福建省福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页福建省福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U=x0<x<6A．4,5 B．4,5,62．已知双曲线C:y2a2−xA．y=±13x B．y=3．已知复数1+iaA．a>0 B．a<0 C．4．某次测试中，某10人的成绩（单位：分）分别为：48，75，58，66，78，82，84，78，86，91，则这组数据的第80百分位数是（

）A．78 B．82 C．84 D．855．等差数列an的前n项和为Sn，且a3+a7=A．90 B．100 C．110 D．2006．已知函数fx=x+4A．43 B．2 C．4 D．7．已知三棱锥P−ABC的体积为93，∠BAA．24π B．48π C．96π8．已知函数fx=x−amx−bnm, A．m为奇数 B．n为奇数C．若a<b，则2x2>二、多选题9．在正方体ABCD−A1BA．AA1⊥EFC．A1E//FG10．已知函数fx=tanωx+φω>A．fx的最小正周期是B．fx在区间πC．fx的一个对称中心是D．fx的图象可以由gx=11．已知抛物线C:y2=2px的焦点为F1,0，过P−1,0的直线A．tanB．△AC．若tan∠AD．若sin∠AFB三、填空题12．已知单位向量a，b满足a⊥a−213．为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答）14．已知数列an满足a1=1，a四、解答题15．在△ABC中，A(1)若BC=2(2)点D在边BC上，AD=CD，E为AC中点，且16．已知函数fx(1)当a=2时，求曲线y=(2)若fx>017．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求E的方程；(2)若AB=318．某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为X0123Pkkkk其中k>0，(1)当α=(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为13（i）求该顾客为幸运客户的概率fα（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过12，求α19．已知PA⊥平面γ，垂足为A，直线AC⊂γ，B,D(1)若AB⊥A(2)若PA=AC=3，Q是线段（i）证明：二面角B−（ii）直线PB, PD与γ所成的角分别为α, β，记答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《福建省福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ABCDBCBDABDAD题号11答案ABD1．A【分析】写出集合U，利用补集的定义可得集合∁U【详解】因为全集U=x0<x2．B【分析】根据离心率求出ba【详解】因为e=所以ba=1因为双曲线C的渐近线方程为y所以C的渐近线方程为y=3．C【分析】根据复数的乘法求出对应的点结合该点在第二象限判断即可.【详解】1+所以复数1+ia因为该点在第二象限，所以a−b<0，所以a+b+b−4．D【详解】将数据从小到大排列，得到48，58，66，75，78，78，82，84，86，91，由于10×所以这组数据的第80百分位数是84+5．B【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可.【详解】设首项为a1，公差为d，因为a3+因为a6+2联立方程组可得2a1+则由等差数列求和公式得S106．C【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a的不等式组，解之即可.【详解】由对勾函数的单调性可知，函数y=x+4x因为函数fx在R上为增函数，所以函数fx=则a,+∞又因为函数fx=14x+4则有14a+4≤a+故实数a的取值范围是4,+∞，即a7．B【分析】首先找到△ABC的外接圆圆心位置D，结合三棱锥的体积确定外接球半径R及外接球球心O的位置，并利用勾股定理建立关于R【详解】已知∠BAC=90°，BC=A设BC中点为D，则A因为三棱锥体积V=13S△又PB=PC=6，且PD因此PD⊥平面ABC，即设OD=x，球半径为ROA2=联立得9+x2=3即球O的表面积S=8．D【分析】求导得出f′x=x−am−1x−bn−1m+nx【详解】因为函数fx=x（1）当m=1时，由f′x=0可得x=（2）当m≥2且n=x由f′x=0可得x=因为函数fx有且仅有3个极值点x1、x2、x则a≠mb①若a<b，则mb则a<mb+nam若m、n都为奇数，则m−1、x−aammbbf−0−0+0+f减减极小值增增此时函数fx当m为奇数，n为偶数，则m−1为偶数，x−aammbbf+0+0−0+f增增极大值减极小值增此时函数fx当m为偶数，n为奇数时，同理可知，函数fx当m、n均为偶数时，m−1、x−aammbbf−0+0−0+f减极小值增极大值减极小值增此时函数fx有3个极值点，符合题意，且x1=a，此时x1+x②当a>b时，同理可知m、n均为偶数，且x1=b此时x1+x故D选项正确.9．ABD【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明并结合线面垂直的判定定理求解即可.【详解】如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则A(0,0,0)对于A，可得AA1=则AA1⋅对于B，由题意得B(0,2,0)则BC=(2,可得BC⋅A可得BG⋅A而BC∩BG=B,对于C，由题意得A1E=若A1E//FG而不存在λ使方程组成立，即A1对于D，由题意得AD=(2,设平面EFG的法向量为n=令y=1，解得x=0，可得AD⋅n=010．AD【分析】由图象求出φ、ω的值，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】对于A选项，由题意可得f0=tanφ=所以fx又因为fπ6=tanπ由图可知函数fx的最小正周期T满足T2>π6故ω=6k+2∈0所以函数fx的最小正周期为T对于B选项，由A选项可知fx当π6<x<π2时，对于C选项，因为fπ3=tan2对于D选项，因为fx所以fx的图象可以由gx=11．