2026年冲刺模拟卷全国卷新高考数学数列通项与求和含解析

2026年冲刺模拟卷全国卷新高考数学数列通项与求和含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3^n-1，则a_4等于（）A.24B.48C.72D.962.在等差数列{b_n}中，b_1=5，b_4+b_7=10，则该数列的公差d等于（）A.-1B.0C.1D.23.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N*），则c_5等于（）A.31B.63C.127D.2554.已知等比数列{d_n}的公比为q，且d_2*d_4=9，则d_3的值等于（）A.3B.±3C.9D.±95.若数列{e_n}的通项公式为e_n=(-1)^(n+1)*(n+1/2)，则该数列的前10项和等于（）A.5B.10C.15D.206.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则f_3+f_4+f_5+f_6的值等于（）A.21B.24C.27D.307.在等差数列{g_n}中，若g_k=10，g_{2k}=30，则g_{3k}的值等于（）A.40B.50C.60D.708.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+(-1)^n*n（n∈N*），则h_6等于（）A.7B.9C.11D.13二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_6=64，则该数列的前6项和S_6=_______。10.已知数列{b_n}的通项公式为b_n=n(n+1)/2，则b_1+b_2+...+b_5=_______。11.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+n（n∈N*），则c_10=_______。12.已知等差数列{d_n}的首项d_1=-1，公差d=2，则S_10=_______。13.若数列{e_n}的通项公式为e_n=n/2^n，则该数列的前n项和S_n=_______（用含n的代数式表示）。14.已知数列{f_n}满足f_n=n^2-2n+1，则数列{f_n}的前n项和T_n=_______（用含n的代数式表示）。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分12分）已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+3n。（1）求该数列的通项公式a_n；（2）若b_n=a_n/2^n，求数列{b_n}的前n项和T_n。16.（本小题满分13分）已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1。（1）求该数列的通项公式a_n；（2）设d_n=c_n*3^(n-1)，求数列{d_n}的前n项和S'_n。17.（本小题满分14分）已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=a_n+n+1（n∈N*）。（1）求该数列的通项公式a_n；（2）设b_n=a_n*(1/2)^n，求数列{b_n}的前n项和T_n。18.（本小题满分15分）已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=3c_n-2n（n∈N*）。（1）求该数列的通项公式a_n；（2）设d_n=c_n*2^n，求数列{d_n}的前n项和S_n。19.（本小题满分15分）已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，且a_1=b_1=1，a_4+b_4=16，a_7=b_7。（1）求等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的通项公式；（2）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n。20.（本小题满分15分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=(n+1)(a_n+1)/n（n∈N*）。（1）求该数列的通项公式a_n；（2）设S_n=1/a_1+1/a_2+...+1/a_n，证明：S_n<2-(1/n)。试卷答案1.C2.A3.C4.B5.A6.C7.C8.D9.12710.5511.5512.9013.1-(n+1)/(2^n)14.n^3/3+n^2/2+n/615.解：（1）当n=1时，a_1=S_1=4；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+3n-[(n-1)^2+3(n-1)]=2n+2。a_1=4不符合此式，故通项公式为：a_n={2n+2(n≥2),4(n=1)}。或变形为：a_n=2(n+1)。（2）b_n=(n+1)/2^n。T_n=2/2^1+3/2^2+...+(n+1)/2^n。1/2*T_n=1/2^2+2/2^3+...+n/2^(n+1)。两式相减得：1/2*T_n=1+1/2^2+...+1/2^n-(n+1)/2^(n+1)=2*(1-1/2^n)-(n+1)/2^(n+1)。故T_n=4-(2n+4)/2^n。16.解：（1）当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。a_1=1不符合此式，故通项公式为：a_n={2^(n-1)(n≥2),1(n=1)}。或变形为：a_n={2^(n-1)(n≥2),0(n=1)}。（2）d_n=2^(n-1)*3^(n-1)=(2*3)^(n-1)=6^(n-1)。数列{d_n}是首项为1，公比为6的等比数列。S'_n=(1-6^n)/(1-6)=(6^n-1)/5。17.解：（1）方法一（累加法）：a_2=a_1+1+2=2+3=5；a_3=a_2+2+3=5+5=10；a_4=a_3+3+4=10+7=17。