2024届全国高考适应性考试数学试卷含解析

2024届全国高考适应性考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行下面的程序框图，则输出S的值为（）

2343

D.

6060

x>\

2.已知实数x，y满足线性约束条件,则工里的取值范围为（）

X

x-y+2>0

A.（-2,-1]B.（-1,4]C.[-2,4）D.[0,4]

3.已知复数z满足z（l+i）=l—i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.-iB.iC.1D.-1

4.在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得±420成立的概率为等差数列｛2｝的公差，且4+4=-4,若

x-i

则〃的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

5.执行下面的程序框图，若输出的S的值为63,则判断框中可以填入的关于i的判断条件是（）

A.z<5B./<6C.i<7D.z<8

6.如图，长方体A8co-AgG。中，2AB=3A41=6,4P=，点T在棱A4上，若〃>_1_平面尸8。.则

uunun

TPB、B=（）

7.已知集合人=（乂工<0,3={一1,0,1},则AflB等于（）

A.何一1<工<1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

8.在AABC中，D为BC中点,且人£=3七。，若B^=AAB+〃AC,则义+"=（）

213

A.1B.C.—D.

334

9.已知随机变量X服从正态分布N（l,4）,P（X>2）=03,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

10.如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）

甲班乙班

7958

7311013

2113

A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定

C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班

D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103

11.函数/"）=4sin④r+g（。＞0）的最小正周期是3乃，则其图象向左平移三个单位长度后得到的函数的一条对

k3；6

称轴是（）

,T八万19万

A.x=-C.x-——5x=

46~VZ

12.若直线y=Ax+l与圆好+产=1相交于p、。两点，且/尸。。=120。（其中。为坐标原点），则A的值为（）

A.V3B.72C.右或一6D.夜和一正

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某地区连续5天的最低气温（单位：C）依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的标准差为.

14.已知函数〃耳=/+2/⑴Inx,则曲线y=/（x）在x=l处的切线斜率为.

15.已知（办+96的展开式中一项的系数与V项的系数分别为135与-18,贝1」（办+36展开式所有项系数之和为

16.数列｛。〃｝的前〃项和为S”，数列也｝的前〃项和为满足q=2,3S„=（/?+m）an（A?GN",nrGR）,且

可包=〃+1.若任意〃EN",AWJn-T”成立,则实数4的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）据《人民网》报道，美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料

显示中国和印度的行动主导了地球变绿.据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在

去年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）

单位：公顷

地区造林总面造林方式

（1）求证：AB±CG；

⑵若BC=CF,求直线AE与平面3EG所成角的正弦值.

20.（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别

种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤

维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311〃〃〃的为“长纤维”，其余为“短纤维”）

纤维长度(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500]

甲地（根数）34454

乙地（根数）112116

（1）由以上统计数据，填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤

环境有关系”.

甲地乙地总计

长纤维

短纤维

总计

附：⑴k=————

(。+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

（2）临界值表;

P(K?Nk°)1.111.151.1251.1111.1151.111

2.7163.8415.1246.6357.87911.828

（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这

8根纤维中，记乙地♦♦短纤维”的根数为X,求X的分布列及数学期望.

21,（12分）在直角坐标系/中，已知直线/的直角坐标方程为）,=今X，曲线a的参数方程为x=cos6

)7+sin。(,为

参数），以直角坐标系原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕=4sin（e+?）.

（1）求曲线G和直线/的极坐标方程;

（2）己知直线/与曲线a、a相交于异于极点的点AB,若A/?的极径分别为月，例，求।月一阂的值.

22.（10分）选修4・4：坐标系与参数方程

x=2cosa

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为｛（（/为参数）.以直角坐标系原点O为极点，x轴的

y=sina

正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为P8s（。胃=2收点P为曲线C上的动点，求点P到直线I

距离的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.

