初中数学七年级下册：用完全平方公式分解因式（第3课时）教案

初中数学七年级下册：用完全平方公式分解因式（第3课时）教案

一、教学背景分析

（一）教材分析

1、教材地位与作用

本课内容选自苏科版《数学》七年级下册第九章“因式分解”第5节“乘法公式的再认识——因式分解”第3课时。在前两课时中，学生已系统学习提公因式法和运用平方差公式分解因式，完全平方公式在整式乘法阶段已熟练掌握。本课时是乘法公式逆向运用的第二层次，也是代数恒等变形的关键节点。【非常重要】该内容既是对整式乘法的深化，又是后续学习分式化简、一元二次方程求解、二次函数顶点式配方的必备工具，在整个初中代数体系中起着承上启下的枢纽作用。

2、内容编排逻辑

苏科版教材采用“问题情境—建构模型—迁移应用”的螺旋式编排。本课时从一组整式乘法结果与多项式特征的对比入手，引导学生发现完全平方式的结构共性，继而抽象出公式模型，再通过符号化表达形成因式分解方法。教材例5、例6分别对应两项式和三项式的完全平方结构识别，例7引入整体换元思想，【热点】层次清晰、梯度合理。课后习题按“模仿—变式—综合”三级进阶，为不同学力的学生提供发展空间。

3、核心素养体现

本课时集中发展数学抽象、逻辑推理、数学运算三大核心素养。通过观察多项式项数、系数、符号特征归纳出完全平方式标准形式，培养数学抽象；在判断是否符合公式条件及辨析恒等变形正确性的过程中，训练严谨的逻辑推理；在应用公式完成因式分解并解决简单实际问题的过程中，提升运算求解能力。【非常重要】同时，公式的结构对称美、逆向思维与整体代换思想，也承载了数学审美与理性精神的浸润价值。

（二）学情分析

1、知识基础

学生已掌握整式乘法中完全平方公式（a±b²＝a²±2ab＋b²）的正向运用，熟悉公式的文字语言、符号语言和几何背景；在因式分解前两课时中，初步建立了“整式乘法与因式分解互为逆变形”的观念，并积累了用平方差公式分解二项式的经验。【重要】但将完全平方公式逆向使用时，常出现符号处理错误、中间项系数2的遗漏、首尾项判定为完全平方后忽视交叉项验证等典型问题。

2、能力水平

七年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。大部分学生能够模仿例题完成直接套公式的分解任务，但在三项式变形成标准完全平方式、高次项或含字母系数的多项式识别上存在困难；【难点】整体换元思想尚处萌芽期，需要借助脚手架分步搭建。

3、心理特征

该年龄段学生好奇心强，对具有对称美、简洁美的数学结论更易产生兴趣；但同时畏难情绪明显，面对稍复杂的多项式容易放弃尝试。本课时设计将着力于将“冷冰冰的公式套用”转化为“寻找多项式中的对称密码”，通过游戏化任务、纠错辨析激活思维。

（三）设计理念

以“结构关联、意义建构、深度理解”为核心设计导向。不将公式作为静态结论灌输，而是创设“逆向工程师”角色情境，让学生经历观察—猜想—验证—归纳—应用的完整发现过程。课堂推进以“识别特征—辨析关键—变式突破—综合创造”为主线，【非常重要】将公式的“形”与“神”深度融合。所有训练均嵌入真实易错情境，变被动纠错为主动预防。跨学科视角下，引入美术中的轴对称构图、建筑中的对称结构作为引子，激活审美共鸣，降低代数抽象带来的认知负荷。

