2023届北京市师范大学某中学高考数学试题必刷模拟卷

2023届北京市师范大学附属中学高考数学试题必刷模拟卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，不是三棱柱展开图的是()

2.已知出1=2,若则向量o+b在向量方方向的投影为()

717

B.-C.——D.——

2222

I.71

已知向量。=(3sinx,-2),/?=(l,cosx),当玲JL6时,cos2x+—

3.[2J()

121266

B.—D.—

13131313

4.己知函数=,关于x的方程/(x)=〃存在四个不同实数根,则实数〃的取值范围是()

A.(0,1)U(1,e)B.[0,-

Ie

C.D.(0,1)

5.已知数列{q}为等差数列，S”为其前九项和，4+%=%+4。，则5]=()

A.7B.14C.28D.84

6.集合4={%,2一工一2工0},Z?={x|x-l<0},则A|JB=()

A.卜k<1}B.|x|-l<X<l}

C.{x|x<2|D.{x|-2<x<1}

x-4y+4<0

7.在平面直角坐标系中，若不等式组2工+y-10W0所表示的平面区域内存在点(事,兄)，使不等式M+WYO+Iw。

5x-2y+2^0

成立，则实数〃，的取值范围为（）

A.（-00,-1]B.（f-；]C.[4,-KC）D.（-oo,-4]

8.已知（x+a）s展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则V项系数为（）

A.10B.32C.40D.80

9.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为后的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该

几何体的体积为（）

俯视图

A.延B.4GC.毡D.26

33

10.在复平面内，复数z='（i为虚数单位）对应的点位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限I）.第四象限

22

11.已知椭圆£+3=1（々>力>0）的左、右焦点分别为4、尸2,过”的直线交椭圆于A,B两点,交『轴于点M,

若人、M是线段A5的三等分点，则椭圆的离心率为（）

A.1B.正C.毡D.更

2255

12.已知命题P：VXGsinx<1,则-/）为（）

A.sinx0>1B.YXGR,sinx'l

C.lr0GZ?,sinxu>1D.VXG??,sinx>l

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在面积为直的AABC中，ABAC=26若点M是A8的中点，点N满足AN=2NC，则BN-CM的最

2

大值是______.

14.（1+、G）"展开式中的系数的和大于8而小于32,贝心=.

15.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体），观察向上的点数，则

事件“点数之积是3的倍数”的概率为一.

16.平面直角坐标系中,O为坐标原点，己知A（3,1）,B（-1,3）,若点C满足OC=aOA+/3OB，其中&用£R,且。邢=1,则点

C的轨迹方程为一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%,则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖

生猪的相关数据如下表所示：

月份1月2月3月4月5月6月7月8月

月养殖量/千只33456791012

月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1

生猪死亡数/只293749537798126145

（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；

（2）根据1月到8月的数据，求出月利润了（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.

（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该

月利润约为多少万元？

附：线性回归方程/，=2+加中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：/；=e------------------,a=y-bx

/=1

参考数据：=46（比”=379.5.

J=11=1

18.（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计

学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取〃名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）

的数据如下：

一周课外

合

读书时间@2](24](4,6](68](8,10](10,12](14,16](16,18]

计

/h

频数4610121424a4634n

频率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

（I）根据表格中提供的数据，求〃，〃的值并估算一周课外读书时间的中位数.

（2）如果读书时间按（0,6],（6,12],（12,18]分组，用分层抽样的方法从〃名学生中抽取20人.

①求每层应抽取的人数：

②若从(06］,(6,12］中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.

19.(12分)某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X的分

布列为：

X234

P0.4ab

其中()</?<1

(I)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

(D)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，则商场获得

利润15。元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为y(单位：元)

(i)求y的分布列；

(n)若p(yv300)N0.8,求y的数学期望£(y)的最大值.

20.(12分)在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名

男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参

加学校的挑战答题比赛.

(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；

(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.

21.(12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)二二十血°,

2

(1)求f(x)的最小值；

(2)对任意xw(0,+8),/Q)Ng(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；

12

(3)证明：对一切xe(0,+8),都有InxAy一-成立.

eex

22.(10分)设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若〃向=2S”+l(〃wN.)