【详解】

运行程序,

1,

s=--\,i.=C2

5f

12.1..

s=—+—1—,i=3,

552

123,11,,

s=—+—+——1--------,/=4,

55523

1234111.工

S=—F-+---1-----1--------------,2=5,

5555234

1234,111.「

s=—I---11------1--------------,I=5,

5555234

197451111

5=—+-+-+—+--1-----------------,/=6,结束循环,

555552345

故输出s=：(l+2+3+4+5)-[l+；+；+：+：]=3137_43

石广而

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.

2、B

【解析】

作出可行域，工」表示可行域内点P(x,y)与定点。(。,-1)连线斜率，观察可行域可得最小值.

X

【详解】

作出可行域，如图阴膨部分(含边界)，上二表示可行域内点P(x,y)与定点连线斜率，4(1,3),

x

勺A二上噌=4,过Q与直线x+y=°平行的直线斜率为一L・••一1<%也“4・

1—0

故选：B.

【点睛】

本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题2—表示动点P(sy)与定点

X

Q(O「1)连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论.

3、D

【解析】

根据复数z满足z(l+i)=l-i,利用复数的除法求得二，再根据复数的概念求解.

【详解】

因为复数Z满足z(l+i)=l—"

所以"总二号bfT

所以Z的虚部为-1・

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4、D

【解析】

由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的工的范围区间长度，利用几何概型公式可得概

率，即等差数列的公差，利用条件%十4=2%,求得知=-2,从而求得q=一与+g,解不等式求得结果.

【详解】

由题意，本题符合几何概型，区间［-3,3］长度为6,

使得营20成立的x的范围为（1,3］,区间长度为2,

3-r21

故使得——20成立的概率为7=7=4,

A-163

_/八110n

又见+%=-4=2&,a=-2-2+(7?-4)x-=-----+一,

4'7333

令。”>0,则有〃>10,故〃的最小值为11,

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式,

属于基础题目.

5、B

【解析】

根据程序框图，逐步执行，直到S的值为63,结束循环，即可得出判断条件.

【详解】

执行框图如下:

初始值：S=0,i=l,

第一步：s=0+l=L/=l+l=2,此时不能输出，继续循环;

第二步：5=14-2=3,/=2+1=3,此时不能输出，继续循环;

第二步：5=3+4=7,z=3+l=4,此时不能输出，继续循环；

第四步：S=7+8=15j-=4+l=5,此时不能输出，继续循环；

第五步：5=15+16=31,z=5+I=6,此时不能输出，继续循环；

第六步：5=31+32=63,/=6+1=7,此时要输出，结束循环；

故，判断条件为注6・

故选B

【点睛】

本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.

6、D

【解析】

根据线面垂直的性质，可知TPLPB;结合A尸=2P与即可证明AP7A三△3。用，进而求得7A•由线段关系及平

UliUUU

面向量数量积定义即可求得8乃・

【详解】

长方体ABCD-AgGR中，2A8=3A4|=6,

点「在棱AA上，若7PJL平面P3C.

则7PJL尸8，AiP=2PBi

则ZPL4)=NBPB],所以△PLA]=ABPB1,

则=P3]=1,

uirUUMuiruuu

所以TPB】B=TP•B】BcosZPT^

_____(i)

=\J^+]~x2x—/=-2,

IV22+l2)

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

7、C

【解析】

先化简集合A,再与集合5求交集.

【详解】

因为人=竭

<0U{x|-2<x<l},B={-l,0,l),

所以Ac5={T0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.

8、B

【解析】

选取向量A3，AC为基底，由向量线性运算，求出8E，即可求得结果.

【详解】

一一一1一—-.]——.

BE=AE-AB=-AD-ABAD=-(AB+AC),

32f

1i2

.-.2=--卜1=7'「"+〃=一彳

6o3

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.

9、B

【解析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出P（X<0）=P（X>2）,进而可得出结果.

【详解】

・.XN(l,4),所以，P(X<O)=P(X>2)=03.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.

10、D

【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到A3C正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，。错误，得到

答案.

【详解】

由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,。正确.

因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故。错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11、D

【解析】

24（24乃、

由三角函数的周期可得。=-由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为），=4sin-A-+—,再求其

对称轴方程即可.

