初中数学九年级下册：用树状图求概率教案

初中数学九年级下册：用树状图求概率教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本节课隶属于“统计与概率”领域中的“随机事件发生的可能性”。课程标准强调，学生需“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而计算简单事件的概率”。这明确了本节课的核心技能目标——掌握画树状图这一重要的枚举工具。在知识图谱中，本节课是学生在第一课时学习了概率古典定义（P(A)=m/n）后，首次系统学习如何规范、有序、不重不漏地获取“等可能结果总数m”和“指定事件包含的结果数n”的关键方法课，是沟通概率概念与复杂概率计算（如两步及两步以上）的桥梁，也是后续学习频率估计概率、乃至高中学习排列组合的基础。其蕴含的学科思想方法是系统化、结构化的枚举思想与模型思想（将随机过程抽象为树状分支模型）。在素养指向上，本节课直接锤炼学生的数据观念（通过模型分析随机现象），培养其逻辑推理能力（构建树状图的逻辑结构）和应用意识（解决实际情境中的不确定性问题），并在严谨、有序的探究过程中渗透科学精神。

九年级学生已具备概率的初步概念，并能计算一步试验的简单概率。然而，面对两步及以上的复合试验时，学生的主要障碍在于：一是思维的无序性，容易遗漏或重复列举结果；二是对“等可能性”前提的忽视，尤其是在实际问题背景中；三是未能将具体的随机过程有效抽象为数学模型。他们形象思维仍占一定比重，但抽象逻辑思维正处于快速发展期。因此，教学需提供直观的思维脚手架（树状图），并通过变式训练促使其从具体操作过渡到抽象建模。预设通过课始的“情境诊断”问题快速探查学情，在任务推进中通过巡视、追问、展示典型作品等方式进行动态评估。对策上，对基础薄弱学生，强调树状图绘制的“起步”与“分支”规范；对理解较快学生，引导其关注树状图的优化（如对称性）及与列表法的比较，并挑战更开放的问题。

二、教学目标

知识目标：学生能准确阐述画树状图求概率的基本步骤，理解其“层层推进、不重不漏”的原理。他们不仅能识别适用树状图求解的随机试验特征（多步、等可能），还能规范地画出两步或三步试验的树状图，并据此准确计算相应事件的概率，达成从程序性知识到概念性理解的深化。

能力目标：在解决真实或模拟的随机性问题时，学生能够自主分析试验步骤，有策略地选择并构建树状图模型，清晰、有条理地呈现所有等可能结果。重点发展其系统化枚举能力和将实际问题数学化的建模能力，能够从复杂的背景信息中剥离出关键的随机过程结构。

情感态度与价值观目标：通过探究活动，学生能体会到树状图作为一种思维工具带来的清晰与秩序之美，增强运用数学方法解决不确定性问题的信心。在小组协作中，养成倾听他人思路、严谨表达自己观点的习惯，认识到有序思考对于解决复杂问题的重要性。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思维与分类讨论思想。引导学生经历“实际问题—抽象为分步试验—构建树状模型—求解反哺实际”的完整建模过程，并体会树状图本质上是运用分类讨论思想，对随机事件所有可能发展路径进行的一种可视化、层级化的系统划分。

评价与元认知目标：学生能依据“步骤清晰、标记完整、结果等可能、计算准确”等标准，对自绘或他绘的树状图进行初步评价与修正。在课堂小结时，能反思树状图方法相较于直接列举或列表法的优势与局限，初步形成根据问题特征选择合适策略的元认知意识。

三、教学重点与难点

教学重点：规范画出两步随机试验的树状图，并利用树状图正确计算简单事件的概率。确立依据在于：画树状图是本课承载核心技能与方法论的集中体现，是落实课标要求的关键行为。从学科大概念看，它体现了“化复杂为简单、化无序为有序”的基本数学思想。从学业评价看，树状图法是中考概率计算题的通用且重要的解题工具，掌握其规范画法是后续一切应用的基础。