(I)求数列伍”｝的通项公式；

(n)在4和之间插入〃个实数，使得这〃+2个数依次组成公差为〃的等差数列，设数列｛十｝的前〃项和为Tnt

求证：［、<2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.

【详解】

由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.

2、B

【解析】

由|3=石，g|=2na.》=3,再由向量〃+〃在向量方向的投影为丝出出化简运算即可

助

【详解】

'；aL\a-b\?.a\a-b\=a-ab=3-ab=O,:.ab=3.

_(a+b)b_ab+b_3+4_7

；•向量在向量〃方向的投影为|a+"cos,+〃」“

阳-助

故选：B.

【点睛】

本题考查向量投影的几何意义，属于基础题

3、A

【解析】

2tanx

根据向量的坐标运算，求出tanx,cos2x+,即可求解.

tan2x+l

【详解】

2

G工b，4b=3sinr-2cos.r=0,/.tanr=—

2sinxcosx

2x+—=-sin2x=-

2jsin2.r+cos?x

2tanJV_12

tan2A+113

故选:A.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.

4、D

【解析】

原问题转化为二—〃二二1有四个不同的实根，换元处理令尸对g(f)=/〃产一右卜一”进行零点

ayJa\Jaa\Jakt)

个数讨论.

【详解】

x

由题意，o>2,令1=丁,

X-x1x/x

则/(x)=aoxx-ln-=ao———T="—f=In—=1

yja->Jaci

记g(/)=Inr-

当t<2时，g(/)=2加(-/)-4a(f--)单调递减，且g(-2)=2,

又g(2)=2,・,•只需g(/)=2在(2,-He)上有两个不等于2的不等根.

则加产_=()—=■，

r-1

记…碧

02且#2),

—1.

2(37--bit

贝ij//(力(2bu+2)^t2-\)-4rlnt〃+1

(r-1)-a2-i)2

令伊⑺=4_碗，贝小⑺=2/(r+1)-2/(r-l)_i=_(^_i)^<2

r+1(f+1)tr(/2+l)2

t~—I

,>>(2)=2,：.(p(/)=--------Im在(2,2)大于2,在(2,-bx)上小于2.

厂+1

・••〃(/)在(2,2)上大于2,在(2,+oo)上小于2,

则〃(/)在(2,2)上单调递增，在(2,收)上单调递减.

由〃"2婴=〃〃?也±2=],可得&V],即4V2.

，实数。的取值范围是(2,2).

故选：D.

【点睛】

此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.

5、D

【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到4=4,利用求和公式和等差中项的性质，即得解

【详解】

,・・4+%=4+40，

4+41-6d=a{X-5d+au-d

解得沏=4.

.&=*马2=2。=84.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

6、C

【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.

【详解】

解得集合4={x|(x-2)(x+I)<0}={x|-l<x<2}tB={x\x<l}

所以478=卜卜42},故选C.

【点睛】

本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.

7、B

【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数/+，〃%+14。恒过。（-1,0）,再分别讨论〃?的正负进一步确定目标函数

与可行域的基本关系，即可求解

【详解】

作出不等式对应的平面区域，如图所示：

其中A（2,6）,直线x+殁+1=0过定点D（-l,0）,

当，〃=0时，不等式x+IWO表示直线x+l=0及其左边的区域，不满足题意;

当机>0时，直线x+〃r+i=o的斜率一"!"<0,

m

不等式x+〃?.y+IK0表示直线x+〃?.y+l=0下方的区域，不满足题意；

当初〈（）时，直线工+my+l=。的斜率--->0,

m

不等式x+my+1<0表示直线x++1=。上方的区域，

要使不等式组所表示的平面区域内存在点（天,比），

使不等式4+玖%+1<。成立，只需直线1+〃少+1=0的斜率—解得〃?4一■!■.

m2

综上可得实数〃?的取值范围为,

故选；B.

【点睛】

本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题

8、D

【解析】

根据二项式定理通项公式刀…可得常数项，然后二项式系数和，可得。，最后依据4“=G；〃7i，可得

结果.