【详解】

解：函数/（x）=4sin（ox+?卜口〉0）的最小正周期是3万，则函数/（x）=4sin1|九+?）,经过平移后得到函数

工A'乃、乃4不、24万,4

解析式为》=4sin7x+—+—=4sin-x+—,由二x+:-二七r+二（攵wZ）,

[3（6J3」139J392

37T194

得x=+上（火wZ）,当％=1时，x=——.

212

故选D.

【点睛】

本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.

【解析】

直线过定点，直线y=kx+l与圆x?+y2=i相交于p、Q两点，且NPOQ=120°（其中。为原点），可以发现NQOx的大

小，求得结果.

【详解】

如图，直线过定点（0,1）,

VZPOQ=12()°.\ZOPQ=30°,=21=120°,Z2=60°,

:.由对称性可知k=±&.

故选C.

【点睛】

本题考查过定点的直线系问题.以及直线和圆的位置关系.是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】

先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差.

【详解】

解：某地区连续5天的最低气温(单位：°C)依次为8,-4,-1,0,2,

平均数为：1(8-4-1+0+2)=1,

该组数据的方差为：

S2=1[(8-1)24-M-1)2+(-1-1)2+(O-I)2+(2-1)2]=16,

该组数据的标准差为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础

题.

14、-2

【解析】

求导后代入工=1可构造方程求得r(i),即为所求斜率.

【详解】

・.・/(X)=2X+M1,.・J，(1)=2+21(1),解得：/(1)=-2,

X

即y=/(x)在x=1处的切线斜率为-2.

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.

15、64

【解析】

由题意先求得的值，再令X=1求出展开式中所有项的系数和.

【详解】

(公十〃)6的展开式中x4项的系数与X5项的系数分别为135与-18,

=135,♦/〃=-18,

15。0=135

由两式可组成方程组”、，

[6a5b=-\S

解得。=1,/?=一3或々=-1,〃=3,

•.令冗=1,求得(依+。『展开式中所有的系数之和为炉=64.

故答案为：64

【点睛】

本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.

16、％W—

2

【解析】

当儿.2时，*=S”-S,i，可得到&=，再用累乘法求出《，再求出"，根据定义求出(，再借助单调性求

解.

【详解】

解：当〃二】时，3S]=(1+〃?)4=34，则m=2,3s“=(〃+2)。〃，

当.2时，3S〃_]=(〃+1,

3a“=(n+2)a”一(〃+,

4〃+1

6a_345nz?+1/,、

a„=a.—n—=2x-x—x—...---->=n(n+1).

“'qa2%123n-2n-\'

n-11

4==一，

《〃

••.7；。—(=一二+―1+…+1…!(当且仅当〃=1时等号成立)，

〃+1〃+22n2

,1

''4’2，

故答案为：(一°°，5.

【点睛】

本题主要考查已知s“求知,累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省；(2)L；(3)

分布列见详解，数学期望为1

【解析】

(1)通过数据的观察以及计算人工造林面积与造林总面积比值，可得结果.

(2)通过数据的观察以及计算新封山育林面积与造林总面积比值，得出比值超过50%的地区个数，然后可得结果.

(3)计算退化林修复面积超过一万公顷的地区中选两个地区总数C；,退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数为

3,列出X所有取值并计算相应概率，然后可得结果.

【详解】

(1)人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，

人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.

(2)记事件A：在这十个地区中，任选一个地区，该地区

新封山育林面积占总面积的比值超过50%

根据数据可知：青海地区人工造林面积占总面积比超过5()%,

则P(A)J

(3)退化林修复面积超过一万公顷有6个地区:

内蒙、河北、河南、重庆、陕西、新疆，

其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：

内蒙、河北、重庆，

所以X的取值为0,1,2

所以「(x=o吟P(x=D=等4

尸—2)啜喋

随机变量x的分布列如下:

X012

393

P

15151?