教学难点：一是准确理解并确保树状图中每一分支的“等可能性”；二是在实际问题中，能正确抽象出“分步”结构，并确定每一步的等可能结果。难点成因在于：学生对“等可能”的理解容易停留在表面，忽视试验设计（如放回与不放回）对后续步骤可能性的根本影响，这需要克服思维定势。同时，将生活语言描述的复杂情境转化为清晰的数学分步模型，对学生抽象概括能力要求较高，是常见的思维跨越点。突破方向在于设计对比鲜明的实例（如放回抽签vs.不放回抽签），通过追问引导深度辨析，并强化从情境中提取“步骤”、“可能结果”等关键信息的训练。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式多媒体课件，内含动态树状图生成演示、分层练习题。

1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础画图区、探究区）、课堂巩固练习卷。

2.学生准备：复习概率的古典定义，预习课本相关案例，携带直尺、铅笔等作图工具。

3.环境准备：教室桌椅可按需调整为小组合作模式，黑板预留足够区域用于展示学生绘制的树状图。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与冲突激发：同学们，上节课我们学会了计算像抛一枚硬币正面朝上这样的简单概率。现在，老师遇到一个真实的烦恼，想请大家当一回“决策小参谋”：我们班要派一名男生和一名女生组成代表参加校际活动，现在男生候选人有小明、小刚，女生候选人有小红、小芳。如果随机选择，恰好选到小明和小红的概率是多少？大家先凭直觉猜猜看。

（学生可能给出各种答案，如1/4,1/2等，产生认知冲突）

1.1问题提出：直觉不一定可靠。当随机试验从一步变为两步或更多步时，我们如何才能系统、清晰地找出所有可能的结果，从而准确计算概率呢？这就是我们今天要攻克的核心问题。

2.路径明晰与旧知唤醒：为了解决这类“两步走”的随机选择问题，数学家们发明了一种非常形象的思维工具——树状图。它就像一棵树的生长，从树干开始，每一步选择都会长出新的“分支”，最终所有可能的结果都挂在“枝头”。这节课，我们就来学习如何“种植”这棵概率之树，并用它来做出精准的决策。请回忆，一个随机试验结果满足什么条件，我们才能用“结果数之比”来算概率？（等可能）

第二、新授环节

本环节采用支架式教学，通过五个递进任务，引导学生从模仿到独立建构。

任务一：初识树状图——构建基本模型

教师活动：承接导入问题，教师进行示范性引导。“我们先来解决选代表的问题。第一步是选男生，有几种等可能结果？”（两种：小明、小刚）教师在黑板中央画一个起点，分出两条线，分别标上“小明”、“小刚”。“第一步确定了小明后，第二步选女生，这时有几种等可能选择？”（两种：小红、小芳）教师在“小明”分支末端再分出两条线，标上“红”、“芳”。同样处理“小刚”分支。“看，这像不像一棵树在分叉？我们把第一步的结果称为‘树根’，最后的每一种搭配就是‘树叶’。现在，请大家一起数一数，总共有多少种等可能的搭配结果？”（4种）引导学生读出每条路径，如“小明-小红”。“那么，‘恰好选到小明和小红’是其中一种，所以概率是1/4。请同学们在任务单上模仿画出这个树状图。”

学生活动：观察教师示范，理解每一步分支的含义。在任务单上模仿绘制树状图，并尝试读出所有可能结果，验证概率计算。

即时评价标准：1.绘制的树状图是否层次清晰，第一步与第二步是否明确区分。2.是否能用“先…再…”的语言完整描述一条路径代表的结果。3.能否正确数出所有等可能结果数并计算目标概率。