【详解】

r5r

由题可知：T^=Csxa-

当r=0时，常数项为7；=/

又（x+展开式的二项式系数和为25

由"==4=2

所以7；*二C；42~

当r=2时，7；=C^X223=80X2

所以/项系数为80

故选：D

【点睛】

本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.

9、B

【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V=^-x2x^x4=4>/3.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

10、C

【解析】

化简复数为4+/方（4、。£尺）的形式，可以确定z对应的点位于的象限.

【详解】

解：复数二=一=，^=-（2"/）=_|_2，

故复数二对应的坐标为位于第三象限

故选：C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题.

11、D

【解析】

根据题意，求得AM,4的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，加点为A"中点，”为8W中点，

故可得.年+4=2知=0,故可得x.=c；

「2丫2I2I2

代入椭圆方程可得二十二=1,解得>=±幺，不妨取以=幺，

a~b~aa

(b2}

故可得A点的坐标为c,一,

Va

(L2\(、

则M0,—,易知3点坐标-2c,一丁；，

将3点坐标代入椭圆方程得/=5c?,所以离心率为正，

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A点的坐标，属中档题.

12、C

【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.

【详解】

全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题YxeR,sinx<l,

—)/?:3x(lGR,sinx0>1.

故选：C.

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

]3、--2x/6

3

【解析】

由任意三角形面积公式与A8-AC=2G构建关系表示HHIHCI，再由己知与平面向量的线性运算、平面向量数量积

的运算转化3N,CM，最后由重要不等式求得最值.

【详解】

由』ABC的面积为如得|4"||AC|sinNBAC=YB,

222

所以H4|MC|sinNR4C=",①

又A8-AC=2百，即H"IHC|COSN8AC=2",②

由①与②的平方和得：H5||AC]=3五，

又点,M是八5的中点，点N满足4V=2NC，

所以BNCM=（8A+AN）（C4+4M）=（-A8+：AC.1-4C+；A8）

4——V2—*2I・2

=-ABAC——AC——AB'

332

8V32--21—2873c/2—21—280、7

3323V323

当且仅当2AC?=，人/=A5=2叵4c时，取等号，

323

即BNCM的最大值是为—-25/6.

3

故答案为：巫—2瓜

3

【点睛】

本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.

14、4

【解析】

由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.

【详解】

观察式子可知

,••8<cy+y=2"<32,.•.〃=4,

故答案为：4.

【点睛】

该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.

15、2

9

【解析】

总事件数为6x6=36,

目标事件：当第一颗股子为1,2,4,6,具体事件有

(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(5,3),(5,6),共8种；

当第一颗骰子为3,6,则第二颗骰子随便都可以，则有2x6=12种：

所以目标事件共20中，所以P=2?0=25。

369

16、x+2y-5=0

【解析】

根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果

【详解】

因为OC=aOA+POB，且a+0=l,所以A,B,C三点共线，

因此点C的轨迹为直线AB:-1=E(x-3)x+2)，-5=0.

【点睛】

本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(2)y=0.640%+1.520：⑶利润约为111.2万元.

5

【解析】

(1)首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；

(2)首先求出利润」和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程;

(3)根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.

【详解】

(1)2月到6月中，合格的月份为2,3,4月份，

则5个月份任意选取3个月份的基本事件有

(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),

(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共计10个，

故恰好有两个月考核合格的概率为P=3=不；

(2)x=7»>*=6,

:379.5-8x7x643.5

r\—_________________________________»0.640,

460-8x72-68

«=6-0.640x7=1.520,

故$=0.640X+1.520；

(3)当x=15千只，

y=0.640x15+1.520=11.12(十万元)=111.2(万元)，

故9月份的利润约为111.2万元.

【点睛】

本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.

18、(1)/2=200,4=50,〃=0.23,中位数13.2h；(2)①三层中抽取的人数分别为2,5,13：②当

【解析】

4

(1)根据频率分布直方表的性质，即可求得〃=而=200,得到。=50,P=0.23,再结合中位数的计算方法，

即可求解.

