四川省金堂中学等多校2025-2026学年高一上学期1月期末联考数学试题

高一数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章第四节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解得集合，再求交集即可．【详解】因为，，所以．故选：D．2.若命题p：，，则（）A.p是真命题，且为，B.p真命题，且为，C.p是假命题，且为，D.p是假命题，且为，【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题并判断真假即可．【详解】由，可得，所以p是假命题，且为，．故选：C．3.下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解.【详解】，均不是幂函数，在上单调递增，是幂函数，且在上单调递减．故答案为：B.4.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义求出的值，再根据诱导公式化简并求值即可．【详解】因为角的终边经过点，所以，．故选：A．5.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性，排除A，B，通过求的值，排除D，即可得解.【详解】因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，故排除A，B．又因为，故排除D．故选：C6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦的性质可得，再结合对数、指数函数的性质比较大小即可．【详解】因为，，，所以．故选：B．7.已知，且，则函数在上单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调递增的条件，求出的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断选项.【详解】因为函数在上单调递增，所以有，解得或，结合且，得.对于选项A，是函数在上单调递增的充要条件，所以A选项错误；对于选项B，，但，所以是函数在上单调递增的必要不充分条件，所以B选项正确；对于选项C，，但，所以是函数在上单调递增的充分不必要条件，所以C选项错误；对于选项D，因为，且，所以是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件，所以D选项错误.故选：B8.在函数①，②，③，④中，最小正周期为所有函数的序号为（）A.①②④ B.①②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】【分析】通过取特值法验证函数的周期排除①；利用图象的翻折规律判断②；根据诱导公式和余弦型函数的周期性公式计算判断③；利用正切型函数的周期公式计算判断④.【详解】对于①，设，因，，显然，故不合题意；对于②，因的最小正周期为，函数的图象可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，即，故符合题意；对于③，因为，故函数的最小正周期为，故不合题意；对于④，因函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，符合题意.故最小正周期为的所有函数的序号为②④.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为第三象限角，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由角所在的象限确定三角函数的符号.【详解】因为为第三象限角，所以，，，则，，的正负不确定．故答案为：ABC.10.下列结论正确的有（）A.若，则B.“”是“”的充分不必要条件C若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质、充分条件和必要条件的定义，分别对选项逐一进行分析即可.【详解】对于A，通过作差法得，，，又的正负无法确定，当时，，即；当时，，即.故A错误.对于B，当时，可以推出，当时，不一定有，例如：时，但不满足，因此“”是“”的充分不必要条件，故B正确.对于C，，，对和作差，，，，.故C错误.对于D，，，根据分子相同，分母越大，分数越小的原则，可得，故D正确.故选：BD.11.已知函数，，则下列结论正确的是（）A.是奇函数B.，C.若，则为定值D.若是三条边的边长，则【答案】ACD【解析】【分析】根据奇函数定义可判断A；根据奇偶性和复合函数单调性判断的单调性，结合对称性和可判断B；利用对称性可判断C；先判断的单调性，然后结合三角形构成条件即可判断D.【详解】对A，因为恒成立，所以的定义域为，又，所以，所以，所以是奇函数，正确；对B，因为是奇函数，所以，所以，因为在上单调递增，且恒成立，所以由复合函数单调性可知在上单调递增，又因为为奇函数，所以在上单调递增，由平移变换可知在上单调递增，因为当时，恒成立，所以，所以，所以恒成立，错误；对C，由可知，当时，，所以，正确；对D，因为在上单调递增，且为增函数，所以在上单调递增，若是三条边的边长，则，所以，正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.角的弧度数为______．【答案】【解析】【分析】根据角度与弧度的互化可得结果.【详解】.故答案为：.13.物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过10分钟，物体的温度为，则再经过20分钟，物体的温度为___________．【答案】30【解析】【分析】首先根据及经过10分钟，物体的温度为，得出的值，再求出再经过20分钟，物体的温度即可．【详解】由题意得，，，代入，得，即，所以，所以，由题意再经过20分钟，将代入，即，得，即再经过20分钟，物体温度为，故答案为：30．14.函数所有零点的和为__________．【答案】22【解析】【分析】将问题转化为函数的图象与直线所有交点的横坐标之和．【详解】由，得，则所有零点的和等价于函数的图象与直线所有交点的横坐标之和．易得的图象与直线均关于点（2，0）对称．又，结合的图象与直线可知，的图象与直线在内共有5个交点，则的图象与直线共有11个交点，且关于点对称，则这11个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为22．故答案为：22四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）计算：．（2）已知，且，求的值．【答案】（1）5；（2）．【解析】【分析】（1）根据指数幂与对数的运算法则，即可求解；（2）根据和差的关系，可得，，再代入求值即可．【详解】解：（1）原式．（2）因为，所以．又，所以，则，则．16.已知是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求的解析式；（2）求的值域．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据是定义在上的奇函数，则时，，当时，，表示出，结合求解析式即可；（2）根据不等式的性质可得，结合奇函数的性质得到值域即可．【小问1详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以．当时，，当时，，则，则．故；【小问2详解】当时，，则，，即当时，．因为是定义在上的奇函数，所以当时，．又，所以的值域为．17.如图，，是两条互相平行的直线，点M，N分别在，上，，点P在线段上，且．点A，B分别在，上，且，设．（1）若为等腰直角三角形，求的值．（2）设面积为S．（i）求S关于的函数解析式；（ii）求S的最小值，并求S取得最小值时的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）最小值为4，．【解析】【分析】（1）过点B作，垂足为C，则，再利用三角函数表示出，结合，可得，进而可得；（2）（i）由（1）可知，，再根据即可求解；（ii）根据基本不等式可得即可得到S的最小值，再结合取等条件即可．【小问1详解】因为为等腰直角三角形，，所以．过点B作，垂足为C，则．因为，所以，．由，得，则；【小问2详解】（i）因为，所以．由（1）可知，，则．（ii）因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，由，，可得，故S的最小值为4，此时．18.已知函数．（1）若的定义域为，求的值．（2）当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）若在上单调，求的最小值．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由对数函数的定义域可得的解集为，然后利用韦达定理求解即可；（2）转化为函数的最大值大于，结合二次函数性质列不等式组求解可知；（3）根据复合函数单调性列出关于的不等式组，利用放缩放求解即可.【小问1详解】由题可知，的解集为，所以0和3是方程的两根，由韦达定理得，即.【小问2详解】当时，，要使在内存在最大值大于1，只需函数的最大值大于.则，即，无实数解，故不存在实数，使得在内存在最大值，且最大值大于1.【小问3详解】若在上单调，记，则由复合函数单调性可知，函数在上单调，且在上恒成立，则或，1）当时，，此时，当且仅当时，等号成立；2）当时，，此时，当且仅当时，等号成立.综上，的最小值为.19.已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点．（1）求的长度及的值；（2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围；（3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入点坐标求出解析式，然后可得的坐标，即可得解；（2）转化为在区间上的最小值大于在上恒成立，然后利用平方关系转化为在上恒成立，解不等式即可；（3）令，然后解方程，然后直接求出相应，结合题意即可得解.【小问1详解】将点坐标代入函数解析式可得：，即，又，所以，所以