平行四边形课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2平行四边形第二十一章四边形21.2平行四边形第1课时平行四边形的性质(1)第二十一章四边形知识点

平行四边形的定义(也是判定)：两组对边分

别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“▱”

表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”.典例1

『真实情境』如图，某停车场划出的四个车

位，已知AB∥CD，AC∥EF∥HG∥IJ∥BD，则图

中共有平行四边形

个.10

知识点

平行四边形的性质1：平行四边形的对边相

等.平行四边形的性质2：平行四边形的对角相等.典例2

(教材P56探究)已知：四边形

ABCD

是平行四边形.求证：AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC.

证明：如图，连接AC.

答图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴∠BAD＝∠BCD.

又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA(ASA).∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC.

变式2

(教材P57练习T1∙改编)如图，在▱ABCD中，(1)已知AB＝5，BC＝3，求另外两边的长；(2)已知∠A＝38°，求其余各内角的度数.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝3.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.

∴∠B＝180°－∠A＝142°，∠C＝∠A＝38°.∴∠D＝∠B＝142°.又∵∠A＝38°，

证明平行四边形的对边相等，对角相等的方法：先

将四边形转化为三角形，通过三角形的全等证明.知识点

平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分.典例3在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝8，BD＝14.(1)若AD＝9，则△OAD的周长为

⁠；(2)若AB＝6，求△OCD的周长.20

∴△OCD的周长＝OC＋OD＋CD＝4＋7＋6＝17.变式3如图，在▱ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O.

若△AOB的周长为32，AB＝12，求对角线AC与BD的和.解：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AC＝2AO，BD＝2BO.

∴AO＋BO＋AB＝32.∴AO＋BO＝20.∴2AO＋2BO＝40.∴AC＋BD＝2AO＋2BO＝40.∵△AOB的周长为32，∵AB＝12，知识点

平行四边形的面积计算：平行四边形的面积＝底×高.典例4

(教材P57例1∙节选)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.

求▱ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8.∴△ABC是直角三角形.根据勾股定理，得

∴S▱ABCD＝BC∙AC＝8×6＝48.∵AC⊥BC，变式4如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，OA＝5cm，OB＝3cm，求▱ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝3cm.∴BD＝6cm.

∴S▱ABCD＝AD∙BD＝4×6＝24(cm2).

1.

如图，在▱ABCD中.(1)若∠A＝120°，则∠B＝

°，∠C＝

°，∠D＝

°；(2)若∠A＋∠C＝210°，则∠A＝

°，∠B＝

°；(3)若AB＝3，BC＝5，则它的周长＝

⁠.601206010575162.

如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是

(

D

)A.

AB＝ADB.

AO＝BOC.

AD＝CDD.

AO＝COD3.

如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相

交于点O，AC＋BD＝22，求△BOC的周长.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BD＝2OB，BC＝AD＝10.∵AC＋BD＝2OC＋2OB＝2(OC＋OB)＝22，∴OC＋OB＝11.∴△BOC的周长＝OC＋OB＋BC＝11＋10＝21.

4.

(教材P57练习T3)如图，将两张对边平行的纸条交叉

叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中

一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？解：AD＝BC.

理由如下：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC.

5.

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，

∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则▱ABCD的面积

为

⁠.2421.2平行四边形第2课时平行四边形的性质(2)第二十一章四边形知识点

在平行四边形中，过对角线交点成“X”型

的两个三角形全等典例1

(教材P58例2∙改编)如图，▱ABCD

的对角线

AC，BD

交于点O.

过点

O作直线

EF，分别交

AB，CD

于点

E，F.

求证：OE＝OF.

证明：∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴AB∥CD，

OD

＝

OB.

∴∠ODF

＝

∠OBE，∠DFO

＝

∠BEO.

∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴

OE＝OF.

变式1如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于

点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于

点E，F.

求证：AE＝CF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD.

∴∠AEO＝∠CFO.

∴△AOE≌△COF(AAS).∴AE＝CF.

知识点

两条平行线之间的任何两条平行线段都相等典例2如图，a∥b，c∥d，AD＝2，求BC的长度.证明：∵a∥b，c∥d，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BC＝AD＝2.证明：∵a∥b，c∥d，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BC＝AD＝2.知识点

两条平行线之间的距离(1)性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点

到另一条直线的距离都相等.(2)概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条

直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.典例3如图，直线a∥b，D，C为直线a上任意两

点，点D到直线b的距离和点C到直线b的距离相等吗？证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE∥CF.

