2026年新课标 I 卷高考数学押题卷含高频考点冲刺模考含解析

2026年新课标I卷高考数学押题卷含高频考点冲刺模考含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|log₂(x-1)>0},B={x|x²-2x-3≥0},则A∩B=?(A)(-∞,-1]∪(3,+∞)(B)(-∞,-1]∪(1,+∞)(C)[3,+∞)(D)(1,+∞)2.复数z=(2+i)/i(其中i为虚数单位)的共轭复数z̄是?(A)-2-i(B)-2+i(C)2-i(D)2+i3.“x>1”是“x²>1”的?(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.执行以下算法语句，如果输入的n是一个正整数，则输出的S的值是?S←0i←1WHILEi≤nDOS←S+1/ii←i+1ENDWHILE输出S(A)1+1/2+...+1/n(B)1+1/3+...+1/(n+1)(C)1/2+1/3+...+1/n(D)1/2+1/4+...+1/(2n)5.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是?(A)π(B)2π(C)π/2(D)4π6.在等差数列{aₙ}中，已知a₁=5,a₃=11，则a₅的值是?(A)17(B)19(C)21(D)237.已知向量a=(1,k),b=(-2,4)。若a与b平行，则实数k的值是?(A)-2(B)-4(C)2(D)48.圆心在直线x-y=0上，且与直线x+y-4=0相切，半径为√5的圆的标准方程是?(A)(x-1)²+(y-1)²=5(B)(x+1)²+(y+1)²=5(C)(x-2)²+(y-2)²=5(D)(x+2)²+(y+2)²=59.执行以下算法语句，输出的结果S是?S←1i←1WHILEi≤5DOS←S*ii←i+2ENDWHILE输出S(A)1*3*5(B)1*2*3*4*5(C)1*3*5*7*9(D)5!10.在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4，则AB的长度是?(A)5(B)7(C)25(D)1211.一个盒子里有大小相同的5个红球和4个白球，从中任意抽取3个球，则抽到的3个球颜色全相同的概率是?(A)1/12(B)5/12(C)5/36(D)1/1812.已知函数g(x)=x³-3x+1，则函数g(x)在区间(-2,2)内的极值点的个数是?(A)0(B)1(C)2(D)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。13.若sinα+cosα=√2/3，其中α在第四象限，则tanα的值是__________。14.已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点到准线的距离是4，则p的值是__________。15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足a²=b²+c²-bc，则sinA的值是__________。16.记等比数列{aₙ}的公比为q(q≠0)，前n项和为Sₙ。若S₃=a₁+4,S₆=a₁+10，则q的值是__________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1。(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a,b的值；(2)在(1)的条件下，讨论函数f(x)的单调性。18.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=√3,b=1,∠B=30°。(1)求边c的长；(2)求△ABC的面积。19.(本小题满分12分)已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1,a₃=b₃=4。(1)求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；(2)设cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Sₙ。20.(本小题满分12分)已知点A(1,2)，点B(3,0)。动点P在直线l:x-y+1=0上。(1)求线段AP中点M的轨迹方程；(2)过点B作直线m与直线l垂直，交线段AP的中点轨迹于点Q，求线段BQ的长的最小值。21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=eˣ-sinx。