湖南省邵阳市海谊中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题【可打印＋答案详解】

湖南省邵阳市海谊中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题【可打印＋答案详解】全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。5.本试卷分为试题卷和答案详解两部分，试题卷可直接打印使用，答案详解附后，便于自查自纠。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A=x|x2−3x−4leq0，B=x|y=lnA.24B.24C.−12.已知复数z=frac2i1−i（i为虚数单位），则|z|的值为（）A.sqrt2B.2C.2sqrt2D.43.已知向量veca=21，vecb=m3，若A.1B.2C.3D.44.已知函数fx=sinomegax+varphi（omega>0，|varphi|<fracpi2）的最小正周期为pi，且其图像关于直线x=fracpi3A.fx=sin2x+fracpi6B.fx5.已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1=1，A.3B.-4C.3或-4D.-3或46.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.8piB.12piC.16piD.24pi7.已知a=log23，b=log3A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a8.已知函数fx=x3−3x2A.0B.1C.2D.4二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若a>b>0，则frac1a<frac1bB.若a>b，则aC.若a>b>0，则a2>b2D.若a>b10.关于双曲线C:fracx2a2−fracA.双曲线的渐近线方程为y=pmfracbaxB.双曲线的离心率e=fracca（其中c=sqrtaC.若双曲线的离心率e=2，则b=sqrt3aD.双曲线的焦点到渐近线的距离为a11.已知函数fxA.函数fx的定义域为0+inftyB.函数fxC.函数fx的极小值为frac12D.函数f12.如图，在正方体ABCD−A1B1CA.EFparallelA1C1B.EFperpBD1C.EFparallel第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若tanalpha=2，则sin2alpha=________。14.若x+frac1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x15.已知直线l:y=kx+1与圆C:x2+y2−2x−3=0相交于16.已知定义在mathbbR上的奇函数fx，满足fx+2=−fx，且当xin0四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在triangleABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acosB+bcosA=2ccosC。（1）求角C的大小；（2）若c=2sqrt3，triangleABC的面积为2sqrt3，求a+b的值。18.（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2（1）求数列an（2）若数列bn满足bn=2an，求数列19.（12分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，ABperpBC，（1）证明：BDperp平面ACC（2）求平面A1BD与平面20.（12分）某商场为了提升销售额，开展了“五一”促销活动，活动期间推出两种促销方案：方案一：购物满100元减20元，满200元减40元，以此类推，上不封顶；方案二：购物满100元可抽奖一次，每次抽奖的中奖概率为frac12，中奖者可获得30元优惠券，不中奖者无优惠。某顾客购买了价值300元的商品，选择哪种方案更划算？请说明理由；若该顾客购买了价值x（xin10021.（12分）已知椭圆E:fracx2a2+fracy2（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的右焦点F作直线l交椭圆于A,B两点，若线段AB的中点为M，直线OM（O为坐标原点）与直线x=4交于点N，求frac|AB||FN|的值。22.（12分）已知函数fx=e（1）讨论函数fx（2）若函数fx有两个零点x1,x2参考答案及详解一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.【答案】B【详解】解不等式x2−3x−4leq0，得−1leqxleq4，故A=−14；由x−2>0，得x>2，故2.【答案】A【详解】z=frac2i1−i=frac2i1+i1−i1+i3.【答案】C【详解】veca−vecb=2−m−2，因为vecaperpveca−vecb，所以vecacdotveca−vecb=04.【答案】B【详解】由最小正周期T=pi，得omega=frac2piT=2；因为图像关于直线x=fracpi3对称，所以2timesfracpi3+varphi=fracpi2+kpi（kinmathbbZ），解得varphi=−fracpi6+kpi。