北京市海淀区2025-2026学年第二学期期中练习高三数学+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U=xx−1<3A．x−2<C．x−1<2．已知等差数列an，a1=−1，aA．13 B．15 C．17 D．183．抛物线W:y2=8x的焦点为F，点A在W上，且A．2 B．52 C．3 D．4．若函数fx=lnx+A．−1 B．−12 C．05．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=πA．c<a<b B．b<a6．已知2−3x5=A．−10 B．10 C．−807．在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵H（单位：比特）的计算公式为H=log294l，其中l为密码长度.根据密码熵估计表，当l=8时，HA．78.6比特 B．86.4比特 C．99.0比特 D．104.8比特8．已知函数fx=ax2+bx,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知平行四边形的两个顶点为M−1,1,Pt,−A．−3,−1 B．1,310．已知平面上的点A1，A2，A3，A4，A1A2A．A1A5=A2A4 二、填空题11．若复数z满足zi+i=2，则12．已知双曲线C:x24−y25=1的左、右焦点分别为F1，13．设等比数列an的前n项和为Sn，若Sn+14．将函数fx=2x+ax（a≠0）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象位于f15．如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，以底面ABCD的中心O为原点建立空间直角坐标系O①1,1,②W被平面A′③W的体积大于4π④W表面上的点到点0,其中所有正确结论的序号是______.三、解答题16．已知函数fx=Asinω(1)求A、ω的值；(2)设gx=f17．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D(1)求证：EF/(2)从下列条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱ABCD−A条件①：A1条件②：EF条件③：EF与平面A注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表：学区甲乙性别男女男女达到预期260人200人240人190人未达到预期190人150人60人110人假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率.(1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率；(2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0.（i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望；（ii）记甲学区样本赋分的方差为s12，乙学区样本赋分的方差为s22，两学区所有样本赋分的方差为s32.比较19．已知椭圆E:x2a2(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，Mx0,y0为第一象限内E上的动点，点N在直线y=−2上，且OM⊥O20．设函数fx=x(1)当a=1时，求证：直线y=(2)求fx(3)判断函数gx21．对于正整数m，n（m≥3，n≥3），集合M=x,y1≤x≤m,1≤y≤n,x∈N(1)当m=n=(2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数；(3)若M的任意子集都有“同形点”，求mn答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学》参考答案题号12345678910答案BBCACCAADB1．B【详解】由x−1<3得−3因为A=xx2<2．B【分析】根据题意结合等差数列的下标和性质运算求解即可.【详解】因为数列an为等差数列，则a即−1+a3．C【分析】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得x0【详解】由题意可知：抛物线W:y2=8设Ax则AF=x所以线段AF中点的横坐标为x4．A【分析】利用奇函数的定义可得出关于a的等式，求出实数a的值，再结合奇函数的定义域验证即可.