小学数学五年级下册《巧用最小公倍数解决实际问题》精讲教案

小学数学五年级下册《巧用最小公倍数解决实际问题》精讲教案

一、设计理念与思路

本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉持“以学生发展为本”的教育理念，致力于实现数学知识与现实世界的深度联结。最小公倍数不仅是“数与代数”领域的一个重要概念，更是培养学生数感、模型意识、应用意识和创新意识的关键载体。传统教学往往局限于求两个数的公倍数，而本设计将突破这一藩篱，从工程统筹、周期重合、最优方案等真实且复杂的跨学科情境出发，引导学生将最小公倍数升华为一种解决实际问题的策略性工具和结构化思维模型。

本设计注重知识的结构化与思维的可视化。通过“问题情境—建立模型—解释应用—拓展反思”的完整探究链条，让学生亲历数学化的过程，理解最小公倍数的本质是寻找不同周期或标准下的“同步点”。教学中将融入数学建模的初步思想，并渗透优化思想与系统思维，旨在培养学生在未来社会与学习中所需的、解决不确定性与复杂性问题的高阶能力。

二、学情分析

五年级学生已经掌握了因数和倍数的概念，会求一个数的倍数，并初步理解了公倍数和最小公倍数的定义及一般求法（如列举法、筛选法）。他们的逻辑思维能力正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，具备一定的抽象、归纳和推理能力。

然而，学生的普遍薄弱点在于：

1.知识孤立化：将最小公倍数视为一个孤立的计算技能，未能与解决实际问题建立有效联系。

2.模型意识薄弱：面对复杂情境时，难以识别问题本质，无法主动建构“求最小公倍数”的数学模型。

3.思维定式：习惯性地认为“公倍数”问题仅限于“几个人同时”的场景，缺乏在多样化情境中迁移应用的能力。

4.审题与转化障碍：对文字量较大、信息隐含的实际问题，存在提取关键信息、将生活语言转化为数学语言的困难。

因此，本教学设计的核心挑战与突破点在于：如何设计有梯度、有挑战性的任务序列，引导学生完成从“会算”到“会用”、从“模仿”到“创造”的认知飞跃。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.巩固求两个数最小公倍数的方法（列举法、筛选法、分解质因数法、短除法），并能根据数字特征灵活选择。

2.能准确识别实际问题中蕴含的“公倍数”关系，并成功建立数学模型。

3.能熟练运用最小公倍数解决关于“同时发生”、“周期重合”、“拼装图形”、“优化安排”等类型的实际问题。

（二）过程与方法

1.经历从具体生活情境中抽象出数学问题、构建数学模型、并回归解释的过程，体会数学建模的思想。

2.通过小组合作探究、对比分析、变式训练，发展分析、综合、概括和迁移类比的能力。

3.学会使用线段图、时间轴、集合圈等工具进行直观分析与推理，使思维过程可视化。

（三）情感、态度与价值观

1.感受数学与生活的密切联系，体会数学在优化方案、提高效率中的实用价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

2.在解决复杂问题的过程中，培养严谨求实的科学态度、克服困难的意志以及团队协作精神。

3.初步建立“系统优化”的思维方式，体会数学的简洁美与逻辑美。

四、教学重难点

1.教学重点：引导学生从纷繁复杂的实际问题中，准确抽象出“求几个数的最小公倍数”这一数学模型。

2.教学难点：

1.3.理解问题本质，辨别何时是求“最小公倍数”，何时是求“最大公因数”。

2.4.处理情境中的“余数”或“缺口”问题（如“最后差几个同时到达终点”）。

3.5.解决涉及三个及以上数量的最小公倍数问题，并能对结果进行符合实际情况的合理解释与调整。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含动画演示、情境图片、互动习题）、实物教具（如不同长度的彩条、可拼搭的正方形学具）。