393

E（X）=0x—+lx—+2x—

''151515

【点睛】

本题考查数据的处理以及离散型随机变量的分布列与数学期望，审清题意，细心计算，属基础题.

2

18、(1)曲线W的标准方程为*+)，2=1.抛物线。的标准方程为/=2"(2)见解析

【解析】

(1)由题知|P川+甲川=幽土幽=26>|为尸2],判断动点。的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面

2

向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；(2)设出点尸的坐标，再表示出点N和。的坐标，根

据题意求出品立木的值，即可判断结果是否成立.

【详解】

（1）由题知I尸曰二用，仍用=烁1,

所以归国+|尸居卜幽产=2凤忻刈

因此动点尸的轨迹W是以片，鸟为焦点的椭圆，

又知2a=2x/5，2c=2五，

2

所以曲线W的标准方程为y+/=l.

又由题知

所以。AOS=[A，6）・（3及,0）=3瓜八=6限，

所以％=2,

又因为点A（2后佝在抛物线。上，所以m=R,

所以抛物线C的标准方程为V=2几.丫.

⑵设P（Xp,）/），Q知一告）

由题知OPLOQ,所以外总―®E=o,即&="九（与工（））,

2ZXp

1111

-+---------=----------+--------3--+-2%

所以|OP『\OQ\2片+疗3yn3

3侔+犬）

2片2

又因为冬+年=1,"-冬

3+2xji3+2芍]

所以3代+重）-3仆2+]_陶一,

「3J

所以看卡册为定值'且定值为1•

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能

力，是中档题.

19>(I)见证明；(II)—

4

【解析】

(I)取8C的中点为。，连结。尸，易证四边形CDR7为平行四边形，即CG//DF,由于。为3c的

中点，可得到从而得到CG_L6C,即可证明CG_L平面ABC,从而得到CG_LA8；(II)易证03,DF，

D4两两垂直，以DB,DF,D4分别为x,V,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一个2,求出平面8EG的

AEn

一个法向量为〃=y,z),设AE与平面BEG所成角为。,则sine=|cos〈4E,M)|=,即可得到答案.

【详解】

解：(I)取BC的中点为。，连结。口

由是三棱台得，平面A8C//平面EFG,从而BC//FG.

9

：CB=2GFt：.CDIJGFt

，四边形COFG为平行四边形，・・・CG//D尸.

・：BF=CF,。为3C的中点，

ADFlBCf：.CGLBC.

・・・平面/"C"L平面“CGF,且交线为〃C,CGu平面BCGF,

，CGJ_平面ABC,而平面ABC,

:・CG1AB.

(U)连结AD.

由A4BC是正三角形，且。为中点，则AO_L8C.

由(I)知，CG_L平面ABC,CG//DF,

・•,OFJLAD，DF工BC,

:,DB,DF,D4两两垂直.

以DB,DF,D4分别为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-A>，Z.

设BC=2,则A(O,O,0),E,8(1,0,0),G(-kx/3,0),

・•・AE=,=[-2,73,0),BE=V瓜

设平面BEG的一个法向量为n=(%y,z).

-n-2x+y/3y=0

由产力二°可得，｛3厂⑺

BE・n=()_九+6)，+止z=0

22

令x=6,则>=2,2=—1,〃=(V5,2,—1).

AE•n_V6

设AE与平面8£G所成角为0,贝！jsine=cos〈AE,〃〉=

AE-|/?|~4

本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求

解能力，属于中档题.

20、(1)在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(2)见解析

【解析】

试题分析：(1)可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出K?，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断;

(2)写出X的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出X的数学期望.试题解析：(I)根

据已知数据得到如下2x2列联表:

甲地乙地总计

长纤维91625

短纤维11415

总计212141

根据2x2列联表中的数据，可得K2=40(9x4-16x11)5,227>5,024

25x15x20x20

所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.

<n）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为rx8=3,

40

X的可能取值为：1,1,2,3,

P（x=o）=畀嗡P（x=l）=普端

V15力5>1

p（X=^]=CC=变-X=3）=