【详解】因为函数fx=ln即lna−x1−所以a2=1当a=1时，fx=lnx+此时函数fx当a=−1时，fx=lnx即函数fx的定义域为xx<综上所述，a=5．C【分析】分析可知0<C<B=π4【详解】因为B=π4，sin所以sinC<sin则0<C<所以A=π−B+因为A为钝角，B为锐角，所以cosA=bcosB=a6．C【分析】先求得二项展开式的通项，根据题意，得到−3【详解】由二项式2−3x当r=2时，可得因为2−所以−32a7．A【分析】通过对数运算法则对密码熵公式进行变形，利用已知条件求出单长度对应的熵值，进而计算出长度变化后的熵增.【详解】根据密码熵计算公式H=log2当密码长度l=6时，密码熵当密码长度l=18时，密码熵密码熵的增加量ΔH已知当l=8时，H≈52.4，即将log294≈6.55代入8．A【分析】取a=0，结合分段函数单调性可判断必要性不成立；分a>【详解】若a=0，则当b>0时，函数fx=bx在又因为函数fx在R上连续，此时函数fx在当b<0时，函数fx=bx在又因为函数fx在R上连续，此时函数fx在所以“fx在R上为单调函数”不能得到“a若ab<0，当a函数y=ax2、y=bx函数y=bx2、y=−a又因为函数fx在R上连续，故函数fx在当a>0且b<0时，函数y=ax2、函数y=bx2、y=−a又因为函数fx在R上连续，故函数fx在故“ab<0”⇒“f故“ab<0”是“f9．D【分析】根据题意，结合圆的性质，分MP<2【详解】由圆C:x2+y2=又由点M−1,1，①当MP若以MP如图所示，作与直线MP平行的直线，使得截得的弦长为M此时存在两条直线与圆C相交，可构成两个平行四边形，不符合题意；若以MP为平行四边形的一条对角线时，可得MP的中点过Q点作直线MP的垂线，此直线与圆C有两个公共点A此时点Q分别是MP和AB的中点，所以四边形综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意；②当MP≥4要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足MP≥4由MP≥42，可得t+又由Q在圆内，可得(t−12)所以3≤t<5，所以实数10．B【分析】根据数量积的定义分析可知A1A2=A3A4，A2A3【详解】因为A1则A1又因为∠A1A2A设A1A2=A3A4=若A4a−可得A1A5=b若a=b，则若A4a−可得A1A5=−则A1A5若b=2a若A4−2可得A1A5=−则A1若A4−2可得A1A5=−综上所述：不可能成立的是B.11．1+2【详解】∵zi+i=∴z∴z12．7【分析】根据方程可得a,【详解】由题意可知：a=2，b=由双曲线定义可得PF1−PF2=且PF1+13．2【分析】根据前n项和定义可得an【详解】因为Sn+2显然an≠0，则an+14．2（答案不唯一）2【分析】先得出变换后的函数解析式，得出ax+1−x+2x+2>0对于∀x∈R恒成立，先分x【详解】由题意可得，平移后的图象的函数解析式为gx因为gx的函数图象位于fx图象的上方，所以gx即2x则ax+1令hx若x≤−1则a<2x因为2x+2若x≥0，则则a>−2因为2x+2∈3当0<a≤则hx由于hx在−1,若−3<a<0令mx=2因为y=2−所以y=则m'x>0，则mx故−1a≥13因为a≠0，所以实数a的取值范围为故a的一个取值为2，a的最大值为2.15．②③【分析】对于①，直接验证该点不满足集合条件；对于②，证明截面为上底面正方形即可得到面积；对于③以z=1为分界将W分为上下两个部分考虑，并分别构造一个包含在其中的多面体和圆锥，再证明这两个几何体的体积和大于4π【详解】对于①，因为12+1对于②，W被平面A′B′C′而当x,y∈[-对于③，考虑集合U=z∈[0,1同时当z∈[0,1]时有x2+y设W与正方体四个侧面的交点分别为E,F,因为EOG,FOH都是抛物线，方程分别为x2显然W在z∈[0,1对于z∈[1,2]时，取多面体（比如A'EB'方程为x2该多面体可以看作一个四棱柱切去四个角得到的几何体，体积为22所以W的体积大于π3对于④，W的表面上的点即为满足x2+y2=对于前者，点x,y,z到0,0,可取得最小值122-12+116．(1)A=1(2)k【分析】（1）求出函数fx的最小正周期，可求出ω的值，再利用f0=（2）利用三角恒等变换化简函数gx的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出关于x的不等式，即可解得函数g【详解】（1）因为函数fx=A故函数fx的最小正周期为T=2πω又因为f0=A（2）因为g=1由2kπ−故函数gx的单调递增区间为k17．