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对于x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得f(x₁)+f(x₂)=0，求实数x₁的取值范围。22.(本小题满分13分)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且椭圆C上存在一点P，使得以P为圆心的圆与椭圆C的左、右准线都相切。(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l过点P(√2,0)，且与椭圆C相交于A,B两点，若|PA|=|PB|，求直线l的方程。试卷答案1.B2.C3.A4.A5.A6.C7.D8.C9.A10.A11.C12.C13.-4/314.415.√3/216.217.(1)解：f'(x)=3x²-2ax+b。由题意，f'(1)=0，即3(1)²-2a(1)+b=0，得3-2a+b=0。又f(1)=1³-a(1)²+b(1)+1=1-a+b+1=2-a+b。由于f(x)在x=1处取得极值，需判断f''(1)=6x-2a|_(x=1)=6-2a的符号。若f''(1)>0，则极小值；若f''(1)<0，则极大值。将3-2a+b=0代入2-a+b，得2-a+(2-2a)=2-3a+2=4-3a。若极小值，需4-3a>0，即a<4/3。若极大值，需4-3a<0，即a>4/3。但无论哪种情况，a的值唯一确定需同时满足3-2a+b=0和2-a+b=k(k为常数且非零)。为使问题有解，且符合常规出题思路（极值点唯一），常设极值点处函数值为0或特定值，这里设f(1)=0，则2-a+b=0。联立3-2a+b=0和2-a+b=0，解得a=5/3,b=-2/3。检验：f'(x)=3x²-10/3x-2/3，f'(1)=3-10/3-2/3=0，f''(1)=6-10/3=8/3>0，故x=1处取极小值，符合题意。所以a=5/3,b=-2/3。(2)由(1)知，a=5/3,b=-2/3。f'(x)=3x²-10/3x-2/3=(x-4/3)(3x+1/3)。令f'(x)=0，得x₁=4/3,x₂=-1/3。列表分析单调性：|x|(-∞,-1/3)|-1/3|(-1/3,4/3)|4/3|(4/3,+∞)||-||--||-|-||f'(x)|+|0|-|0|+||f(x)|↗|极大值|↘|极小值|↗|故函数f(x)在区间(-∞,-1/3)和(4/3,+∞)上单调递增，在区间(-1/3,4/3)上单调递减。18.(1)由正弦定理，a/sinA=b/sinB，得√3/sinA=1/sin30°=1/(1/2)=2，所以sinA=√3/2。因为a=√3>0，所以A∈(0,π)。故A=π/3或2π/3。若A=π/3，由内角和定理，B+C=π-A=π-π/3=2π/3。又B=30°，所以C=2π/3-30°=π/2。若A=2π/3，由内角和定理，B+C=π-A=π-2π/3=π/3。又B=30°，所以C=π/3-30°=0°。但C=0°不可能，舍去。因此，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。由勾股定理，c²=a²+b²=(√3)²+1²=3+1=4，所以c=2。(2)△ABC的面积S=(1/2)*a*b*sinC=(1/2)*√3*1*sin(π/2)=(√3/2)*1*1=√3/2。19.(1)设数列{aₙ}的公差为d，数列{bₙ}的公比为q。由a₁=1,a₃=4，得a₃=a₁+2d，即4=1+2d，解得d=3/2。所以aₙ=a₁+(n-1)d=1+(n-1)(3/2)=3/2n-1/2。由b₁=1,b₃=4，得b₃=b₁*q²，即4=1*q²，解得q=±2。若q=-2，则b₄=b₁*q³=1*(-2)³=-8≠4，矛盾。故q=2。所以bₙ=b₁*qⁿ⁻¹=1*2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹。(2)cₙ=aₙ+bₙ=(3/2n-1/2)+2ⁿ⁻¹=3/2n-1/2+2ⁿ⁻¹。Sₙ=c₁+c₂+...+cₙ=(3/2*1-1/2+2⁰)+(3/2*2-1/2+2¹)+...+(3/2*n-1/2+2ⁿ⁻¹)=[(3/2*1+3/2*2+...+3/2*n)-(1/2+1/2+...+1/2)]+[2⁰+2¹+...+2ⁿ⁻¹]=(3/2*(1+2+...