(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；

②由①知，设(0,6］内被抽取的学生分别为。丁，(6,12］内被抽取的学生分别为a,Ac,c/,e,利用列举法得到基本事件

的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

446

(1)由题意，可得〃=——=200,所以4=0.25x200=50,p=——=0.23.

0.02200

设一周课外读书时间的中位数为x小时，

则0.17+0.23+(14-x)x0.125=0.5,解得x=13.2,

即一周课外读书时间的中位数约为13.2小时.

(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为

又因为(0,6］,(6,12］,(12/8］的频数分别为20,50,130,

所以从(0口，(6,12］,。2/8］三层中抽取的人数分别为2,5,13.

②由①知，在(0,6］,(6/2］两层中共抽取7人，设(0,6］内被抽取的学生分别为x,y,(6,12］内被抽取的学生分别为

a,b,c,d,e,

若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为xatxb,xc,xcltxe,ya,ybt

cacae

y,yd,W,ab>>ad,,be,bd»be>cd,ce，je,共有21种，

其中2人不在同一层的情况为m,助，xc，xd,xetyatm，yc,ydtye,共有10种.

设事件M为“这2人不在同一层”，

由古典概型的概率计算公式，可得概率为尸(M)=^.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分

析问题和解答问题的能力，属于基础题.

19.(I)0.288(II)(i)见解析(ii)数学期望后(卜)的最大值为280

【解析】

(I)根提题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为"，由独立重复事件的特点得出〃8(3,04),

利用二项分布的概率公式，即可求出结果；

(H)(i)依题意，y的取值为2。0,250,300,350,400,根据离散型分布求出概率和丫的分布列；(ii)由题意

知0.4+〃+b=l,P(y<300)=0.16+0.48+a2>0.8,解得〃<0.6,根据V的分布列，得出丫的数学期望七”)，

结合〃目0.4,0.6),即可算出同丫)的最大值.

【详解】

解：(I)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，7,则〃3(3,04),

2

贝ijP(7Z=2)=C^X(1-().4)X0.4=0.288,

故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.

(II)(i)依题意，y的取值为200,250,300,350,400,

P(Y=2C0)=0.4x0.4=0.16,P(Y=250)=2x0.4〃=，

P(X=300)=2x0.4/?+1?2=0.8/?+cr,P(y=350)=2c而，P(r=40C')=Z?2

:.Y的分布列为：

Y2002503(H)350400

P0.160.8a0.86+/2abb2

(ii)P(r<300)=P(r=200)+P(r=250)+P(r=300)=0.16+0.8(t/4-Z?)+6t2,

由题意知0.4+a+〃=l,/.a+OMOS,「.〃=0.6-a,

P(r<300)=0.16+0.48+/n0.8,

」.a20.4,又”;Z?>0,即0.6—。>0,解得。<0.6,

「.at[0.4,0.6),

矶y)=200x0.16+250x0.8a+300x(0.8/)+cJ)+350x24b+400〃2

=320-100”,

当。=0.4时，E(y)的最大值为280,

所以y的数学期望E(y)的最大值为280.

【点睛】

本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.

20、(1)28种；(2)分布见解析，气.

【解析】

(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数;

(2)X的可能取值为(),1,2,3,再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望.

【详解】

解：(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为CCG+GGC=28种.

(2)X的可能取值为0,1,2,3.

c：c；J

P(X=O)=

C~C；1()

c；c：c；+c：GG7

P(X=I)=或一卞

/，（x_2）_CCCC+dd_u

“x-2）-cy一3。'

_1

p（X=3）==15-

故X的概率分布为:

X0123

17111

P

10153015

所以EQ)].

J

【点睛】

本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.

21、(1)--(2)<-co,4](3)见证明

e

【解析】

(1)先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小

值取法：(2)先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果：(3)构造两个函数，再

利用两函数最值关系进行证明.

【详解】

(1)/r(x)=lnx+l=0.\x=-

e

当xe(O,l)时，f(x)<OJ(x)单调递减，当xw(L+8)时，/'(x)>OJ(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值

ee

为f(J)=-1.

ee

(2)因为x>为所以问题等价于a42工.+『+3=23+x+之在x£(0,”)上恒成立,