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）连接CE，利用线面平行的判定定理，分别证得CE//平面ADD1A1和CF/（2）选择条件①时，无法确定四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高，不满足唯一性；选择条件②和③，根据题意，求得直四棱柱AB【详解】（1）连接CE，因为E为AB的中点，且AB又因为CD=1且AB/所以四边形AECD因为CE⊄平面ADD1所以CE//又因为CF//DD1，且CF所以CF//因为CE∩CF=所以平面CEF/又因为EF⊂平面CEF，所以（2）若选择条件①：A1在四棱柱ABCD−A此时无法确定四棱柱AB若选择条件②：EF因为AB由余弦定理得BD所以AD2+以D为原点，以DA,D如图所示，设四棱柱ABCD可得D(因为E,F分别为AB可得EF因为EF=2，可得E所以D则D1设平面D1EF则n⋅取y=3，可得x=取平面ADD1设平面D1EF与平面A可得cosθ所以平面D1EF与平面A若选择条件③：EF与平面ABC连接CE，在直四棱柱ABCD−所以∠FEC为直线EF与平面因为CE=AD=因为F为CC1的中点，所以CC所以D1则D1设平面D1EF则n⋅取y=3，可得x=又因为平面ADD1设平面D1EF与平面A可得cosθ所以平面D1EF与平面A18．(1)23(2)（i）293；（ii）【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件A，（2）（i）由表格中的数据得，分别求得男、女教师达到预期的概率为p1=23和p2（ii）分别求得甲、乙学区赋分为5的概率为2340和4360，以及所有样本赋分为5的概率为89140【详解】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件A，由表格中的数据，甲学区教师的总人数为260+其中评价为“达到预期”的人数为260+所以P(A)（2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为p1女教师达到预期的概率为p2根据题意，随机变量X的可能取值为0,可得P(P(P(P(所以随机变量X的分布列为：X051015P21144所以期望为EX（ii）甲学区赋分为5的概率为460800=0.575两个学区所有样本赋分为5的概率为460+赋分数据为0或5时，其样本方差为s2由s′s′22因为0.244375>0.2315816>又由s12=19．(1)x(2)2【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E的标准方程；（2）求出直线OM的方程，可得出直线ON的方程，可得出点N的坐标，对直线MN的斜率是否存在进行分类讨论，在直线MN的斜率不存在时，求出点B的坐标，可得出AB的值；在直线MN的斜率存在时，求出直线MN【详解】（1）由题意可知椭圆E的左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为12由已知条件可得bc=3所以椭圆E的方程为x2（2）因为点Mx0,y0因为OM⊥ON，所以直线因为点N在直线y=−2若直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，则即2y02+y0−所以直线OM的方程为y=32x，直线AB的方程为当直线MN的斜率存在时，k因为AB⊥M联立y=2y则y=y0所以A=12所以AB综上所述，AB20．(1)证明见详解(2)当a>0，函数fx的单调递减区间为−当a<0时，函数fx的单调递减区间为(3)gx【分析】（1）代入求导，分析可知当且仅当x=0时，f′（2）求导，分a>0和（3）求导，分a>0和a<0两种情况，结合（2）中fx【详解】（1）若a=1，则fx=x令f′x=2x−1且f0=0，则y=f所以直线y=0是曲线（2）因为fx=x令f′x=0，解得若a>0，由ax+1>0解得x当x>0时，f′x>可知函数fx的单调递减区间为−1a若a<0，由ax+1>0解得x当0<x<−1a时，可知函数fx的单调递减区间为−∞,综上所述：当a>0，函数fx的单调递减区间为−当a<0时，函数fx的单调递减区间为−（3）gx因为g′x=若a>0，则fx当x>0时，f′x>0；当且函数fx的单调递减区间为−1a,0即g′x≥0，可知gx若a<0，则fx当0<x<−1a时，f′且函数fx的单调递减区间为−∞,0，单调递增区间为即g′x≥0，可知gx综上所述：gx21．(1)(1(2)mn(3)21.【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可；（2）分i<m,j<n、（3）讨论存在xk=3【详解】（1）(1当“同形点”为(1,2此时a,b,当“同形点