函数的概念2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学（下）第二十二章函数22.1函数的概念人教版八年级数学（下）第二十二章函数22.1函数的概念第1课时变量与常量新课导入数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？探究新知思考1：汽车以60km/h的速度匀速行驶当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少？s的值随t的值的变化而变化吗？t/h12345s/km60120180240300路程=速度×时间60km/h的速度匀速行驶说说你这样填的理由？在以上这个过程中，变化的量是_________________．

不变化的量是_________________．时间t、速度60km/h路程s这个过程反映出路程s随时间t的变化而变化.汽车行驶路程s与行驶时间t的关系式是什么？s=60t

电影票的售价为40元/张，第一场售出80张，第二场售出105张，第三场售出180张，三场电影的票房收入分别为多少元？设一场电影售出x

张票，票房收入为y

元，y

的值随x

的变化而变化吗？思考2：

说说你这样算的理由？票房收入=售价×售票张数在以上这个过程中，变化的量是___________________．

不变化的量是_________________．售票张数x、售价40元/张票房收入y

这个过程反映出票房收入y随张数x的变化而变化.票房收入y与售出电影票的张数x的关系式是什么？y=10x

你见过水中的涟漪吗？如图，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？思考3：

说说你这样算的理由？

在以上这个过程中，变化的量是___________________．

不变化的量是_________________．圆的面积S、圆周率π圆的半径r这个过程反映出圆的面积S

随圆的半径r

的变化而变化.圆的面积S与圆的半径r的关系式是什么？

长方体的体积为1000cm3，当长方体的底面积S分别为50cm2，100cm2，125cm2时，高h分别为多少？h的值随S的值的变化而变化吗？思考4：

说说你这样算的理由？

在以上这个过程中，变化的量是___________________．

不变化的量是_________________．长方体的底面积S、长方体的体积V高h这个过程反映出圆的面积S

随圆的半径r

的变化而变化.长方体的高h与底面积S的关系式是什么？

从以上4个问题中，你可以得出什么样的结论？在一个变化过程中，有些量的数值是变化的，例如时间t，路程s，售出票数x……。有些量的数值是始终不变的例如速度60km/h，票价40元/张……什么叫变量？什么叫常量？一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.说明：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母.如在匀速运动中的速度v

就是一个常量.(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量.如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量.(3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x2中，x是变量，而不能说x2是变量.例1指出下列问题中的常量和变量：（1）某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为工t，月应缴水费为y元.解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量.（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元，李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元.（2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额w是变量。（3）用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2.（3）绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量.思考：以上“思考１－４”中的问题中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？s=60t

在思考1的问题中，两个变量是t和s，s随t的变化而变化，每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.y=10x在思考2的问题中，两个变量是x和y，y随x的变化而变化，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应.类似地，请你指出思考3－4中两个受量之间的关系，并写出关系式。上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。归纳知识归纳1．一般地，在一个变化过程中，数值发生变化的量为________，数值始终不变的量为________．2．每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有______________与其对应．变量常量唯一确定的值例题与练习例1分析下列关系中的变量与常量．(1)球的表面积S(cm2)与球的半径R(cm)的关系式是S＝4πR2；解：(1)常量是4，π，变量是S，R；

(3)常量是1.8，变量是w，x.(3)已知橙子1.8元/kg，则购买数量x(kg)与所付款w(元)之间的关系式是w＝1.8x.例2观察图表，根据表格中的数据回答问题：梯形个数12345…图形周长58111417…(1)设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的关系式；解：(1)l＝3n＋2；(2)在上述变化过程中，常量、变量分别是什么？(3)求n＝11时图形的周长．(2)常量是3，2，变量是l，n；(3)当n＝11时，l＝3×11＋2＝35，即此时图形的周长为35.梯形个数12345…图形周长58111417…1.指出下列问题中的常量和变量：（1）向一个水池注水，注水速度为0.1m3/min，记注水时间为xmin，注水量为ym3.变量：注水时间xmin，注水量ym3；常量：注水速度0.1m3/min.（2）我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示。变量：年份

x，国内生产总值

y/亿元；常量：此过程中没有固定不变的数值，因此无常量.年份

x20162017201820192020国内生产总值

y/亿元746395.1832035.9919281.1986515.21013567.0（3）一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S.变量：平行四边形的高h，面积S；常量：底边长为5.2.举两个运动变化的例子，并分别指出其中的常量和变量。例子1：匀速行驶的汽车

一辆汽车以60km/h的速度在公路上匀速行驶，行驶时间为th，行驶的路程为skm。常量变量例子2：固定边长的正方形框架拉成平行四边形

一个边长为4cm的正方形框架，保持边长不变，拉动一组对角变成平行四边形，平行四边形的高为hcm，面积为Scm2。常量变量3．下表是某报纸公布的世界人口数据情况，表中的变量(