形成知识、思维、方法清单：

★树状图基本结构：由“根”（开始）、多层“枝”（中间步骤的可能结果）和“叶”（最终结果）构成。每一层分支代表一次随机选择。

★画图基本步骤：①明确试验有几个步骤；②从左向右，分步画枝，每一步画出所有等可能结果；③最后写出所有可能的结果。

▲教学提示：强调“从左到右”的顺序感和“步步有分支”的完整性，这是避免混乱的关键。

任务二：辨析“等可能”的灵魂——放回与不放回

教师活动：设置认知冲突。“刚才的选择中，第二步选女生不受第一步选男生的影响。现在我们改变规则：从一个装有红、黄两个小球（除颜色外完全相同）的袋中，摸两次球。第一次摸出后，如果‘放回’摇匀再摸第二次，和‘不放回’直接摸第二次，这两种情况下，两次都摸到红球的概率一样吗？请大家先小组讨论，猜想一下。”巡视听取讨论。然后引导：“光猜不行，我们用树状图来‘说话’。请第一、二组研究‘放回’情形，第三、四组研究‘不放回’情形，分别画出树状图并计算概率。”

学生活动：小组合作探究。分析试验步骤（两步摸球），讨论并绘制两种情形下的树状图。对比发现：在“放回”情形下，第二步摸球时袋子情况与第一步完全相同，因此分支可能性同第一步；在“不放回”情形下，第一步摸走一个球后，第二步的可选球发生了变化，分支可能性也随之改变。分别计算概率。

即时评价标准：1.能否正确区分两种试验规则，并在树状图的第二步分支上准确体现不同的可能性。2.小组讨论时，能否围绕“等可能性是否改变”这一核心进行有效论证。3.计算概率过程是否准确。

形成知识、思维、方法清单：

★等可能性的前提：树状图中每一分支代表的可能性必须相等，这取决于具体的试验规则。

★“放回”与“不放回”的模型差异：“放回”确保每一步的试验条件相同，树状图同层分支结构一致；“不放回”则导致后续步骤的等可能结果集合发生变化，必须依据前一步结果动态确定。

▲核心思维：画图前必须先“审题”，明确试验条件和规则，这是保证模型正确的生命线。

任务三：规范升华与符号化表达

教师活动：展示学生绘制的优秀树状图和有问题的图（如标记不清、分支不等可能）。“大家评议一下，怎样的树状图算是一幅‘好图’？”引导学生归纳：步骤分明、标记清晰（可用字母A、B等简化）、分支等可能、结果易数。然后提出进阶问题：“如果袋中有红、黄、蓝三个球，摸两次（放回），用树状图求至少摸到一次红球的概率。大家觉得画出来会是什么样子？”让学生感知步骤或可能结果增多时，树状图的优势与可能的繁杂。提示：“为了更简洁，我们可以用字母R、Y、B分别代表红、黄、蓝球。”

学生活动：参与评议，总结优秀树状图的标准。尝试独立或结对解决“三球放回摸两次”问题，体验用符号简化标记的过程。感受当分支较多时，系统化枚举的条理性。

即时评价标准：1.能否归纳出树状图绘制的规范性要点。2.能否主动运用符号简化表达。3.在解决稍复杂问题时，画图过程是否依然有序、完整。

形成知识、思维、方法清单：

★树状图的规范性要点：步骤清、标记明、分支等、结果全。提倡使用符号进行简洁标记。

★树状图的应用优势：能直观、系统、不重不漏地展示多步随机试验的所有可能路径，尤其适用于步骤不太多（如2-3步）的情形。

▲易错点提醒：防止在标记时混淆不同步骤的结果，建议在分支旁用小字标注步骤序号（如“第1步”、“第2步”）。

任务四：模型应用——解决生活概率问题

教师活动：出示问题：“小丽早餐搭配：饮料有牛奶、豆浆，点心有包子、油条、面包（各只能选一种）。随机搭配一份早餐，恰好是‘牛奶和包子’的概率是多少？”不直接讲解，而是说：“现在，请大家独立担任‘早餐搭配分析师’，用树状图来为小丽分析一下所有可能的套餐和心仪套餐的概率。完成后，同桌交换检查。”

学生活动：独立审题，抽象出“先选饮料，再选点心”的两步模型，绘制树状图，列出所有6种等可能搭配，并计算目标概率。同桌互查，重点检查树状图是否反映了“各选一种”的规则以及计算是否正确。