二、教学目标与核心素养

（一）知识与技能

1、理解完全平方式的概念，能准确说出完全平方公式因式分解的形式：a²＋2ab＋b²＝（a＋b）²，a²－2ab＋b²＝（a－b）²。【非常重要】【高频考点】

2、能判断一个多项式是否为完全平方式，并能将符合公式特征的多项式因式分解。

3、掌握用完全平方公式分解因式的一般步骤：一提取（公因式）→二判定（项数、符号、系数）→三套用→四检查。

4、能运用整体换元思想分解稍复杂的多项式，如（x＋y）²－6（x＋y）＋9。

（二）过程与方法

1、经历从整式乘法到因式分解的逆向建模过程，进一步体会“逆向思维”在代数学习中的价值。【重要】

2、通过对比、辨析、归纳等活动，发展符号意识和模型思想。

3、在小组互编互解因式分解题目的活动中，初步形成质疑、反思、创新的学习习惯。

（三）情感态度与价值观

1、感受数学公式的对称简洁之美，增强对代数学习的积极情感。

2、在攻克符号判断、系数配凑等难点时，养成严谨细致、精益求精的科学态度。

3、通过跨学科素材渗透，感悟对称结构在自然与人文中的普遍存在。

三、教学重难点

（一）教学重点

运用完全平方公式分解因式的原理与步骤。【非常重要】【高频考点】

（二）教学难点

1、准确识别完全平方式的结构特征，特别是中间项系数是否为±2倍首尾乘积。【难点】

2、符号的处理：当首项系数为负或平方项前为负号时，如何通过提负号转化为标准形式。

3、整体换元思想的自然生成与规范表达。

四、教学方法与策略

（一）教法

采用“问题驱动—变式递进—支架搭建”的复合型教学法。以核心问题链贯穿全课，通过一组由浅入深的辨析题暴露学生前概念，在认知冲突中引出公式本质。变式教学贯穿例题与练习，通过改变指数、系数、位置、符号等方式，在“变”中抓“不变”。对于换元难点，采用“脱外套—露内核—穿新衣”三步隐喻支架，【难点】帮助学生实现认知跃迁。

（二）学法

倡导“个体静思—小组互议—全班共评”交替进行。每一个新例题出现后，先给予学生独立观察、尝试的时间，而后在4人小组内交流各自对多项式结构的解读，最后选取典型样本全班辨析。将错误资源化，以错启思。

五、教学准备

1、教师：制作动态几何画板课件，演示完全平方式的几何拼图模型（正方形切割与拼接）；印制课堂学习单（含三阶闯关卡、易错病历卡）。

2、学生：复习整式乘法中完全平方公式的两种形式及推导过程；预习教材第72—73页，尝试完成“想一想”。

六、教学实施过程

（一）回顾引新，激活经验（约6分钟）

1、开门见山，公式复现

【教师活动】板书左侧写整式乘法：（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²；（a－b）²＝a²－2ab＋b²。右侧写因式分解：a²－b²＝（a＋b）（a－b）。提问：从右向左看，平方差公式告诉我们，二项式有可能写成两数和差积。那么，三项式有没有类似的逆向公式？

【学生活动】回忆并口答左侧公式，观察右侧留白，产生认知期待。

2、逆向猜想，迁移类比

【教师活动】呈现三组式子：①x²＋8x＋16＝（）²；②x²－8x＋16＝（）²；③4x²＋12x＋9＝（）²。要求学生通过计算（x＋4）²、（x－4）²、（2x＋3）²验证逆向成立。

【学生活动】独立计算并填空，发现整式乘法的结果与左侧多项式完全一致，初步感知“公式可逆”。

【设计意图】从平方差公式的逆向迁移到完全平方公式，借助计算验证降低认知门槛，【一般】但已渗透重要观念：公式是双向的。

3、揭示课题，定向明标

【教师活动】在板书中央醒目书写课题：用完全平方公式分解因式。并出示本节课三维学习目标（投影），带领学生朗读关键动词：“识别、判断、套用、检验”。

【重要】此处明确将“判断”前置，强调公式使用的门槛在于识别，而非机械计算。

（二）探究发现，建构模型（约10分钟）

1、特征初感，归纳要素

【教师活动】呈现四个多项式：A、x²＋6x＋9；B、x²－10x＋25；C、4x²＋20x＋25；D、x²＋6x＋8。

【问题链】（1）哪些能写成某个式子的平方？哪些不能？（2）能写成平方的三个式子，从项数、符号、系数上看有什么共同特征？

【学生活动】小组合作，提取公因式。学生汇报：都是三项式；首尾两项都是完全平方（x²、9等）；中间项是首尾底数乘积的2倍，符号与平方内符号一致；D项中间6x不是2×x×4，因此不能。

【教师归纳】板书：完全平方式的标准结构——首平方，尾平方，首尾乘积2倍在中央，符号看前方。【非常重要】【高频考点】

2、符号化抽象，生成公式

【教师活动】追问：如果把首项底数记为a，尾项底数记为b，上面三个式子分别对应哪个等式？引导学生用字母概括。

【学生活动】尝试写出a²±2ab＋b²＝（a±b）²。教师纠正a、b可以是一个单项式（如x、2x），也可以是今后学习的多项式。

【几何直观辅助】动态演示边长为a＋b的大正方形分割成边长为a、b的两个小正方形及两个ab矩形，突出面积恒等，强化公式几何意义。

3、辨析本质，厘清误区

【教师活动】给出反例：x²＋4x＋4与x²＋4x＋4y²。提问：后者是三项式，首尾也分别是平方，为什么不能用公式？

【学生活动】发现尾项必须是单个非负表达式的平方，4y²虽然可写成（2y）²，但此时“中间项”应为2·x·2y＝4xy，与现有4x不符，因此整体不是完全平方式。

【难点突破】引导学生明确：完全平方式中的“a”和“b”必须是从平方项开方后得到的单一底数，且中间项必须恰好是2ab。任何项数、符号、系数的偏差都会破坏结构。【难点】

