(完整版)数学教学案例分析课件文档

数学教学案例分析四川省德昌县职业高级中学魏元伟

孔子曰：知之者不如好知者，好知者不如乐知者.如何培养学生的数学学习兴趣？？？引例引例1.如果等？请说明在什么情况下（意义下）可以这样做分数的加法？中央电视台曾经在一次猜奖活动中有这样一个问题：现有1、2、3三扇门，有一扇门后面有一辆轿车，另两扇门后面什么也没有.现在假设你已经选了1号门.此时主持人打开另两扇门中的一扇空门.（比如3号门是空的）主持人问你：是否改为选择2号门？你该如何办？

如果这个问题你一时半刻想不出结果，我们不妨来看另一个问题：如果改为100扇门，其中一扇门后面有轿车，另99扇门后面什么也没有.假定你选择了1号门.现在主持人打开2-100号门中所有的后面没有车的门（不妨设为是3-100号）.请问：此时你是否改为选择2号门？引例3.比较大小：0.9999······

1

＜，＝，＞在十进制中是不允许这样写的，我们现在假定可以这样写.这到底是小于还是等于嘛？我开始腾云驾雾了!数学教学案例分析之一——

“糖水浓度与数学发现”系列活动课

道具：一缸清水一罐白糖大大小小的玻璃杯若干个学生1：混合后的糖水浓度为活动课之一——等比定理的发现现保持阴影部分的面积大小，该图形可以变化为如下一系列图形：请问：混合后糖水的浓度与原三个小杯糖水的浓度有何关系？(1)如果用9块拼成3×3的大正方形情形又是怎样的？从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，两者之间有“质”的区别.主持人问你：是否改为选择2号门？请问：此时你是否改为选择2号门？假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为90°的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变.大大小小的玻璃杯若干个两扇门后面什么也没有.老师转问学生1：为什么说②式是混合后的浓度？把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！大家都知道：活动课之一——等比定理的发现分成三小杯请问：三小杯糖水的浓度有何关系？由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：……①现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：倒入一个大杯学生７：c不是糖的质量，而是浓度的增加量.老师转问学生1：为什么说②式是混合后的浓度？＜，＝，＞从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，两者之间有“质”的区别.请说明在什么情况下（意义下）可以这样做分数的加法？学生4：此时式子②虽然不是混合糖水浓度定义的直接式子，但在数值上并没有变！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系——等比定理，这就是数学了.学生７：c不是糖的质量，而是浓度的增加量.但为了说明问题，我们将它们的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记为a，b，c，d，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案.由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有3×3×2=18种不同的图案.把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！那么如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个事实反映出来呢？＜，＝，＞加上原来的初始图案，则共有1＋3＋18＋27＋81=130种不同的图案.但为了说明问题，我们将它们的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记为a，b，c，d，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案.请问：混合后糖水的浓度与原三个小杯糖水的浓度有何关系？学生1：混合后的糖水浓度为由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖水浓度相等，即是：……②这就是等比定理：若①即②.从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，两者之间有“质”的区别.把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系——等比定理，这就是数学了.这中间的过程就是一个“数学化”的过程！！！问题：

“糖水情境”中的与“等比定理”中的有区别吗？学生2：

“糖水情境”中的只能是正数，并且.而“等比定理”中的不需要这么多限制，只要有就够了.老师转问学生1：为什么说②式是混合后的浓度？学生1：学生3：老师问学生3：为什么？有何依据？学生3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如：21克糖水中有3克糖，其浓度是.老师：学生4：还是！！！老师问：学生4：此时式子②虽然不是混合糖水浓度定义的直接式子，但在数值上并没有变！学生4：这是因为学生5：学生6：

于是我们一共得到了等比定理的三种等价形式！学生７：

老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来.学生７：

老师问：很好！这里的c表示什么？学生７：表示加糖了！

老师问：c表示所加的糖的质量吗？浓度与质量可以直接相加吗？学生７：c不是糖的质量，而是浓度的增加量.

老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加，并没有反映出浓度增加的原因－－糖的增加.那么如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个事实反映出来呢？学生８：老师，我明白了！

学生９：同样可以考虑约分的情形！

学生10：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：

新的发现：1.问题的提出已知图形如下：请记住这道题目，并根据排列组合的知识推算这样的不同图形共有多少个？数学教学案例分析之二——

一道有趣的开放题

现保持阴影部分的面积大小，该图形可以变化为如下一系列图形：

假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为90°的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变.画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由.2.问题解决的思路为了解决这个问题，我们还得回到最初的图形.先将原图分成四部分，如下：思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个空白正方形的问题.填充abcd事实上，上面的四个小正方形（通过旋转后）是完全一样的.但为了说明问题，我们将它们的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记为a，b，c，d，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案.由排列组合的知识知道，这是一个可重复排列的问题，应有44=256种不同的情形.

是不是有这么多呢？这256个不同的图案中有没有重复的呢？为了说明问题，再来看思路二.思路二：（1）如下图，先将三个小正方形的位置固定，旋转带*的小正方形.这样就得到三个不同于初始图案的图案.（2）那么，运用排列组合的知识，如果有两个小正方形同时按不同方向（旋转方向互不关联）分别旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转的情形.否则回到（1））.这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有3×3×2=18种不同的图案.（3）类似的，固定一个同时旋转另三个小正方形，又可以得到33=27种不同的图案.（4）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），都不保持原来的位置，又可以得到34=81种不同的图案.

加上原来的初始图案，则共有1＋3＋18＋27＋81=130种不同的图案.由此可见，思路一中的256个图案中有很多是重复的.接下来的问题是：这130种图案中有没有重复的？如果有，重复了几种？这个问题的最终结果应该是多少种不同的图案？请读者自行解决.以下是一些学生自己画出的并且