2.学生准备：预习课本相关章节，准备练习本、彩笔、直尺。

3.环境准备：将学生分为4-6人异质小组，便于合作探究。

六、教学实施（共两课时，约80分钟）

第一课时：模型初建与基础应用

环节一：情境激疑，导入新课（预计用时：8分钟）

1.创设真实情境，引发认知冲突

课件出示：学校食堂营养师为甲、乙两位同学定制营养餐。甲同学每3天需要补充一次维生素A，乙同学每4天需要补充一次维生素A。今天是3月1日，两人同时补充了维生素A。

问题：营养师为了便于管理，希望找到两人下次同时补充维生素A的日期，以及在这一天之后，这样的“同时补充日”在3月份还有哪几天？

2.独立思考，尝试解决

学生独立尝试，教师巡视，收集典型方法（可能有画日历圈注、列清单等）。

3.展示交流，揭示课题

请学生展示方法。

1.方法一（列举法）：甲：1，4，7，10，13，16,19,22,25,28,31…；乙：1，5，9，13，17,21,25,29…。发现13日、25日两人同时补充。追问：1号算不算？(算，是起点)下次同时是13号。

2.方法二（周期标注）：在一条时间轴上标注出甲的周期（每3天）和乙的周期（每4天），找重合点。

教师引导：这些“同时补充日”的日期有什么特点？（既是3的倍数，又是4的倍数）我们给这些数起个名字？（公倍数）其中最早的下一次是哪一天？（13日）这个13与3和4有什么关系？（是3和4的最小公倍数）

揭示并板书课题：巧用最小公倍数解决实际问题——寻找“同步时刻”。

【设计意图】从贴近学生生活的“营养管理”情境入手，制造“寻找共同日期”的认知需求。通过对比不同解法，自然引出“公倍数”与“最小公倍数”的概念，让学生感受到学习最小公倍数的必要性，理解其本质是寻找不同周期下的“第一次重合点”。

环节二：探究建模，归纳类型（预计用时：22分钟）

1.模型提炼

引导学生将上题中的信息进行数学化抽象：

1.“甲每3天一次”→周期是3→甲的日期是3的倍数。

2.“乙每4天一次”→周期是4→乙的日期是4的倍数。

3.“下次同时”→寻找下一个共同的倍数→求3和4的最小公倍数。

4.“3月份还有哪几天”→在找到最小公倍数（首次重合）后，继续找它们的公倍数，且日期在31日内。

板书模型：实际问题→抽象为周期性行为→周期数为a,b→求a和b的最小公倍数[首次]及一定范围内的其他公倍数[后续]。

2.基础类型巩固与辨析

类型一：纯粹的“同时发生”问题

例题1（教材基础）：一种长方形地砖长6dm，宽4dm。如果用这种地砖铺一个正方形（用的地砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？

1.学生活动：小组合作，利用手中学具（代表长6cm、宽4cm的小长方形）拼一拼，画一画。

2.引导探究：正方形的边长与小长方形的长和宽有什么关系？（必须是6和4的公倍数）为什么？（铺满且是整块）最小的正方形边长是多少？（6和4的最小公倍数12）

3.课件动态演示拼的过程，强化“边长是长和宽的倍数”这一空间表象。

4.变式：如果地砖长8cm，宽6cm，拼成的最小正方形面积是多少？（求[8,6]=24，面积576cm²）

类型二：有“起点”和“方向”的“相遇”问题

例题2：公交站，1路车每6分钟发一班，2路车每8分钟发一班。早上6:00两路车同时发车。请问：两路车下一次同时发车是几时几分？

1.学生独立完成。强调：起点（6:00）是第一次同时，问“下一次”即求最小公倍数后再加到起点时间上。6和8的最小公倍数是24，所以6:00+24分=6:24。

2.易错提示：此处学生易忽略起点就是一次“同时”，而误将最小公倍数24直接作为答案“24分”，忘记加上起点时刻。板书强调：下次同时时间=起始同时时间+最小公倍数（分钟）。

【设计意图】通过两个经典类型，巩固模型。类型一从“数”过渡到“形”，建立数形结合思想。类型二引入时间维度，强调“起点”的重要性，点明常见易错点。小组活动与动态演示有助于深化理解。

环节三：课堂练习，诊断反馈（预计用时：10分钟）

1.基础题：小丽每4天游泳一次，小明每6天游泳一次。今天他们相遇在泳池，至少再过多少天他们再次相遇？

2.辨析题（判断是否用最小公倍数解决）：

1.3.把两根长度分别是12米和18米的绳子截成同样长的小段，每段最长几米？（求最大公因数）

2.4.有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们锯成同样长的小段，不能有剩余，每段最长是几米？（求最大公因数）