)年份19571974198719992010人口数30亿40亿50亿60亿70亿A．仅有一个，是年份B．仅有一个，是人口数C．有两个，一个是人口数，另一个是年份D．一个也没有C4．张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y＝____________，其中_________是常量，_________是变量．10＋5x10，5y，x5．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．(1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；α＝90°－β(2)甲、乙两地相距

ykm，小明骑自行车以每小时30km的速度从甲地驶向乙地，试用行驶时间t(h)表示小明离乙地的距离s(km)．α和β是变量，90°是常量s＝y－30ts和t是变量，y和－30是常量课堂小结常量与变量常量与变量的概念列出变量之间的关系式常量：数值始终不变的量变量：数值发生变化的量随堂检测1.下列说法不正确的是(

)A．在这一变化过程中，时间和水温是变量B．水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变C．依据表格中反映出的规律可知：当t＝70min时，水温是22℃D．时间每增加10min，水温降低43℃D2．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是(

)A．商品名称B．数量C．单价D．金额C3．如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可以自由转动．在转动过程中，是常量的为(

)A．∠BAC的度数B．AB的长度C．BC的长度D．△ABC的面积B4．下列说法不正确的是(

)A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，aB．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量D．如果a＝b，那么a，b都是常量D人教版八年级数学（下）第二十二章函数22.1函数的概念第2课时函数新课导入1．圆柱的体积公式V＝πr2h，V表示体积，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，其中常量是____________，变量是_____________．πV，r，h2.如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量，当其中一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随之确定．探究新知思考：（1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象，我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h。这两个变量之间有什么关系？这两个变量（时间t与潮高h）之间是函数关系，具体来说是周期性的函数关系。对于每一个确定的时间t，都有唯一确定的潮高h与之对应，从图像可以看出，潮高h随时间t呈现周期性的起伏变化。（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y.这两个变量之间有什么关系？存款期限与年利率存款期限x/月3612243660年利率y/%1.151.351.451.651.952.00这两个变量（存款期限x与年利率y）之间是函数关系，且呈现正相关的变化关系。每一个确定的存款期限x，都对应唯一确定的年利率y。从变化趋势看：随着存款期限x的增加，年利率y整体呈上升趋势（期限越长，年利率越高）。什么叫作自变量？什么叫作函数？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x

的每一个确定的值，函数y有且只有一个值与之对应；对自变量x的不同值，函数y的值可以相同.特别提醒例如：在s＝60t中，有两个变量s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数.注意此处不能说s是函数说明：(1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量；(2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x

的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一；

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围.什么叫自变量的取值范围？如何求式子中自变量的取值范围？确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.不同类型的函数自变量取值范围的确定类型特征举例取值范围整式型等号右边是关于自变量的整式y＝2x2＋3x－1全体实数分式型等号右边是关于自变量的分式y＝使分母不为0的实数类型特征举例取值范围根式型二次根式等号右边是关于自变量的二次根式y＝使根号下的式子为大于或等于0的数三次根式等号右边是关于自变量的三次根式y＝全体实数不同类型的函数自变量取值范围的确定类型特征举例取值范围幂型等号右边是关于自变量的0指数幂(或负整数指数幂)y＝(x－2)0或y＝2(x－3)－1使底数不为0的实数复合型含有上述两种或多种形式y＝使各部分都有意义的实数的公共部分不同类型的函数自变量取值范围的确定求自变量取值范围的过程，其实就是解不等式或不等式组的过程.特别提醒注意：自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.什么叫作函数值？如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0时，x＝±1.①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值.求函数值及自变量值的方法：1.函数与函数值的区别：函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.特别提醒2.一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值.例2汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1L/km.油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？(1)写出表示y与x的函数关系的式子；解：行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为：y=50-0.1x0.1x表示的意义是什么？0.1x表示行驶过程中消耗的总油量.(2)指出自变量x的取值范围；解：仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数.