即时评价标准：1.能否独立从文字情境中抽象出分步试验模型。2.绘制的树状图是否能正确反映实际选择逻辑和数量。3.同桌互查时，能否发现并指出对方可能的错误。

形成知识、思维、方法清单：

★实际问题抽象化：将生活问题转化为概率模型的关键是：识别随机过程是否可分解为连续的几个步骤，并确定每一步的所有等可能选项。

★概率计算的应用价值：为决策提供量化依据（如心仪套餐的可能性）。

▲方法巩固：通过独立应用，内化树状图求概率的完整流程：建模（分步）→画图→列举→计算。

任务五：思维延伸——三步骤初探与策略反思

教师活动：提出挑战性问题：“如果小丽的选择变成三步：先选饮料，再选点心，最后还要选一个水果（苹果或香蕉）。那么，画出树状图，总共有多少种搭配？‘牛奶、包子、苹果’的概率是多少？”让学有余力的学生尝试。“画完后，请大家思考并小组交流：树状图方法有没有缺点？什么时候用起来可能不太方便？”

学生活动：部分学生尝试绘制三步树状图，感受复杂度的增加。全体学生参与讨论树状图的局限性（如步骤太多时图形庞大繁琐），并与之前学过的列表法进行初步比较，思考不同方法的适用情境。

即时评价标准：1.对于三步问题，绘制的树状图逻辑是否依然清晰。2.讨论中能否客观评价树状图的优缺点，并初步联系其他方法。

形成知识、思维、方法清单：

▲树状图的拓展：方法可推广至三步甚至更多步试验，原理不变，但复杂度增加。

★方法的比较与选择：树状图形象直观，适用于步骤少、每步结果数也较少的情形；若步骤或结果数过多，可考虑列表法等其他枚举策略。根据问题特征灵活选择工具，是更高阶的能力。

第三、当堂巩固训练

设计分层练习，提供即时反馈。

1.基础层（全体必做）：

1.2.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，用树状图求恰好一次正面朝上的概率。

2.3.从数字1,2中任取一个作为十位数字，再从1,2,3中任取一个作为个位数字，组成两位数。用树状图列出所有可能结果，并计算这个两位数是偶数的概率。

反馈：教师巡视，重点关注树状图起步和分支的规范性，对共性错误进行简短板演纠正。“注意，抛两次硬币，第一步的结果是‘正’或‘反’，第二步同样也是‘正’或‘反’，要画完整哦。”

4.综合层（大多数学生完成）：

1.5.一个不透明袋子中装有红、白两色小球，除颜色外都相同。从中先后摸出两个球（不放回）。请用树状图分析所有可能情况，并求摸出的两个球颜色相同的概率。

反馈：学生板演，师生共评。重点评议第二步分支的可能性是否根据“不放回”正确调整。“大家看，他第一步摸了红球后，第二步的分支画的是‘白球’，完全正确，因为袋子里只剩白球了。这体现了对规则的准确把握。”

6.挑战层（供学有余力者选做）：

1.7.甲、乙、丙三人玩“手心手背”游戏（每次每人随机出手心或手背）。一次游戏中，恰好两人出手心、一人出手背的概率是多少？尝试用树状图分析。（提示：可按甲、乙、丙的顺序分三步考虑）

反馈：展示优秀解法，强调复杂问题分步建模的坚持。可作为思考题，鼓励课后继续探究。

第四、课堂小结

1.知识整合：“同学们，今天我们共同‘种植’并研究了概率计算中的‘树状图’这棵智慧之树。谁能用简短的话说说，我们是怎么‘种’这棵树的？”引导学生回顾步骤：审清步骤→从左到右画枝→确保等可能→列出结果→计算概率。

2.方法提炼：“回顾解决问题的过程，我们运用了哪些重要的数学思想？”（模型思想——把试验抽象成树；分类讨论思想——每一步分成几类；有序思想——从左到右，不重不漏。）