3.5.从这两根木料中，各锯一段，要使得锯出的两段长度相等，且这个相等的长度是整米数，这个长度可能是多少米？（求公因数）

4.6.用这两根木料作为骨架，制作一些完全相同的框架，每个框架都需要用到这两种木料各一根，框架的边长（即木料被使用的长度）最大是多少？（求最大公因数）

（通过对比辨析，强化“分、截、最大”常联系最大公因数；“同时、拼、最小”常联系最小公倍数，但核心是分析数量关系。）

7.综合题：一条跑道，甲跑一圈需3分钟，乙跑一圈需4分钟，丙跑一圈需6分钟。三人同时从起点同向出发，至少多少分钟后三人在起点再次相遇？此时三人各跑了几圈？

【设计意图】练习设计体现梯度。辨析题是本节课的升华关键，通过一组易混情境的对比，引导学生穿透表面文字，抓住“等分”与“公倍”的本质区别，培养思维的深刻性。综合题为下节课涉及三个数的公倍数做铺垫。

第二课时：深度探究与拓展应用

环节一：复习引新，聚焦难点（预计用时：5分钟）

快速回顾上节课模型与易错点。出示上节课综合题（甲3分，乙4分，丙6分，问同时回到起点时间）。

师生共析：这实际上是求3，4，6的什么？（最小公倍数）如何求？引导学生比较不同方法（列举、大数翻倍、短除法），得出[3，4，6]=12分钟。此时，甲跑12÷3=4圈，乙跑3圈，丙跑2圈。

引出本课主题：最小公倍数的应用远不止于“相遇”，今天我们将挑战更复杂、更有趣的实际问题。

环节二：深度探究，突破难点（预计用时：25分钟）

类型三：“不是整周期”的调整问题（难点突破）

例题3（考法提炼）：有一包糖果，如果平均分给8个小朋友，正好分完；如果平均分给10个小朋友，也正好分完。这包糖果至少有多少颗？

1.学生轻松解决：求8和10的最小公倍数40。

2.变式（制造认知冲突）：如果平均分给8个小朋友，多3颗；平均分给10个小朋友，也多3颗。这包糖果至少有多少颗？

3.小组探究：教师引导：“多3颗”这个条件怎么处理？能否转化成我们熟悉的模型？

4.汇报点拨：如果把这多的3颗拿走，是不是就正好分完了？所以，糖果总数减去3，就既是8的倍数，又是10的倍数。因此，糖果总数是8和10的公倍数再加上3。求至少多少颗，就是求最小公倍数40再加上3，等于43颗。

5.模型提炼：总数÷a=x…m，总数÷b=y…m→(总数-m)是a和b的公倍数。板书关键转化：“同余”化“整除”。

类型四：“环形跑道”中的追及与相遇综合

例题4：一个环形跑道长300米。小张、小王从同一地点反向而行，小张速度是4米/秒，小王速度是6米/秒。

1.问题1（第一次相遇）：多少秒后两人第一次相遇？（求“路程和”是300米的时间，300÷(4+6)=30秒，与公倍数无关）

2.问题2（首次回到起点）：两人从出发到第一次同时回到起点，需要多少秒？（分析：小张跑一圈需300÷4=75秒，小王需300÷6=50秒。问题转化为求75和50的最小公倍数。[75，50]=150秒。此时，小张跑2圈，小王跑3圈。）

3.对比辨析：引导学生深刻理解“相遇”与“同时回到起点”是两类截然不同的数学模型。前者是“路程和”，后者是“周期公倍”。

类型五：方案优化与选择问题（跨学科视野）

例题5（工程思维）：工程队要铺设一段管道。如果用甲队单独铺设，正好每6天完成一个检修周期（即每6天需要停工检修一次设备）；如果用乙队单独铺设，正好每8天完成一个检修周期。现在为了赶工期，决定让两队从同一天开始共同铺设。为了尽量减少因检修造成的停工，指挥部希望安排一个两队同时停工检修的日子，以便统一进行其他作业。他们至少需要合作多少天，才能遇到这样一个“共同检修日”？

