春季中国精算师资格测试题指南

春季中国精算师资格测试题指南选择题1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E[X(X-1)]=（）A.λB.λ²C.λ+λ²D.λ²-λ答案：B解析：泊松分布中E[X]=λ，Var(X)=λ，故E[X²]=Var(X)+(E[X])²=λ+λ²。因此E[X(X-1)]=E[X²]-E[X]=(λ+λ²)-λ=λ²。2.已知某损失随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-0.01x)（x≥0），则其风险度量VaR0.95(X)等于（）A.-100ln0.05B.100ln0.05C.-100ln0.95D.100ln0.95答案：A解析：VaRα(X)是满足P(X≤VaRα(X))=α的最小x。由F(x)=1-e^(-0.01x)=0.95，解得e^(-0.01x)=0.05，-0.01x=ln0.05，x=-100ln0.05。3.某两全保险产品，保额10000元，期限10年，每年年初缴费，利率i=5%，已知10年定期生存年金现值系数ä₁₀=7.7217，10年定期死亡保险现值系数A₁₀=0.0872，若采用均衡纯保费，则年缴保费为（）A.10000×0.0872/7.7217B.10000×(1+0.0872)/7.7217C.10000×(ä₁₀-A₁₀)/ä₁₀D.10000×(1-A₁₀)/ä₁₀答案：D解析：两全保险纯保费现值=保额×(生存保险现值+死亡保险现值)=10000×(A₁₀+v¹⁰pₓ)，其中v¹⁰pₓ=ä₁₀-(1-v¹⁰)/i（生存年金与生存保险关系），但更简便：均衡纯保费P满足P×ä₁₀=10000×(1-A₁₀⁽¹⁰⁾)，其中A₁₀⁽¹⁰⁾为10年定期死亡保险现值，故P=10000×(1-A₁₀)/ä₁₀（此处A₁₀即A₁₀⁽¹⁰⁾）。4.设某投资组合由两种资产构成，权重分别为w和1-w，资产收益率方差分别为σ₁²和σ₂²，相关系数ρ，则组合方差最小时w=（）A.(σ₂²-ρσ₁σ₂)/(σ₁²+σ₂²-2ρσ₁σ₂)B.σ₂²/(σ₁²+σ₂²)C.(σ₁²-ρσ₁σ₂)/(σ₁²+σ₂²-2ρσ₁σ₂)D.σ₁²/(σ₁²+σ₂²)答案：A解析：组合方差σ²=w²σ₁²+(1-w)²σ₂²+2w(1-w)ρσ₁σ₂，对w求导并令导数为0，解得w=(σ₂²-ρσ₁σ₂)/(σ₁²+σ₂²-2ρσ₁σ₂)。5.在精算模型中，“个体风险模型”与“聚合风险模型”的主要区别是（）A.个体模型仅考虑单一保单，聚合模型考虑多保单B.个体模型理赔次数服从二项分布，聚合模型服从泊松分布C.个体模型中理赔额为常数，聚合模型中理赔额为随机变量D.个体模型以保单为单位建模，聚合模型以整体理赔总额为建模对象答案：D解析：个体风险模型针对每个保单的理赔情况（是否发生、理赔额）建模，聚合风险模型直接对总理赔额S=ΣNᵢ=1Xᵢ建模，其中N为理赔次数，Xᵢ为第i次理赔额，二者核心区别在于建模对象不同。填空题1.已知生存函数S(x)=1-x/80（0≤x≤80），则死亡力μ(40)=______。答案：0.025解析：死亡力μ(x)=-S’(x)/S(x)，S’(x)=-1/80，S(40)=1-40/80=0.5，故μ(40)=(1/80)/0.5=1/40=0.025。2.某保险人承保的某类保单，每次理赔额X服从均值为5000的指数分布，年平均理赔次数λ=10，则总理赔额的方差Var(S)=______。答案：5×10⁸解析：指数分布Var(X)=μ²=5000²=25×10⁶，聚合风险模型中Var(S)=E[N]Var(X)+(E[X])²Var(N)，因N为理赔次数，此处未说明分布，若假设N为常数（λ=E[N]，Var(N)=0，如短期聚合模型简化），则Var(S)=λ×Var(X)=10×25×10⁶=25×10⁷=2.5×10⁸？注：若N为泊松分布，Var(N)=λ=10，则Var(S)=10×25×10⁶+(5000)²×10=25×10⁷+25×10⁷=5×10⁸，题目未明确N分布，按精算模型中常见假设（泊松理赔次数），答案为5×10⁸。3.已知某债券面值1000元，票面利率5%，每年付息一次，剩余期限3年，市场利率6%，则该债券的现值为______元（保留整数）。答案：9734.设随机变量X~N(μ,σ²)，Y=aX+b，若E[Y]=0，Var(Y)=1，则a=______（用σ表示）。答案：±1/σ解析：E[Y]=aμ+b=0，Var(Y)=a²σ²=1，解得a²=1/σ²，故a=±1/σ。5.已知某股票当前价格S₀=100元，无风险利率r=5%（连续复利），1年后股票价格的期望E[S₁]=110元，则该股票的风险中性概率下的期望价格为______元。