又|varphi|<fracpi2，故varphi=−fracpi6，所以fx5.【答案】C【详解】当q=1时，S3=3a1=3neq13，不符合题意；当qneq1时，S3=frac6.【答案】B【详解】由三视图可知，该几何体为一个完整圆柱与半圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2cm，完整圆柱的高为2cm，半圆柱的高为2cm，其体积为pitimes27.【答案】A【详解】构造函数fx=logxx+1=fraclnx+1lnx（x>1），求导得f'x=fracfraclnxx+1−fraclnx+1xlnx2=fracxlnx−x+18.【答案】B【详解】求导得f'x=3x2−6x+2，令f'x=0，解得x=1pmfracsqrt33，均在02内。计算得f0=0，f2二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.【答案】ACD【详解】A选项，a>b>0，两边同乘frac1ab（正数），得frac1a<frac1b，正确；B选项，当c=0时，ac2=bc210.【答案】ABC【详解】A选项，双曲线渐近线方程为y=pmfracbax，正确；B选项，离心率e=fracca，c=sqrta2+b2，正确；C选项，e=2，则fracca=2，c=2a，故b=sqrtc211.【答案】ABCD【详解】A选项，由lnx有意义，得x>0，定义域为0+infty，正确；B选项，求导得f'x=x−frac1x=fracx2−1x，当xin01时，f'x<0，函数单调递减，正确；C选项，当x=1时，f'12.【答案】ABC【详解】在正方体中，E,F分别为AB,BC中点，故EF为△ABC的中位线，EF∥AC，又AC∥A₁C₁，故EF∥A₁C₁，A正确；BD₁⊥平面A₁C₁B，EF∥A₁C₁，故EF⊥BD₁，B正确；EF∥A₁C₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，EF⊄平面A₁B₁C₁D₁，故EF∥平面A₁B₁C₁D₁，C正确；EF∥AC，AC与平面BDD₁B₁不垂直，故EF与平面BDD₁B₁不垂直，D错误。故选ABC。三、填空题（每小题5分，共20分）13.【答案】frac45【详解】sin2alpha=frac2tanalpha1+tan14.【答案】56【详解】由二项式系数性质，第3项与第7项二项式系数相等，得Cn2=Cn6，故n=2+6=8。展开式通项为Tk+115.【答案】0【详解】圆C的标准方程为x−12+y2=4，圆心(1,0)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=frac|ktimes1−0+1|sqrtk2+1=frac|k+1|sqrtk2+1，由|AB|=2sqrt16.【答案】frac14【详解】由fx+2=−fx，得fx+4=−fx+2=fx，故函数fx四、解答题（共70分）17.（10分）【详解】（1）由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知条件得：2RsinAcosB+2RsinBcosA=2times2RsinCcosC化简得sinA+B=2sinCcosC，因为A+B=pi−C，所以sinpi−C因为0<C<pi，sinCneq0，所以cosC=frac12，故C=fracpi3。（5分）（2）由三角形面积公式，StriangleABC=frac12absinC=2sqrt3，代入C=fracpi3，得frac12abtimesfracsqrt32=2sqrt3，解得由余弦定理，c2=a2+b22sqrt32=a2+因为a+b2=a2+18.（12分）【详解】（1）设等差数列an的公差为dbegincases解得begincasesa1=1d=2endcases（2）由（1）得bn=2则Tn4T①-②得：−3化简得−3整理得Tn19.（12分）【详解】（1）证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1perp因为AB=BC，D为AC中点，所以BDperpAC。又AA1capAC=A，AA1,ACsubset平面（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为则B000，A200，设平面A1BD的法向量为vecn1=begincasesvecn1cdotvecBD=x1平面B1C1CB的法向量为vecn设两平面所成锐二面角为theta，则costheta=|fracvecn故平面A1BD与平面B120.（12分）【详解】（1）购买300元商品，方案一优惠：3times20=60元；方案二：抽奖3次，每次中奖概率frac12，期望优惠金额为3times30timesfrac12=45元。因为60>45，所以选择方案一更划算。（4分）（2）购买xin100方案二：抽奖1次，期望优惠金额为30timesfrac12=15元。因为20>15，所以当xin100综上，购买300元商品选方案一；购买10020021.（12分）【详解】（1）由离心率e=fracca=fracsqrt32，得c=fracsqrt32a，又b2椭圆过点21，代入椭圆方程得frac4a2+frac1frac14a故椭圆E的标准方程为fracx（2）椭圆右焦点F2sqrt20，设直线l的方程为begincasesx=my+2sqrt2fracx28+frac解得y1=0，y2=−frac4sqrt2mm中点M的坐标为frac2sqrt2+my直线OM的方程为y=fracy224sqrt2+