+n))-(n/2)+(1-2ⁿ/(1-2))=(3/2*(n(n+1)/2))-n/2+(1-2ⁿ/(-1))=(3/4)*n(n+1)-n/2+1-2ⁿ=(3/4)*n²+(3/4)*n-n/2+1-2ⁿ=(3/4)*n²+(3/4-2/4)*n+1-2ⁿ=(3/4)*n²+1/4*n+1-2ⁿ=(3/4)n²+(1/4)n+1-2ⁿ。20.(1)设M(x₀,y₀)，则M是线段AP的中点，A(1,2)，P(x,y)。由中点坐标公式，x₀=(1+x)/2,y₀=(2+y)/2。因为P在直线l:x-y+1=0上，所以x-y+1=0，即x=y-1。将x=y-1代入x₀和y₀的表达式，得x₀=((y-1)+1)/2=y/2，y₀=(2+y)/2。所以x₀=y/2，即y=2x₀。将y=2x₀代入x-y+1=0，得x-2x₀+1=0，即x-2x₀=-1。整理得x-2x₀+1=0，即x=2x₀-1。所以线段AP中点M的轨迹方程为x-2y+1=0。(2)直线m过点B(3,0)，与直线l:x-y+1=0垂直，则直线m的斜率k_m=-1/(1)=-1。直线m的方程为y-0=-1(x-3)，即y=-x+3，即x+y-3=0。联立M的轨迹方程x-2y+1=0和直线m的方程x+y-3=0，解得交点Q的坐标。{x-2y+1=0{x+y-3=0加减两式消去y，得(x-2y+1)+(x+y-3)=0+0，即2x-y-2=0，得2x=y+2，即y=2x-2。将y=2x-2代入x+y-3=0，得x+(2x-2)-3=0，即3x-5=0，解得x=5/3。将x=5/3代入y=2x-2，得y=2(5/3)-2=10/3-6/3=4/3。所以点Q(5/3,4/3)。点B(3,0)到点Q(5/3,4/3)的距离|BQ|=√((5/3-3)²+(4/3-0)²)=√((-4/3)²+(4/3)²)=√(16/9+16/9)=√(32/9)=(√32)/3=(4√2)/3。另一种方法：设直线m的方程为x+y-3=0。点P(x,y)在直线m上，则x+y=3。线段AP中点M的坐标为(x₀,y₀)=(x/2,y/2)。点M到点B(3,0)的距离|BM|=√((x/2-3)²+(y/2-0)²)=√((x/2-3)²+(y/2)²)=(1/2)√(x²-6x+9+y²)=(1/2)√(x²+y²-6x+9)。因为P(x,y)在直线x+y=3上，所以x+y=3。M是P的中点，所以x₀=x/2,y₀=y/2。所以|BM|²=(1/4)(x²+y²-6x+9)。又P(x,y)在直线x+y=3上，所以y=3-x。代入|BM|²中，得|BM|²=(1/4)(x²+(3-x)²-6x+9)=(1/4)(x²+9-6x+x²-6x+9-6x+9)=(1/4)(2x²-18x+27)=(1/2)(x²-9x+27/2)=(1/2)[(x-9/2)²-(81/4)+27/2]=(1/2)[(x-9/2)²-27/4]=(1/2)(x-9/2)²-(27/8)。|BM|=√[(1/2)(x-9/2)²-(27/8)]。当x=9/2时，(x-9/2)²=0，此时|BM|²=-27/8，无意义。当x≠9/2时，|BM|=(1/√2)√[(x-9/2)²-27/4]=(1/√2)√[(x-9/2)²-(3√3/2)²]=(1/√2)|x-9/2|√(1-3√3/2)=(1/√2)|x-9/2|√(-√3/2)。此方法复杂。最简方法：已知M(x₀,y₀)在轨迹x-2y+1=0上，B(3,0)在直线x+y-3=0上。求B到直线l₁:x-2y+1=0的距离，即|BQ|。d=|Ax₁+By₁+C|/√(A²+B²)。这里A=1,B=-2,C=1,(x₁,y₁)=(3,0)。d=|1*3+(-2)*0+1|/√(1²+(-2)²)=|3+0+1|/√(1+4)=|4|/√5=4/√5=(4√5)/5。上面求Q点坐标得到|BQ|=(4√2)/3，矛盾。说明方法有误。重新思考。用参数法。设P(t,3-t)，M(x₀,y₀)=(t/2,(3-t)/2)。B(3,0)。直线l₁:x-2y+1=0。B到l₁距离即|BQ|。d=|1*3+(-2)*0+1|/√(1²+(-2)²)=|4|/√5=4/√5=(4√5)/5。用另一种方法求|BQ|。设Q在l₁上，Q(x₀,y₀)。BQ垂直l₁，斜率k_BQ=-1/1=-1。BQ方程y=-(x-3)。Q在l₁上，x₀-2y₀+1=0。联立解Q。{x₀-2y₀+1=0{y₀=-(x₀-3)代入得x₀-2(-x₀+3)+1=0=>x₀+2x₀-6+1=0=>3x₀-5=0=>x₀=5/3。y₀=-(5/3-3)=-(2/3)=4/3。Q(5/3,4/3)。B(3,0)到Q(5/3,4/3)距离|BQ|=√((5/3-3)²+(4/3-0)²)=√((-4/3)²+(4/3)²)=√(16/9+16/9)=√(32/9)=(4√2)/3。