答案：105.13解析：风险中性概率下，股票价格期望满足E[S₁]=S₀eʳᵗ，t=1，故E[S₁]=100e⁰.⁰⁵≈100×1.0513=105.13。判断题1.对于任意随机变量X，VaRα(X)一定满足VaRα(X)≥ESα(X)（ES为期望短缺）。（）答案：错误2.准备金评估中，未来法准备金等于未来负债现值减去未来保费现值。（）答案：正确解析：未来法准备金=PV(未来给付)+PV(未来费用)-PV(未来保费)，若忽略费用，即为未来负债现值（给付）减未来保费现值。3.生命表中，lx表示x岁的生存人数，dx=lx-lx+1表示x岁的死亡人数，则qx=dx/lx。（）答案：正确解析：qx为x岁的死亡概率，定义为x岁生存者在x到x+1岁间死亡的概率，即dx/lx。4.泊松分布的可加性：若X~P(λ₁)，Y~P(λ₂)，且X与Y独立，则X+Y~P(λ₁+λ₂)。（）答案：正确解析：泊松分布具有可加性，独立泊松变量和的分布仍为泊松分布，参数为原参数之和。5.金融数学中，实际利率i与名义利率i(m)的关系为i(m)=m[(1+i)^(1/m)-1]。（）答案：正确解析：名义利率i(m)表示每年复利m次的利率，每次利率为i(m)/m，故(1+i(m)/m)^m=1+i，解得i(m)=m[(1+i)^(1/m)-1]。解答题1.设某险种的理赔次数N服从参数λ=4的泊松分布，每次理赔额X服从均匀分布U(0,1000)，N与X相互独立，求总理赔额S的期望E[S]和标准差σ(S)。答案：E[S]=20000，σ(S)=√(16×10⁸/3)≈7302.97解析：E[N]=λ=4，E[X]=(0+1000)/2=500，故E[S]=E[N]E[X]=4×500=20000；Var(X)=(b-a)²/12=1000²/12=10⁶/12，Var(N)=λ=4；Var(S)=E[N]Var(X)+(E[X])²Var(N)=4×(10⁶/12)+500²×4=10⁶/3+10⁶=4×10⁶/3；σ(S)=√(4×10⁶/3)=(2×10³)/√3≈1154.7×2≈2309.4？注：计算错误，4×(10⁶/12)=10⁶/3≈3.333×10⁵，500²×4=25×10⁴×4=10⁶，总和=10⁶+3.333×10⁵=1.333×10⁶=4×10⁶/3≈1.333×10⁶，标准差=√(4×10⁶/3)=(2×10³)/√3≈1154.7×2≈2309.4？原答案7302.97错误，正确应为≈2309.4，按正确计算，答案E[S]=20000，σ(S)≈2309.4。2.已知某20年期定期寿险，保额100000元，被保险人现年30岁，利率i=4%，根据生命表l₃₀=95000，l₅₀=80000，计算该保单的趸缴纯保费。答案：100000×(l₃₀-l₅₀)/(l₃₀×(1+i)²⁰)≈100000×15000/(95000×2.1911)≈100000×15000/(2081545)≈7206.83.某保险公司有1000份独立保单，每份保单的年索赔概率p=0.01，索赔发生时赔付金额为1000元，用中心极限定理近似计算该公司年总赔付额超过12000元的概率（Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772）。答案：0.0228解析：每份保单赔付额Xᵢ~伯努利分布，E[Xᵢ]=1000×0.01=10，Var(Xᵢ)=1000²×0.01×0.99=9900；总赔付额S=ΣXᵢ，E[S]=1000×10=10000，Var(S)=1000×9900=9.9×10⁶，σ(S)=√(9.9×10⁶)≈3146.43；由中心极限定理，S~N(10000,3146.43²)；P(S>12000)=P(Z>(12000-10000)/3146.43)=P(Z>2000/3146.43≈0.636)，查Φ(0.64)=0.7389，故概率≈1-0.7389=0.2611？注：若p=0.01，n=1000，np=10，索赔次数N~B(1000,0.01)，总赔付额S=1000N，E[S]=1000×10=10000，Var(S)=1000²×np(1-p)=10⁶×10×0.99=9.9×10⁶，σ=√(9.9×10⁶)=3146.43，Z=(12000-10000)/3146.43≈0.636，Φ(0.64)=0.7389，概率≈0.2611。若题目中“超过12000”对应N>12，N~B(1000,0.01)，E[N]=10，Var(N)=9.9，σ=3.146，Z=(12-10)/3.146≈0.636，结果相同。若按题目所给Φ(2)=0.9772，可能原假设p=0.01，n=1000，Var(Xᵢ)=10