ABD【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到tan∠APF=y1x1【详解】因为抛物线y2=2px解得p=2，则抛物线方程为如图，作出符合题意的图形，作AG对于A，设Ax1,y1，则y由斜率的几何意义得tan∠由诱导公式得sin∠由焦半径公式得AF=x1+则tan∠对于B，设AD的方程为y=k联立方程组y=k(由韦达定理得x1x2=1，y由斜率公式得kAP=因为y12=4x则kAP+kD可得△A对于C，因为∠APD被x设∠APD因为tan∠AP由二倍角公式得2tanθ1则y1x1+1此时AF=4对于D，因为sin∠所以∠AFB设直线AB的方程为x=m联立方程组x=my由韦达定理得y1+y3=由弦长公式得AB=4由焦半径公式得AF=x而直线AB的方程为x−my+1=由点到直线的距离公式得d=则S△因为∠AFB=∠由角平分线性质得ABBP化简得m2−1=m12．π【详解】a⋅又a，b为单位向量，故1−2cos又a,b∈13．30【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算.【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有1:3:当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在1:3:此时,N1当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在1:3:此时,N2N=14．3【分析】构造数列bn=1an【详解】因为an所以an令bn=1所以an则bn所以bn+1所以bn+1是以3所以bn+1所以1=315．(1)15(2)C【分析】（1）由余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换进行求解.【详解】（1）设AC=x即2=1+求得x=1+52所以S△（2）因为AD=CD，E为AC在△ABD又∠ADB又sin2因为C∈0,π，所以sinC其中A=π3所以332cos所以tanC因为C∈0,16．(1)2(2)[【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可.【详解】（1）函数f(x)的定义域为(当a=2时，因为f′又f(1)=12，所以曲线即2x（2）解法一：(i)当a<0时，f'x=x2-af((ii)当a=0时，(iii)当a>0时，令f′(x)<所以f(x)在(所以f(x)综上所述，a的取值范围为[0解法二：由已知，得12(i)当0<x<1时，可得a>x22ln所以a≥(ii)当x=1时，12(iii)当x>1时，可得令g(x)当1<x<e12时，g′(x所以g(x)综上所述，a的取值范围为[017．(1)x(2)7【分析】（1）根据离心率及短轴长求出a,（2）分别设出直线方程，联立椭圆方程，求出y1−y2，【详解】（1）依题意，得2解得a所以E的方程为x2（2）因为AB=34C设A(x1,y1)显然直线AB的斜率不为零，可设直线AB的方程为x=my

由x=my+1所以y所以y1由x=my,x则ABCD所以1+m2所以直线AB的方程为718．(1)16(2)（i）fα=25+【分析】（1）由分布列的性质得出k=（2）（i）设事件Ai=“一次性购买i个文创盲盒i=0,1,2,3”，事件（ii）设事件C=“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，求得PCAi=13ii=1,2【详解】（1）由题可知，k1−α当α=12时，k即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为169（2）（i）设事件Ai=“一次性购买i个文创盲盒i=则PA0=k1−α依题意，得PBA0因为每个盲盒是否为封面款相互独立，所以PBA2又由题意知，B=A0B∪A1B∪所以PB由（1）得，k=1α所以fα=2（ii）设事件C=依题意，得PCAi=13ii=所以PB由（i）得，PB所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为PC由题意PCB≤12又因为0<α<19．(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）37【分析】（1）证法一：不妨设AB=a（2）（i）建系后设Bx1,y1,0，Dx2,y2,0，利用空间向量夹角公式推出x12−y12=3，x22−y22=3，利用其代表的轨迹双曲线的渐近线夹角进行证明；（ii）解法一：将问题等价转化为在平面直角坐标系【详解】（1）证法一：因为PA⊥平面γ，AB,A不妨设AB=a因为AB⊥AD，所以BD所以BD≤PB≤由余弦定理，得cos∠所以∠PBD证法二：因为PA⊥平面γ，AB,A又因为AB⊥AD，故可以A为原点，AB,AD,设AB=a,ABD⋅BDB⋅DPB⋅P所以△P证法三：因为PA⊥平面γ，AB,A又因为AB⊥ABP⋅BDB⋅DPB⋅P所以△P（2）（i）因为PA⊥γ，Q在CP由对称性知B,D在同一个轨迹上，且轨迹关于故以A为原点，AC,AP分别为x轴和设Bx1,y1,0因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，故AQ=故QC=1,0,-依题意得x1-1且x1−1>0，即x1>1，故x1≥3故在坐标平面xAy中，B,D是双曲线x2因为x2−y2=3的两条渐近线分别为y=因为平面PAB∩平面PAD所以∠BAD是二面角B（ii）解法一：因为△PBD证明如下：若△PBD为锐角三角形，有PB2可令a′=PB2则存在以A′B=由（1）知，若△PBD所以△PBD由（i）知，0<∠BAD<π所以PB⋅P因为PA⊥γ，所以∠PBA,∠不妨设AB≤AD，则α≥β，且且∠P作QM⊥BD于M，因为平面QBD⊥γ，平面Q所以QM⊥γ，又PA⊥因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M是线段AC上靠近所以M2,0,0所以∠PBD这样，问题等价于在平面直角坐标系xAy中，B(直线BD过点M(2,0)，如图，不妨设点B在第四象限，则y1<0，x1<即−y1>2−x1即x12−3>所以tan2当x1=1故tan2θ的最小值为解法二：因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以证明如下：若△PBD为锐角三角形，有PB2可令a′=PB2则存在以A′B=由（1）知，若△PBD所以△PBD作QM⊥BD于M，因为平面QBD⊥γ，平面Q所以QM⊥γ，又PA⊥因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M是线段AC上靠近所以M2,0,0在平面直角坐标系xAy中，设直线BD联立x2−y依题意，有t2−因为y1y2因为PB所以P=tBP同理DP不妨设x12+因为x1因为x1=ty1x=2所以22又因为x1>3因为PA⊥γ，所以∠PBA,∠因为x12+y12≤tan2当x1=1故tan2θ的最小值为解法三：因为△PBD证明如下：若△PBD为锐角三角形，有PB2可令a′=PB2则存在以A′B=由（1）知，若△PBD所以△PBD由（