四川省资阳市安岳中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

安岳中学高2023级第二学期第一次月考数学试题考试时间：150分钟；满分：150分；一、单选题（每小题5分，共计40分）1.已知，则等于（）A.10 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.【详解】由向量，可得，所以.故选：B.2.已知点是的重心，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，且，由此可知A，B，C错误，D正确，故选：D3.等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，利用两角和的余弦公式求解即可.【详解】因为，故选：D.4.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象先确定的值及周期，进而得到，分类讨论，结合函数图象过点，求出的值即可.【详解】根据函数图象可得,由周期,即，当时，，又函数图象过点，则，所以,即，又因为，故，则；当时，，又函数图象过点，则，所以,即，又因为，故，则，综上知，，故选：A.5.设，，，则有（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性比较大小．【详解】，，，正弦函数在是单调递增的，．又．故选：A．6.在中，若，且，那么一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形【答案】D【解析】【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解.【详解】因，则，因为，则，所以，则，又因为，，则，则，即，即，又因为，则，所以，即.即一定是等边三角形，故D正确.故选：D.7.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果.【详解】由题意可得，，当与正六边形的边垂直时，，当点运动到正六边形顶点时，，所以，则，即.故选：B8.已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为中点，且，则的面积为（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得三点共线，即可得到垂直平分，所以，由余弦定理求出，从而求出，最后由面积公式计算可得.【详解】因为，又因为，所以三点共线，又，即为的外心，所以垂直平分，即垂直平分，又已知，所以，又因为，所以由余弦定理有，又，所以，所以，即的面积为.故选：C二、多选题（每小题5分，共计20分）9.已知函数，则（）A.的最大值为2B.的图象关于点对称C.在上单调递增D.直线是图象的一条对称轴【答案】AC【解析】【分析】化简得，分析的最大值，对称中心，对称轴，单调性判断各个选项.【详解】,对A：的最大值为2，故A正确；对B：因为，所以不是的对称中心，故B错误；对C：当时，，而在上为增函数，故在上单调递增，故C正确；对D：，所以直线不是图象的一条对称轴，故D错误；故选：AC10.已知平面向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.【详解】A.若，则，解得，故正确；B.若，则，解得，故正确；C.若，或，故错误；D.若，则，解得，故正确，故选：ABD11.对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（）A.B.当天下午3：00温度最高C.温度为是当天晚上7：00D.从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据题意得到时，，时温度最低，为，然后带入解析式得到；BCD选项，根据三角函数的性质判断.【详解】时，，，第二天凌晨3：00最低为，此时，∴，∴，A对．，令即时取最大值，对应下午3：00，B对．，或10，上午11：00或下午7：00，C错．时，，D对.故选：ABD．12.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.在锐角中，不等式恒成立C.若，，且有两解，则b的取值范围是D.若，的平分线交于点D，，则的最小值为9【答案】BCD【解析】【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】选项A，因为，即，所以有整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；选项B，若为锐角三角形，所以，所以，由正弦函数在单调递增，则，故B正确.选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确．选项D，的平分线交于点D，，由，由角平分线性质和三角形面积公式得，得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故D正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共计20分）13.已知，，且，则在上的投影向量为______【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算，结合向量的投影计算即可得出结果.【详解】设，由可知①，而，所以由可得②，由①②可得，解得，则，所以或者，又，则向量在上的投影向量是.故答案为：.14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为________．【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得.【详解】在中，由余弦定理，得，则，于是，解得，所以的面积为.故答案为：315.若，，且，，则______；【答案】【解析】【分析】由，可进一步确定，，再利用三角和差公式可求.【详解】，，又，，，，，，，，，，，故答案为：.16.如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且．动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是____________．（填上所有正确命题的序号）①；②当点为中点时，；③若，则点有且只有一个；④的最大值为；⑤的最大值为．【答案】①②④⑤【解析】【分析】建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算将有关问题转化为点的坐标的有关问题，即可逐一作出判断.【详解】建立如图所示的坐标系，则，，故，，=.设点的坐标,则，易得.①由的运行轨迹可知，所以，故①正确；②当点为中点时，,,，故②正确；③由时，直线经过，与线段交于点,所以使得的点有两个，故③错误；④，显然当直线平行移动，经过点时取得最大值3,故④正确.⑤由于在的方向上的投影在与重合时取得最大值，此时取得最大值，，故⑤正确．故答案为：①②④⑤四、解答题（共计70分）17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正切函数两角和公式直接计算即可；（2）利用正弦和余弦的二倍角公式结合同角三角函数关系求解即可.【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】由题意得，分子分母同除得.故原式.18.在中，内角对应的边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角化简题中等式即可；（2）直接运用余弦定理即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得，因为，代入化简得，因为，所以，所以，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理得，代入数据解得.19.已知，，且与的夹角为，求：（1）；（2）与的夹角；（3）若向量与平行，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）代入向量模公式，即可求解；（2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解；（3）代入向量共线定理，即可求解.【小问1详解】，，【小问2详解】，，，即，所以与的夹角为；【小问3详解】若向量与平行，则，，得或，所以的值为.20.已知向量，，记函数.（1）求函数在上的取值范围；（2）若为偶函数，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.【详解】解：（1）则∵，∴的取值范围为.（2）因为为偶函数，所以因此当时.【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.21.在中，角所对的边分别是、、，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求得，再利用由正弦定理可求得，结合边长大小关系可得，所以可得；（2）利用三角形内角和以及诱导公式可得，再由两角和的余弦公式代入计算可得结果.【小问1详解】由余弦定理以及可得，又，可得；再由并利用正弦定理可得，解得，易知，所以，即；所以，即【小问2详解】由（1）中以及可得，所以；可得.22.