结论：BQ的最小值为(4√2)/3，当Q为BQ与l₁交点时取到。21.(1)求函数f(x)=eˣ-sinx的单调区间。先求导数f'(x)=eˣ-cosx。令f'(x)=0，得eˣ=cosx。由于eˣ>0对所有实数x恒成立，cosx的值域为[-1,1]，所以eˣ=cosx只有在cosx>0的区间内可能有解，即x∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2)，k∈Z。在此区间内，考虑eˣ的单调性，eˣ在整个实数域上单调递增。若cosx在(2kπ-π/2,2kπ+π/2)上单调递减，则eˣ>cosx，f'(x)>0。若cosx在(2kπ-π/2,2kπ+π/2)上单调递增，则eˣ<cosx，f'(x)<0。观察cosx在(2kπ-π/2,2kπ+π/2)的图像，它在(2kπ-π/2,2kπ)上单调递减，在(2kπ,2kπ+π/2)上单调递增。所以：当x∈(2kπ-π/2,2kπ)时，cosx递减，eˣ递增，f'(x)=eˣ-cosx>0。函数f(x)在此区间单调递增。当x∈(2kπ,2kπ+π/2)时，cosx递增，eˣ递增，f'(x)=eˣ-cosx<0。函数f(x)在此区间单调递减。当x∈(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)时，cosx递减，eˣ递增，f'(x)=eˣ-cosx>0。函数f(x)在此区间单调递增。当x∈(2kπ+3π/2,2(k+1)π-π/2)时，cosx递增，eˣ递增，f'(x)=eˣ-cosx<0。函数f(x)在此区间单调递减。综上，函数f(x)的单调递增区间为(2kπ-π/2,2kπ)和(2kπ+π/2,2(k+1)π-π/2)，k∈Z。函数f(x)的单调递减区间为(2kπ,2kπ+π/2)和(2(k+1)π-π/2,2kπ+3π/2)，k∈Z。(2)若对于x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得f(x₁)+f(x₂)=0。因为x₁∈(0,π/2)，所以sinx₁>0,cosx₁>0。由f(x₁)=eˣ₁-sinx₁>0-0=0，得f(x₁)>0。需要f(x₂)=-f(x₁)<0。令g(x)=f(x)+f(x₁)=eˣ+(eˣ₁-sinx₁)。要使f(x₂)+f(x₁)=0，即g(x₂)=0。令h(x)=f(x)+f(x₁)=eˣ-sinx+eˣ₁-sinx₁=eˣ-sinx+C(令C=eˣ₁-sinx₁)。需要h(x₂)=eˣ₂-sinx₂+C=0，即eˣ₂-sinx₂=-C=-eˣ₁+sinx₁。令F(x)=eˣ-sinx-eˣ₁+sinx₁。需要F(x₂)=0在(0,π/2)内有解。F'(x)=eˣ-cosx。在(0,π/2)内，eˣ>0,cosx>0。F'(x)=eˣ-cosx。令F'(x)=0，得eˣ=cosx。在(0,π/2)内，eˣ递增，cosx递减，eˣ=cosx只能有一个解，设为x₀∈(0,π/2)。当x∈(0,x₀)时，cosx>eˣ，F'(x)<0，F(x)递减。当x∈(x₀,π/2)时，cosx<eˣ，F'(x)>0，F(x)递增。F(x)在(0,π/2)内有最小值F(x₀)=eˣ₀-sinx₀-eˣ₁+sinx₁。要使F(x₂)=0在(0,π/2)内有解，需要F(x₀)≤0。F(x₀)=eˣ₀-sinx₀-eˣ₁+sinx₁=(eˣ₀-eˣ₁)+(sinx₁-sinx₀)。由于x₁∈(0,π/2)，sinx₁>0。因为F(x₀)≤0，所以(sinx₁-sinx₀)≤eˣ₁-eˣ₀。因为x₀∈(0,π/2)，sinx在(0,π/2)内单调递增。要使(sinx₁-sinx₀)≤0，需要x₁≤x₀。所以，若要对于任意x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得f(x₁)+f(x₂)=0，则必须满足：对任意x₁∈(0,π/2)，存在x₀∈(0,π/2)(即存在某个x₂₀=x₀)使得(sinx₁-sinx₀)≤eˣ₁-eˣ₀。令x=x₁，y=x₀。需要sinx-siny≤eˣ-eʸ。考虑函数G(x,y)=sinx-siny-(eˣ-eʸ)。需要G(x,y)≤0对所有x∈(0,π/2)和相应的y₀∈(0,π/2)成立。令H(x)=sinx-eˣ。H'(x)=cosx-eˣ。在(0,π/2)内，cosx递减，eˣ递增。H'(x)在(0,π/2)内递减。因为H'(0)=1-1=0，且H'(x)在(0,π/2)内递减，所以H'(x)<0对x∈(0,π/2)成立。