1.分析与解决：本质是求6和8的最小公倍数24。合作24天后，甲队完成了4个周期，乙队完成了3个周期，恰好在同一天进入检修。

2.拓展思考：如果共同检修会耽误1天工期，指挥部想找一个共同检修日，但又希望从开工到这个共同检修日之间的总工期尽可能短，该如何决策？（还是最小公倍数24天最优，因为这是第一次共同检修日，再早就没有了。）

【设计意图】本环节是提升学生思维层次的核心。“同余问题”实现了模型的逆用与转化；“环形跑道”区分了速度关联与周期关联；“方案优化”将数学与简单工程管理结合，体现了数学的决策价值。每个类型都通过变式制造思维阶梯，引导学生层层深入。

环节三：综合应用，能力跃迁（预计用时：8分钟）

挑战题（易错提示集成）：

园林工人用大小两种自动喷灌器浇花。大喷灌器旋转一周浇灌需30分钟，然后自动暂停10分钟进行冷却；小喷灌器旋转一周需45分钟，然后自动暂停15分钟。上午8：00，工人同时启动了两个喷灌器。

1.从开始到第一次同时暂停，是几点几分？

2.从开始到第一次同时结束一个完整的“工作-暂停”周期（即同时进入下一次启动），是几点几分？

关键点拨：

1.第1问：关注点只在“暂停”这一动作。大喷灌器工作30分钟后暂停，周期是40分钟（30+10）；小喷灌器工作45分钟后暂停，周期是60分钟（45+15）。第一次同时暂停，即求从8：00开始，40和60的最小公倍数120分钟后的时刻。8:00+120分=10:00。

2.第2问：关注完整的周期结束点，即“准备再次启动”的时刻。对大喷灌器，这个时刻点是40分钟，80分钟，120分钟…；对小喷灌器，是60分钟，120分钟…。所以也是求40和60的最小公倍数120分钟。答案时刻相同，但意义不同。

3.易错警示：学生极易将第1问的周期错误理解为30和45。必须仔细分析“事件”（暂停）发生的时刻点所对应的周期长度。审题时圈画关键词“暂停”、“完整周期”至关重要。

【设计意图】此题是集大成的综合挑战题。它混淆了“工作时段”和“完整周期”，极易出错。通过此题训练学生极度审慎的审题习惯和精细化分析问题的能力，将本节课的易错点进行集中强化与突破。

环节四：总结反思，体系构建（预计用时：2分钟）

引导学生以思维导图形式总结：

1.核心模型：寻找“同步点”→求公倍数（最小公倍数用于首次）。

2.四大类型：同时发生、周期重合、同余转化、优化安排。

3.关键步骤：①审题，确定是否属“公倍数”模型；②提取周期数a,b；③求最小公倍数[a,b]；④结合起点、余数等条件得出答案；⑤验证答案的合理性。

4.思想方法：模型思想、转化思想、优化思想、数形结合。

5.易错雷区：忽略起点、混淆“整除”与“同余”、周期识别错误、与最大公因数问题混淆。

七、板书设计（提纲式、演进式）

第一课时板书：

巧用最小公倍数解决实际问题

——寻找“同步时刻”

一、模型建立：

实际问题→“每a天/次…每b天/次…”→求a,b的公倍数

↓

最小公倍数[a,b]（首次同步）

二、基础应用：

1.铺砖问题：正方形边长=[长，宽]

2.发车问题：下次同时=起始时刻+[间隔1，间隔2]

三、关键辨析：分、截、最大→最大公因数

同时、拼、至少→最小公倍数

第二课时板书（在第一课时旁补充）：

三、深度应用：

3.同余问题：总数÷a…m→(总数-m)是a,b的公倍数

总数÷b…m

4.环形跑道（同时回起点）：[甲一圈时间，乙一圈时间]

5.方案优化（共同检修日）：[周期A，周期B]

四、核心步骤：审→提→求→验

五、思想：建模、转化、优化

八、分层作业设计

A层（基础巩固，面向全体）：

1.课本相关练习题。

2.从甲地到乙地，小轿车每6小时发一班，大巴车每8小时发一班。早上7：00两车同时发首班，下一次同时发车是下午几点？

3.一盒铅笔，平均分给4人或5人，都剩2支。这盒铅笔至少多少支？

B层（能力提升，面向大多数）：

1.学校合唱队排练，如果每排站12人，则最后一排少4人；如果每排站15人，则最后一排也少4人。合唱队至少有多少人？（提示：