又∵a∥b，∴四边形CDEF是平行四边形.∴DE＝CF.

证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE∥CF.

又∵a∥b，∴四边形CDEF是平行四边形.∴DE＝CF.

变式3如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.

求证：AE＝CF.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AD＝BC.

∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴DE，BF的长都是平行线AB，CD之间的距离.∴DE＝BF.∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL).∴AE＝CF.

又∵AD＝BC，

1.

如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE＝AD，连接CE交AB于点F.

求证：EF＝CF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.

∴∠E＝∠BCF.

∵AE＝AD，∴AE＝BC.

∴△AEF≌△BCF(AAS).又∵∠AFE＝∠BFC，∴EF＝CF.

2.

如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E.

若AB＝8，BC＝6，求EC的长.解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BC＝6，∴AB∥DC，DC＝AB＝8，AD＝BC＝6.∴∠AED＝∠EAB.

∴∠EAD＝∠EAB.

∴∠AED＝∠EAD.

∴DE＝AD＝6.∴EC＝DC－DE＝8－6＝2.∴EC的长为2.∵AE平分∠BAD，

3.

(教材P66习题T9∙改编)如图，直线l1∥l2，则关于

△ABC与△DBC的面积，下列说法正确的是(

C

)A.

S△ABC＞S△DBCB.

S△ABC＜S△DBCC.

S△ABC＝S△DBCD.

无法确定C4.

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝6，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动.连接PO并延长交BC于点Q.

设点P的运动时间为t秒.(1)求证：AP＝CQ；(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC.

∴∠PAO＝∠QCO.

∵∠AOP＝∠COQ，

∴△AOP≌△COQ(ASA).∴AP＝CQ.

(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值.4.

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝6，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动.连接PO并延长交BC于点Q.

设点P的运动时间为t秒.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6.由题意，得AP＝CQ＝t，BQ＝6－t.∵四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ.

∴t＝6－t，解得t＝3.∴当四边形ABQP是平行四边形时，t的值为3.

①②③④

21.2平行四边形第3课时平行四边形的判定(1)第二十一章四边形知识点

平行四边形的判定1(定义法)：两组对边分别

平行的四边形是平行四边形.典例1

(教材P60练习T1)如图，在四边形ABCD中，

∠ADB＝∠CBD，∠C＋∠ABC＝180°，四边形

ABCD是平行四边形吗？请说明理由.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.

∵∠C＋∠ABC＝180°，∴AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形.变式1如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＋

∠D＝180°.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠C＋∠D＝180°，∴AD∥BC.

又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠C＋∠D＝180°，

又∵AB∥CD，∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.知识点

平行四边形的判定2：两组对边分别相等的

四边形是平行四边形.典例2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝

∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形.

∴△ABC≌△CDA(AAS).∴AB＝CD，BC＝DA.

∴四边形ABCD是平行四边形.变式2

(教材P61练习T2∙改编)如图，AB＝DC＝EF，

AD＝BC，DE＝CF.

图中有哪些平行四边形？解：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DE＝CF，DC＝EF，∴四边形DCFE是平行四边形.解：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DE＝CF，DC＝EF，∴四边形DCFE是平行四边形.知识点

平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.典例3如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C.

求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵AB∥CD，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.

∴四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠A＝180°.变式3如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，

∠DCA＝∠CAB，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACB.

∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA，即∠DAB＝∠DCB.

∴四边形ABCD是平行四边形.又∠B＝∠D，

1.

如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，

已知AD＝8cm，AB＝4cm，当BC＝

cm，CD＝

cm时，四边形ABCD是平行四边形.842.

如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求

证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.

∵∠3＝∠4，∴AD∥BC.

∴四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD.

∴AD∥BC.

3.

如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，∠1＝∠2.求证：四边形AECF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.

又∵∠1＝∠2，∴∠B＋∠1＝∠D＋∠2，∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2，即∠AEC＝∠AFC，∠EAF＝∠ECF.

∴四边形AECF是平行四边形.

4.

在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数

之比如下，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是

(

C

)A.

1∶2∶3∶4B.

2∶2∶3∶3C.

2∶3∶2∶3D.

4∶3∶3∶2C5.

如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.