行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有油量50，即：因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.0.1x≤50求函数自变量的取值范围应注意些什么？确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？解：汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.因此，汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.将x=200带入y=50-0.1x，得

y=50-0.1×200=30什么叫作函数的解析式？像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.(1)函数解析式是等式.(3)书写函数的解析式是有顺序的.如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数.即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式.函数的解析式有什么特点？(2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.①找：找出各个量之间的数量关系；求函数解析式的方法：②写：写出含有两个变量的等式；③变：将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式.知识归纳1．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有________确定的值与其对应，那么我们就说________是自变量，________是________的函数．如果当x＝a时y＝b，那么________叫作当自变量的值为________时的函数值．唯一xyxba2．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式____________，而且要注意问题的____________．3．用关于自变量的____________表示函数与自变量之间的关系的式子叫作函数的解析式．有意义实际意义数学式子例题与练习例1

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．x是自变量，(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；

y是自变量的函数；a是自变量，(2)设一长方体盒子的高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．V＝30a2V是自变量的函数．例2求下列自变量的取值范围．解：(1)x为全体实数解得

x≥1；(3)2x－1＞0，

例3

水箱内原有水200L，7：30打开水龙头，以2L/min的速度放水，设经tmin时，水箱内存水yL.解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴200－2t≥0，解得t≤100.(1)求y与t的函数关系式和自变量的取值范围；∴y＝200－2t.∵y≥0，∴0≤t≤100；(2)∵7：55－7：30＝25(min)，(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150.∴当7：55时，水箱内还有水150L；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分＝1小时40分，7点30分＋1小时40分＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系。如果是，指出其中的自变量与函数.（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化；自变量是函数关系函数（2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化；自变量是函数关系函数（3）某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化；自变量是函数关系函数（4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化。月份x123456789101112降水量y/mm20234395146193186138106864824自变量是函数关系函数2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数。例：购买单价为2元的笔记本，总价y随数量x的变化而变化。关系式：y=2x（x为笔记本数量，取正整数）函数关系：每一个确定的数量x，对应唯一确定的总价y自变量：x（笔记本数量）函数：y（购买笔记本的总价）3.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系。如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.（1）水箱中原有水10L，漏水速度为0.05L/h，水箱中剩余的水量V（单位：L）随时间t（单位：h）的变化而变化；自变量是函数关系函数V=10−0.05t(0≤t≤200)

自变量是函数关系函数

自变量x的取值范围：2

<

x

≤

55.举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围.例：一个正方形的边长为a

cm，面积为S

cm2。函数解析式：S=a2自变量取值范围：a>0（边长为正数）6．下列各关系式中，y不是x的函数的是(

)A．y＝x4

B．y＝6x2＋5

C．|y|＝x

D．y＝－x7．下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是(

)CD8．如图，当输入x＝－1时，输出y＝_______．－5课堂小结函数函数及自变量的概念函数值自变量的取值范围使函数解析式有意义符合实际意义函数的解析式随堂检测

A2.下列关系中，y不是x的函数的是()A.长方形的长一定时，其面积y与宽xB.高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y

与行驶的时间xC.y＝|x|D.|y|＝xD3．已知等腰三角形的周长为12cm，将底边长表示为ycm，腰长为xcm，它们之间的关系式是y＝12－2x，则其自变量x的取值范围是(

)A．0＜x＜6 B．3＜x＜6C．一切实数

D．x＞0B4.观察如图所示的计算程序，若输入x的值为－3，则输出y的结果为______；若输出y的结果为0，则输入x的值为_________.－3

人教版八年级数学（下）第二十二章函数22.1函数的概念习题22.1复习巩固1.指出下列问题中的常量和变量：（1）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放人y本.常量：10本书

变量：第一个抽屉的书本数x、第二个抽屉的书本数y（2）水中涟漪不断扩大，记圆形水波的半径为r，周长为C，圆周率为𝛑

.（3）张华在操场跑步，已知操场一圈为400m，记她跑的圈数为n，跑的路程为sm，常量：圆周率𝛑变量：半径为r、周长为C

常量：操场一圈400m变量：圈数为n、路程sm

2.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系，如果是，指出其中的自变量与函数.（1）记小于自然数n的质数的个数为m，m随n的变化而变化。是函数关系自变量：自然数n

函数：小于n的质数的个数m（2）北京天安门广场的国旗每天随日出升起.某年国庆七天假期每天的升旗时刻如下表所示，升旗时刻随日期的变化而变化.日期x1234567升旗时刻y6:106:116:126:136:146:156:16是函数关系自变量：日期x函数：升旗时刻y3.购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价y（单位：元）随铅笔支数x变化.指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式.常量变量变量自变量函数根据“总价=单价×数量”的数量关系，可得：y=0.4x（x为正整数）4.一个三角形的底边长为5，底边上的高h可以任意改变，指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出面积S随h变化的函数解析式，以及自变量的取值范围.常量变量变量自变量函数

由于三角形的高是线段长度，长度不能为负数或0，因此自变量h的取值范围是：h>0综合运用5，在计算器上按下面的程序操作：输入x（任意一个数）显示y（计算结果）按键

2+5=填表：x13-40101-5.2y输入x（任意一个数）显示y（计算结果）按键

2+5=711-35207-5.4显示的计算结果y是输入数值x的函数吗？为什么？x13-40101-5.2y711-35207-5.4y是x的函数根据函数定义