2023年北方民族大学数学与应用数学复变函数试题及答案

北方民族大学大学考试题

成绩

课程复变函数(A)

系别考试日期2023年7月5日

专业班号_____________________

姓名学号期中□期末口

一.填空(每题3分，共30分)

1.3,=_______________________

2.Z。:0是函数/(z)=『口

(说出类型，假如是极点，则要阐明阶数)

3./(z)=Xs+3x2yi-3肛?_,则/⑶=

4，R"%inz，°l=_______________________

5.函数卬=5m2在2=工处H勺转动角为

4--

6.品级数£(cosi〃)z”的收敛半径为R=

〃=0

7.「zsinNz=

Jo----------------------

1

8.设C为包围原点在内时任一条简朴正向封闭曲线，则,》=

9.函数/(z)=——在复平面上的所有有限奇点处留数的和为

z—1

10.

J{―2—冬2—=

3(Z+D(Z+4)-------------------------

吟

二.判断题(每题3分，共30分)

1.f(z)=Iz"在z=O解析。【】

2.f(z)在z0点可微,则/(z)在Z。解析。[]

3.，(z)=e二是周期函数。【】

4.每一种第函数在它的收敛圆周上到处收敛。【】

5.设级数名c”收敛，而力|c”|发散，则£c”z"的J收敛半径为1。【]

”=0〃=0n=0

6.匕11(3能在圆环域0<|2|</?(0〈/?〈+8)展开成洛朗级数。【】

Z

7.n为不小于1的正整数，Lnz"=/iLnz成立。[]

8.假如函数。=/(z)在z()解析，那末映射。=/(z)在z°具有保角性。【】

aa

9.假如〃是。内口勺调和函数，则f=4i=是。内H勺解析函数。【

oxcy

1

10.f——!--dz=[——dz=2TVI1.=27rzo[]

2J2Z-，

J3Z（Z-1）3Z-lZ

呜Ul=1

三.（8分）u=""siny为调和函数，求〃的值，并求出解析函数/（z）=〃+/l。

四.(8分)求f(z)=「刀在圆环域lv|z|<2和1v|z-2|v+8内H勺洛朗展开式,

五.(8分)计算积分「"『cos"dx.

j-oor+4x+5

a2

六.(8分)设/(z)=j3鼠+7G+ld',其中C为圆周Iz|=3日勺正向，求r(l+i)。

c1

七.(8分)求将带形区域｛z|0<Im(z)<a｝映射成单位圆日勺共形映射。

复变函数与积分变换（A）的参照答案与评分原则（2023.7.5）

一.填空(各3分)

1."""小3；2.三级极点；3.3z?；4.0；5.0；6.4；7.二二；8.0；

e(.尸+1)3

9.0；10.—[---!---+----!---+而3-2)+而3+2)]。

2j(①-2)，(0+2)

二.判断1.错；2.错；3.对日勺；4.错；5.对的；6.错；7.错；8.错；9.对时；10.错。

三(8分)解：1)在1V|N|V2

1110071oc18-n+\1

/(z)=z(—^-―7)=z(-Q力(5)“工£(?")=-E(^7F+-7)--4分

z-2z—lLn=02z”=oz,i=o2z

2)在l<|z-2|<8

/(z)=—(1+—!—)=—(!+

一4分

z-2z-2+1z-2…T)

四.（8分）解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有

一种一级极点-2+i,故

-----dx=2mRes\-----2+z]-----3分

x+4x+5z+4z+5

=2mlim(z-(-2+/))—.-----=—(cos2-zsin2)-----6分

z-*-2+jz~+4z+5e

,,l2cosx.i严ea,27r_

故—5-------=2Rc—----------dx=——cos乙.....8分

j-8£+4丫+5J+4x+5e

五.（8分）解：广⑶二产：7子心.—3分

c（J一）

由于1+i在|Zb3所围日勺圆域内，故

r（1+/）=f与了：加=2加（3r+7J+1）'0+i=2%（—6+13/）---8分

六.（8分）解:运用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射，可以得到

n

一工

/⑵二一二一1（映射不唯一，写出任何一种都算对）

七.（8分）解:对方程两端做拉氏变换：

/丫⑸_»（o）_y（o）+（$y⑸-y（0：i）-3Y（s）=--

s+1

—+1

代入初始条件，得Y（s）=———....4分

s~+2s-3

35]

=+____!____=li+J_+J_

（s+l）（s+3）（s-l）（s+3）（s-l）s+15-1s+3

35I

故，+-er+-e-y,-----8分（用留数做也可以）

488

复变函数（A）的参照答案与评分原则（2023.7.5）

一.填空（各3分）1.二履+加3；2.三级极点；3.3z2；4.0；5.0；6.-；7.sinl-cosl；

e

8.0：9.0；10.Oo

二.判断1.错；2.错；3.对时；4.错；5.对的；6.错；7.错；8.错；9.对的：10.钻。

三.（8分）解:由于y=*5y是调和函数，则有

会2a2

^-4+-^―r=0,即p?e"'siny-epvsiny=(p2-\)epxsiny=0故〃=±1.....2分

dx'dy

1)当〃=1时，v=exsiny,由CR方程,

6〃du

—=—=excosy,则心,y)=excosy+g(y),又由

exdy

==_/siny+g'(y)=_—=_/siny,故g'(y)=O,因此g(y)=c

dydx

则f(z)=e:+c3分

2)当〃二-1时，v=esiny,由C-R方程,

「'cosy,则〃(“,)，)=-"'cosy+g(y),又由

dxdy

dudu

=e~xsiny+gr(y)="-=exsiny,故g'(y)=0,因此g(y)=c

dx

贝ij/(z)=-e-2+c

四(8分)解：1)在1v|n|v2

11)=心(步冠)〃T(9+f—4分

/(z)=z(

z-2z-1乙〃=0乙Z”0Z〃=0乙z

2)在l<|z-2|V8

1

/⑶二才+)=-+-------------

z-2+1z-2(z-2)(l+-!-)

z-2-4分

1+S(-D"1

(z-2)n+2

z-2〃二0

五.（8分）解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有

一种一级极点-2+i,故

dx-2力Rcs[-2+i]