(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是

⁠

⁠；(2)利用你添加的条件，求证：四边形AECF为平行四边形.AF∥CE(答案不唯一)

(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.

∴四边形AECF为平行四边形.又∵AF∥CE，

6.

(教材P62练习T3)如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？答图解：如图所示.∵六个三角形是全等的正三角形，∴OA＝EF，AF＝OE.

∵两组对边分别相等，∴四边形AOEF为平行四边形.同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形

BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形.∴共有6个平行四边形，依据是两组对边分别相等的四边

形是平行四边形.21.2平行四边形第4课时平行四边形的判定(2)第二十一章四边形知识点

平行四边形的判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形.典例1

(教材P60例4∙改编)如图，在四边形ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，四边形BFDE是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵四边形BFDE是平行四边形，∴OE＝OF，OB＝OD.

∴OE＋AE＝OF＋CF，即OA＝OC.

∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AE＝CF，变式1

(教材P61练习T3)如图，▱ABCD的对角线

AC，BD相交于点O，且E，F分别是OA，OC的中

点，连接DE，DF，BE，BF.

求证：四边形DEBF是

平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.

∵E，F分别是OA，OC的中点，

∴四边形DEBF是平行四边形.知识点

平行四边形的判定5：一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形.

注意：“

”表示平行且相等.典例2

(教材P62例5∙改编)如图，在平行四边形ABCD

中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE.

求证：

AE╩CF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD╩BC.

∵DF＝BE，∴AF＝CE.

∴四边形AECF是平行四边形.∴AE╩CF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD╩BC.

∴四边形AECF是平行四边形.∵DF＝BE，∴AF＝CE.

∴AE╩CF.

变式2

(教材P66习题T8)如图，四边形AEFD和四边

形EBCF都是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行

四边形.证明：∵四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边

形，∴AD╩EF，BC╩EF.

∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD╩BC.

1.

如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于

点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的

是(

C

)A.

AB∥CD，AD∥BCB.

OA＝OC，OB＝ODC.

AD＝BC，AB∥CDD.

AB＝CD，AD＝BCC2.

如图，四边形ABCD中，AB＝DC，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.

连接BE，DF，若BE＝DF.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

∴△AEB≌△CFD(SSS).∴∠EAB＝∠FCD.

∴AB∥DC.

∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB＝DC，3.

如图，已知点O是▱ABCD的对角线AC的中点，过

点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F.

求证：四边

形AECF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.

∴∠OAB＝∠OCD，∠OEA＝∠OFC.

∵O是AC的中点，∴OA＝OC.

∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE＝OF.

∴四边形AECF是平行四边形.

4.

如图，已知AC∥DE且AC＝DE，AD，CE相交于点B，AF，DG分别是△ABC，△DBE的中线.求证：四边形AGDF是平行四边形.证明：∵AC∥DE，∴∠C＝∠E.

∴△ABC≌△DBE(AAS).∴BC＝BE，AB＝DB.

∵AF，DG分别是△ABC，△DBE的中线，

∴四边形AGDF是平行四边形.5.

【核心素养∙推理能力】如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm.点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向点B运动，两个点同时出发，在运动多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？解：设运动时间为t秒.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm.当点Q在BC上，且PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则12－t＝12＋8－3t.解得t＝4.∴运动4秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.21.2平行四边形第5课时三角形的中位线第二十一章四边形

证明：如图，延长

DE

到点

F，使得

EF＝DE，连接AF，FC，DC，

答图∵E是AC的中点，∴AE＝CE.

∵EF＝DE，∴四边形

ADCF

是平行四边形.∴AD＝CF，CF∥AB.

∴AD＝BD.

∴CF＝BD.

又∵CF∥AB.∴四边形

DBCF

是平行四边形.∴BC＝DF，DE∥BC.

∵D是AB的中点，知识点

三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中

位线.(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且

等于第三边的一半.典例1如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的

中点.(1)若DE＝2，则BC＝

⁠；(2)若∠B＝45°，则∠ADE＝

°.4

45

变式1如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分别

是边AB，AC的中点，若DE＝4，AC＝10，则AB的

长为

⁠.6

典例2如图，在△ABC中，DE是一条中位线，连接BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若BF＝4，求CB的长.(1)证明：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.

又∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形.(2)解：∵四边形BEDF是平行四边形，BF＝4，

∴DE＝BF＝4.∴BC＝