5x5x105x10，f(x2f(x1)0f(x2)f(x1，

5x115x2fx在22上单调递减fm1f2m10f(m1f(2m1f2m1m12mfx在22上单调递减，因此2m122m1

，解得1m0所以实数m的取值范围为1针对制对“强者”和“弱者”的影响进行建模分析设参人数为n（为2的幂次，如4，8，16），假设每场比只有两种可能结果：胜或负（忽略平制一、单败淘汰制：参者两两对决，胜者晋级，负者直接淘汰，直到决出冠军制二、双败淘汰制：参者随机分组进行初，胜者组、负者组分别组内随机抽签比，胜者组失败4人为例，如图：比时胜率均为r．Pp 当n4，p0.7，r0.5时，求制一、制二相应的P 评价三种制对“强者”和“弱者”的影响【答案】(1)1.6强者必须赢得其参加的所有k(klog2n)场比才能夺冠，当n4，p0.7时，P( pk0.720.49情况1、A全胜（不输任何一场）夺冠，赢下参加的三场比：第一轮初、胜者组决、总决，概率为Pp3；情况2、A在小组初输一次，但后面比中全胜，概率为Pp3(1p)情况3、A在小组初胜，在胜者组初输一次，但在后面比中全胜Pp3(1p) 所以P( PPPp3(32p)0.73(32 强者一共打n1场比，W强~B(n1，p)，E(W强)(n1)p一个弱者打n1场比，对阵强者，赢的概率为1p，对阵其他n2个弱者（弱者之间比胜率为r），所以E(W弱)1p(n2)r．当n16p0.6r0.5E(W强E(W弱)n1p[(1pn2)0.5np0.5)1.6p0.5，所以np0.5)0E(W强)E(W弱)强者要稳定夺冠，需要E(W强)显著大于E(W弱)，实力差距p0.5越大，参人数n越多，强者预期胜场领先优势np0.5)就越大．①p0.7时，若n4，P( 0.720.490.5若n8时，P( 0.730.343若p0.8，n16，则P( 0.840.4096（约41%单败淘汰制对弱者最有利，原因在于强者需要连续赢下多场比（klog2n场），任何场失败（即使概率1p很小）都会导致其被淘汰．爆冷可能性随着比场次的增加而显著累积．在同样条件（n4，p0.7）Pp)win0.5488Pp)win0.49．对于实力顶尖的选手（p很大），双败淘汰制显著优于单败淘汰制．它大大降低了强者因③单循环制最有利于强者，原因在于比场次多（n1场），根据大数定律和中心极限定理，实力更强（p0.5）的选手在大量比中，其胜率会稳定地表现出来，极大地减使发生）对强者最终积分的影响被稀释了．代价是比场次过多，时间成本高，不适合规模参

求椭圆C

中，椭圆Ca2b21(ab0)A，焦距为

若直线l与椭圆CPQPQBD是椭圆CDB3OB，证明△PQD若点M为△APQ的外心，且Mx1A到直线l【答案】(1)xy1 (2)（ⅰ）证明见解析 【解析】（1）依题意，椭圆Ca2b21的半焦距c2由椭圆C的离心率为2，得a2b2a2c22所以椭圆Cxy1 （2）（ⅰ）P(x1y1Q(x2y2，当直线l0xtymxty由x22y2

，得(t22)y22tmym240 2

m2222222t2m2

4)

m4)0，y1y2t22,y1y2

(yy)2(yy)24y 11t1t|1t

|y1y2

t2 1t1t

h|m

2t2m2原点

，SVPOQ2|PQ|h

2|m|

t21tPQBDB3OB，得点O是△PQDD(x1x2y1y21tx22y2由点D在椭圆C上，得(xx)22(yy)24，又

x22y2x1x22y1y220，即(ty1m)(ty2m2y1y22022整理得(t22)yytmyym220，即2m222tm0，则t221

t22t2m2

3|m3|m因 的面积SVPQD3SVPOQ32|m|

t2

32|m|

当直线l0D(0,2D(0

，直线ly

2或y 2 线段|PQ|23，点D到直线l的距离为32， 1233236所以△PQD的面积SVPQD

33

V

（ⅱ）当直线l0PQyA(20)由（ⅰ）AP的中点x12,y1AQ的中点x22,y2m2 APyy1x12(xx12yx12xy1 AQyx22xy2x1

y1y2(y1y2

1

y1y2(y1y2

1

1m22y(x2)y(x 2y(tym2)y(tym 2m

t21 2 由△APQ的外心Mx11m21，解得mt2 2t2 2t2t44 而2t2m240，则t2

，解得0t22或2t215A到直线l的距离为d

|m2

|t22t2t2t2=|t21

|，t2t2

t21[1,3)∪(3,2

5)，当1u 时，d3u在[1,3)上递减则当u1，即t0dmax2d(02]

u

du2525252在(3,2

5)上递增，d )，

2，因此dmax2A到直线lDfxg(x，若对x1x2D(x1x2，存在一个正实数Mf(x1f(x2)Mg(x1g(x2)g(xfx的M-陪伴函数D0,1g(x3x1f(xx23x的M-陪伴函数”，并说明理由，若为“M-陪伴函数”，求M的最小值；证明：任何一给定闭区间[mngx)kxrk0)f(xax2bxc(a0)的M-陪D13]g(x11fx)px1exlnx2的“3-陪伴函数”p x 取值范围【答案】(1)1,217e317e3【解析】（1）g(xfx)的M—陪伴函数则x1x2[0,1]x1x2,fx1fx2Mgx1gx2x2x23xx3Mxx x1x2则x,x[0,1]xx1x21 xx[0,1xxx

3(35

1,51

3x1x1x2因此M5g(xfx的M－陪伴函数”，且M5 （2）g(x)kxr(k0x[mn],f(x)ax2bxc(a0x[mnx1,x2[m,n]x1x2ax2x2bxx x1ax1x2ax1ax1x2bggx1gx2gx1gx1gx2|k

2s2sfx1fx2Mgx1gx2g(xfx)的“M—陪伴函数即在同一给定闭区间mngx)kxrk0)f(xax2bxc(a0)的“M—数（3）由题知x1x2[13]x1x2,fx1fx23g