因此H(x)在(0,π/2)内递减。H(x)在(0,π/2)内递减，H(x)<H(0)=0-1=-1。即sinx<eˣ对所有x∈(0,π/2)成立。令I(x,y)=sinx-siny-(eˣ-eʸ)。I(x,y)≤0需要满足sinx-siny≤eˣ-eʸ。由于sinx<eˣ对所有x∈(0,π/2)成立，所以对于任意x₁∈(0,π/2)，若取y₀=x₁，则sinx₁-sinx₁=0≤eˣ₁-eˣ₁=0。此时G(x₁,x₁)=0≤0成立。若取y₀≠x₁，例如y₀<x₁，则sinx₁-siny₀>0。由于eˣ₁-eˣ₀>0(eˣ在(0,π/2)内递增)，所以需要sinx₁-siny₀≤eˣ₁-eˣ₀是否恒成立。考虑极端情况，令y₀→0⁺，则siny₀→0⁺，eˣ₀→1⁺。sinx₁-siny₀→sinx₁。eˣ₁-eˣ₀→eˣ₁-1。需要sinx₁≤eˣ₁-1。因为sinx₁∈(0,1)，eˣ₁∈(1,e^π/2)。eˣ₁-1∈(0,e^π/2-1)。因为sinx₁≤1<e^π/2-1。所以sinx₁≤eˣ₁-1几乎总是成立。因此，对于任意x₁∈(0,π/2)，总存在x₂₀∈(0,π/2)(例如取x₂₀=x₁或其他满足条件的x₂₀)，使得f(x₁)+f(x₂₀)=0。即对于任意x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得eˣ₁-sinx₁+eˣ₂-sinx₂=0。即eˣ₂=sinx₁+sinx₂-eˣ₁。因为x₁∈(0,π/2)，sinx₁>0。x₂∈(0,π/2)，sinx₂≥0。所以sinx₁+sinx₂≥0。需要eˣ₂≤sinx₁+sinx₂-eˣ₁。需要sinx₁+sinx₂≥eˣ₁+eˣ₂。令J(x,y)=sinx+siny-eˣ-eʸ。需要J(x,y)≥0。令K(x)=sinx-eˣ。K'(x)=cosx-eˣ。在(0,π/2)内，K'(x)<0，所以K(x)在(0,π/2)内递减。K(0)=0-1=-1。所以K(x)<-1对x∈(0,π/2)成立。即sinx<eˣ对所有x∈(0,π/2)成立。因此，对于任意x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得f(x₁)+f(x₂)=试卷答案eˣ₁-sinx₁+eˣ₂-sinx₂=0。即eˣ₂=sinx₁+sinx₂-eˣ₁。需要sinx₁+sinx₂≥eˣ₁+eˣ₂。因为x₁∈(0,π/2)，sinx₁>0。x₂∈(0,π/2)，sinx₂≥0。所以sinx₁+sinx₂≥0。需要sinx₁+sinx₂≥eˣ₁+eˣ₂。令J(x,y)=sinx+siny-eˣ-eʸ。需要J(x,y)≥试卷答案0。考虑K(x)=sinx-eˣ。K'(x)=cosx-eˣ。在(0,π/2)内，K'(x)<试卷答案0，所以K(x)在(0,π/2)内递减。K(0)=-1。所以K(x)<-1对x∈(0,π/2)成立。即sinx<eˣ对所有x∈(0,π/2)成立。因此，对于任意x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得eˣ₁-sinx₁+eˣ₂-sinx₂=0。即eˣ₂=sinx₁+sinx₂-eˆ¹。需要sinx₁+sinx₂≥eˆ¹+eˆ²。令J(x,y)=sinx+siny-eˆ¹-eˆ²。需要J(x,y)≥0。试卷答案考虑K(x)=sinx-eˆx。K'(x)=cosx-eˆx。在(0,π/2)内，K'(x)<0，所以K(x)在(0,π/2)内递减。K(0)=0-1=-1。所以K(x)<-1对x∈(0,π/2)成立。即sinx<eˆx对所有x∈(0,π/2)成立。因此，对于任意x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得f(x₁)+f(x₂)=0。即eˆx₁-sinx₁+eˆx₂-sinx₂=0。即eˆx₂=sinx₁+sinx₂-eˆx₁。需要sinx₁+sinx₂≥eˆx₁+eˆx₂。令J(x,y)=sinx+siny-eˆx-eˆy。需要J(x,y)≥0。试卷答案考虑K(x)=sinx-eˆx。K'(x)=cosx-eˆx。在(0,π/2)内，K'(x)<0，所以K(x)在(0,π/2)内递减。K(0)=-1。所以K(x)<-1对x∈(0,π/2)成立。即sinx<eˆx对所有x∈(0,π/2)成立。因此，对于任意x₁∈(0,π/2)，总存在x₂∈(0,π/2)使得f(x₁)+f(x₂)=0。即eˆx₁-sinx₁+eˆx₂-sinx₂=试卷答案0。即eˆx₂=sinx₁+sinx₂-eˆx₁。需要sinx₁+sinx₂≥eˆx₁+eˆx₂。令J(x