隐形圆之最大张角-初中-数学-教学设计

隐形圆之最大张角杨娜西安铁一中滨河学校课本母题：（北师大版九年级下册81页）船在航行过程中，船长通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”。当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有怎样的大小关系？模型分析如图，两定点A、B在∠MON的边OM上，另一个动点P在ON上运动，如图，两定点A、B在∠MON的边OM上，另一个动点P在ON上运动，P点在何处∠APB最大?证明：作⊙H,使得⊙H经过A,B，且与ON相切点P,此时∠APB最大，理由如下：证明：作⊙H,使得⊙H经过A,B，且与ON相切点P,此时∠APB最大，理由如下：设P1是边ON上不同于点P的任意一点，连接AP1，BP1，设AP1交圆H于点Q，连BQ,则∠APB=∠AQB,∠AQB＞∠AP1B∴∠APB＞∠AP1B∴∠APB最大米勒定理（最大张角）：米勒定理（最大张角）：当且仅当三角形ABP的外接圆与边ON相切于点P时，∠APB最大此时有OP2=OB×OA（△OBP∽△OPA）（2）特别地，若两定点A、B在OM上，另一个动点P在NL上运动，且OM∥NL,P点在何处∠APB最大?当且仅当三角形ABP的外接圆与边LN相切于点P时，∠APB最大。当且仅当三角形ABP的外接圆与边LN相切于点P时，∠APB最大。此时PA=PB二、例题讲解例1、如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点．当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求出点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由．对应练习一、如图，矩形ABCD中,AB=3，BC=4，E为BC的中点，点P是BD上的一个动点，当∠EPC最大时，请求出△APD的面积。如图，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12．在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．对应练习二、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在AD上，连接BP，则sin∠BPC的最大值为_________。三、走进中考1、【问题探究】（1）如图1，以BC为直径的圆与直线l相切于点A，点D是直线l上异于点A的任意一点，则∠BAC∠BDC.（请用＞，＜或＝连接）．（2）如图2，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=，，BC=7，CE=2，在AD上是否存在一点M，使得∠EMC最大，请求出此时的和AM的值.【解决问题】如图3，四边形ABCD是一个鲜花培育基地，在铁架CD上种植了大量的玫瑰花，工作人员想在对面墙AB上找一点M，并架设一个横杆MN，使得MN//BC，且MN=2，在点N处安装一个植物补光灯，对CD段的玫瑰花进行补光（点A、B、C、D、M、N在同一平面内）。为了让光照更充足，必须使∠CND最大。已知AB=，∠A=90°，∠B=45°，CD⊥BC，CD=4，请问能否找到一个点M，从而确定点N，使得∠CND达到最大？若存在，请求出此时BM的长和sin∠CND的值，如果不