观察或归纳得a_n=n(n+1)。验证：a_1=1*2=2，符合。a_{n+1}=(n+1)(n+2)，n(n+1)+n+(n+1)=n(n+1)+(n+n+1)=n(n+1)+2n+1=n(n+1)+(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+2)。故通项公式为：a_n=n(n+1)。方法二（构造法）：a_{n+1}-a_n=n+1。构造新数列b_n=a_n+n，则b_{n+1}-b_n=a_{n+1}-a_n=n+1。即b_{n+1}=b_n+n+1。又b_1=a_1+1=3。b_n=3+(1+2+...+(n-1))+(1+2+...+n)=3+(n-1)n/2+n(n+1)/2=3+n^2/2。a_n=b_n-n=3+n^2/2-n=n^2/2-n+3。a_n=n(n+1)/2+3/2。验证累加法推导的公式：a_n=n(n+1)。S_n=1*2+2*3+...+n(n+1)=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)/2*(2n+1/3+1)=n(n+1)/2*(2n+4/3)=n(n+1)/2*(2(n+2)/3)=n(n+1)(n+2)/3。S_n=n(n+1)(n+2)/3。a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)(n+2)/3-(n-1)n(n+1)/3=n(n+1)/3*[(n+2)-(n-1)]=n(n+1)/3*3=n(n+1)。故通项公式为：a_n=n(n+1)。（2）b_n=a_n*(1/2)^n=n(n+1)/(2^n)。T_n=1*2/2^1+2*3/2^2+...+n(n+1)/2^n。1/2*T_n=1*2/2^2+2*3/2^3+...+(n-1)n/2^(n+1)+n(n+1)/2^(n+1)。两式相减得：1/2*T_n=1+2/2^2+...+n/2^n-n(n+1)/2^(n+1)=(1-1/2^n)/(1-1/2)-n(n+1)/2^(n+1)=2*(1-1/2^n)-n(n+1)/2^(n+1)。故T_n=4-2n(n+1)/(2^n)=4-n(n+1)/(2^(n-1))。18.解：（1）方法一（构造法）：c_{n+1}-c_n=3c_n-2n-(3c_n-2(n-1))=2(n-1)。构造新数列b_n=c_n-n^2。则b_{n+1}-b_n=(c_{n+1}-(n+1)^2)-(c_n-n^2)=3c_n-2n-(n+1)^2-(3c_n-2n)+n^2=2(n-1)-2n-1=-2n+1-2n-1=-2。即b_{n+1}=b_n-2。又b_1=c_1-1^2=0。b_n=0-2(n-1)=-2(n-1)=-2n+2。故c_n=b_n+n^2=-2n+2+n^2=n^2-2n+2。方法二（迭代法）：a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2n。a_2=3a_1-2*1=3-2=1。a_3=3a_2-2*2=3*1-4=-1。a_4=3a_3-2*3=3*(-1)-6=-9。观察或归纳得c_n=n^2-2n+2。验证：c_1=1^2-2*1+2=1。c_{n+1}=(n+1)^2-2(n+1)+2=n^2+2n+1-2n-2+2=n^2+1。3c_n-2n=3(n^2-2n+2)-2n=3n^2-6n+6-2n=3n^2-8n+6。(n+1)^2-2(n+1)+2=n^2+2n+1-2n-2+2=n^2+1。c_{n+1}=n^2+1=n^2+1。故通项公式为：c_n=n^2-2n+2。（2）d_n=c_n*2^n=(n^2-2n+2)*2^n。S_n=1*2^1+3*2^2+...+(n^2-2n+2)*2^n。2*S_n=1*2^2+3*2^3+...+(n^2-2n+2)*2^(n+1)。两式相减得：-S_n=2^1+2*2^2+...+2*(n-1)*2^n+(n^2-2n+2)*2^(n+1)-(n^2-2n+2)*2^n=2+2^3+...+2^n+(n^2-2n+2)*2^(n+1)-2(2^n)=2*(1+2^2+...+2^n)-2n*2^n+2*2^n+(n^2-2n+2)*2^(n+1)-2n*2^n=2*(2^(n+1)-1)-2n*2^n+2*2^n+(n^2-2n+2)*2^(n+1)-2n*2^n=2^(n+2)-2-2n*2^n+2*2^n+n^2*2^(n+1)-2n*2^n+2*2^(n+1)-2n*2^n=2^(n+2)-2+n^2*2^(n+1)=2^(n+1)*(2-2/n^2+n)=2^(n+1)*(n^2+2-2/n^2)。故S_n=-2^(n+1)*(n^2+2-2/n^2)。19.解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q。a_1=1,a_4=1+3d,a_7=1+6d。b_1=1,b_4=1*q^3=q^3,b_7=1*q^6=q^6。由a_4+b_4=16，得1+3d+q^3=16。由a_7=b_7，得1+6d=q^6。解方程组：d=2,q^3=15。q=15^(1/3)。a_n=1+(n-1)*2=2n-1。b_n=1*(15^(1/3))^n=15^(n/3)。（2）c_n=a_n+b_n=2n-1+15^(n/3)。S_n=(1+3+...+(2n-1))+(1+15^(1/3)+15^(2/3)+...+15^(n/3))。S_n=n^2+(1-15^(n/3))/(1-15^(1/3))=n^2+(15^(n/3)-1)/(15^(1/3)-1)。20.解：（1）方法一（累乘法）：a_2=2(a_1+1)/1=2*2=4。a_3=3(a_2+1)/2=3(4+1)/2=7.5=15/2。a_4=4(a_3+1)/3=4(15/2+1)/3=4(17/2)/3=34/3。观察或归纳得a_n=n(n+1)/2。验证：a_1=1。a_{n+1}=(n+1)[a_n+1]/n=(n+1)[n(n+1)/2+1]/n=(n+1)(n(n+1)+2)/