3.作业布置与延伸：

1.4.必做题：课本相关习题，巩固树状图基本画法和概率计算。

2.5.选做题：①调研一个生活中涉及两步选择的概率问题（如抽奖活动），尝试用树状图进行分析。②比较树状图与列表法在解决同一概率问题时的异同点，写下你的发现。

3.6.预告：下节课我们将学习另一种重要的枚举工具——列表法，看看它和树状图这对“兄弟”各有什么神通。

六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.规范画出下列试验的树状图，并计算指定事件的概率：

a.连续掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和为5的概率。

b.从一幅扑克牌中抽取两张（不放回），第一张抽K，第二张抽Q的概率（仅考虑点数）。

2.辨析：小明说：“从1,2,3三个数字中抽两个（不放回）组成两位数，用树状图时，第一步有三种可能，第二步都只有两种可能，所以总共有3×2=6种结果。”他说得对吗？请画出树状图验证。

拓展性作业（建议完成）：

设计一个简单的抽奖游戏规则（包含两步或三步抽奖过程），用树状图分析参与者赢得大奖的概率，并说明你的设计是否公平。

探究性/创造性作业（选做）：

查阅资料，了解“决策树”在人工智能或商业决策中的应用，写一篇200字左右的短文，说明其与我们今天所学的树状图在基本思想上的联系。

七、本节知识清单、考点及拓展

★树状图的定义与结构：一种利用树形分枝图形枚举多步随机试验所有可能结果的模型。结构包括起点（树根）、分层分支（中间结果）、终点（最终结果）。

★画树状图的核心步骤：①明确试验步骤数；②自左向右分步展开，每一步画出所有等可能结果；③用路径表示一种可能结果，并写出所有结果。

★等可能性的保障：这是使用树状图求概率（古典概型）的前提。绘图时必须依据试验的具体规则（如“放回”或“不放回”）确定每一步分支的可能性是否相等。

★“放回抽样”的树状图特征：每一步的试验条件相同，因此从同一节点出发的分支结构完全一致，各分支概率相等。

★“不放回抽样”的树状图特征：后续步骤的等可能结果集合受前面步骤结果影响而减少，树状图中从不同节点出发的分支数量或内容可能不同，需动态判断。

★树状图求概率的一般流程：分析建模→绘制树图→列举结果（总数n）→确定目标事件结果（数m）→计算概率P=m/n。

▲树状图的优点：直观、系统、不易遗漏，能清晰展示事件发展的动态过程。

▲树状图的局限性：当试验步骤或每步可能结果较多时，图形会非常繁杂，不便绘制。此时可考虑列表法或其他方法。

★常见考点：1.根据两步试验（常涉及摸球、抽卡、选人等）绘制树状图。2.结合“放回”与“不放回”辨析概率计算。3.利用树状图解决实际情境中的简单概率问题。

▲易错点警示：1.未正确区分“放回”与“不放回”，导致第二步分支画错。2.树状图画完后，数结果总数或目标事件结果数时发生遗漏或重复。3.在复杂情境中，未能准确抽象出试验的“分步”结构。

▲与列表法的初步联系：列表法适合两步试验，且每一步的可能结果不宜过多，它能以表格形式清晰展示所有搭配，与树状图本质相通，都是系统枚举法。选择哪种，视问题特点和个人习惯而定。

八、教学反思

本课的教学设计以“问题解决”为主线，通过“导入冲突-探究建模-辨析深化-应用巩固-反思延伸”的结构化流程，旨在引导学生主动建构树状图知识体系。从假设的实施角度看，预期目标达成度较高。导入环节的“选代表”问题成功制造了认知冲突，激发了探究欲。任务一至任务五的梯度设计，较好地搭建了从模仿到独立应用的脚手架，特别是任务二“放回与不放回”的对比探究，预计能有效击中学生对“等可能性”理解的模糊点，成为课堂的思维高潮。

在核心任务的有效性方面，任务四的独立应用环节是关键检验点。预计大部分学生能成功将生活问题“早餐搭配”转化为树状图模型，这表明抽象的建模思维得到了初步锻炼。而任务五对三步问题的初探和策略反思，则为学优生提供了发展空间，并引导全体学生开始形成方法论意识，超越了单纯技能操练。

对不同层次学生的课堂表现预析：基础薄弱学生可能在任务二辨析规则和任务四的独立建模上存在困难，需要教师巡视时给予更