（三）范例精析，深化理解（约15分钟）

1、基础型例题——直接套用

例1：分解因式（1）x²＋12x＋36；（2）16a²－56ab＋49b²。

【教师活动】示范解题格式，强调步骤：

【1】先看是否有公因式，此题无；

【2】将首项16a²写成（4a）²，尾项49b²写成（7b）²；

【3】验证中间项：2×4a×7b＝56ab，与原式－56ab符号一致，因此是－2ab形式；

【4】套用公式：原式＝（4a－7b）²；

【5】检查：利用整式乘法还原检验。

【非常重要】板书务必呈现每一步逻辑，尤其“验证”一步绝不可省略，这是与整式乘法的核心区别。

【学生活动】模仿练习：4x²＋20xy＋25y²。两名学生板演，集体订正。

2、变式型例题——先提后套

例2：分解因式（1）－x²－4y²＋4xy；（2）3ax²＋6axy＋3ay²。

【教师活动】（1）引导学生观察：三项式，但平方项均为负。提问：公式中首尾项是正平方，怎么办？

【学生活动】发现可先提取“－1”：原式＝－（x²＋4y²－4xy），括号内调整为x²－4xy＋4y²，识别为（x－2y）²，故原式＝－（x－2y）²。

【教师强调】首项负号时，先提负号再处理；【高频考点】提负号时括号内每一项都变号。

（2）引导学生先提取公因式3a：原式＝3a（x²＋2xy＋y²）＝3a（x＋y）²。

【重要】提炼口诀：“一提二套三彻底”。【非常重要】因式分解必须分解到每个因式不能再分为止。

3、综合型例题——整体换元

例3：分解因式（x＋y）²－10（x＋y）＋25。

【难点突破】教师采用“外套—内核”隐喻：将（x＋y）看作一个整体，记作m。原式化为m²－10m＋25，这是一个关于m的完全平方式，等于（m－5）²；再将m还原为（x＋y），得（x＋y－5）²。

【学生活动】组内互讲：同伴互相解释把谁当成了a，谁当成了b，为什么可以这样代换。

【拓展延伸】呈现（a＋b）²－6（a＋b）c＋9c²，学生独立尝试后交流，发现此时a＝（a＋b），b＝3c，套用公式得（a＋b－3c）²。

【热点】整体换元是后续学习换元法解方程、函数配方的雏形，虽不要求七年级书写“设……”，但思想必须渗透。

（四）分层训练，巩固内化（约18分钟）

1、基础巩固层——全员必做

【学习单任务一】火眼金睛：下列多项式哪些是完全平方式？是的打√，并分解；不是的打×，并说明理由。

（1）x²＋4x＋4（2）x²－6x＋9（3）4x²＋6x＋9（4）9x²－12x＋4y²（5）a²＋ab＋b²

【重要】第（3）题中间6x≠2·2x·3＝12x，不是；第（4）题尾项是（2y）²，但中间－12x并非2·3x·2y＝12xy，整体不是；第（5）题中间缺少系数2。学生在辨析中强化公式结构唯一性。

【标注难点】此处学生极易将（5）误判为完全平方式，需反复强调“2倍”是必要条件。

2、能力提升层——组内选做

【学习单任务二】因式分解诊所：下列分解过程有误，请扮演医生“诊断病因”并改正。

病例1：x²＋8x＋16＝（x＋4）²——诊断：正确，无需改。

病例2：4x²－12xy＋9y²＝（2x－3y）²——诊断：正确。

病例3：－x²＋2xy－y²＝（x－y）²——诊断：错误，提取负号后应为－（x－y）²。

病例4：4a²b²＋4ab＋1＝（2ab＋1）²——诊断：正确，将2ab视为整体。

病例5：x⁴－2x²＋1＝（x²－1）²——诊断：正确，但注意（x²－1）²还可继续分解为（x＋1）²（x－1）²，此处因式分解不彻底。【重要】

【教师巡视】重点关注病例5，绝大多数学生做到（x²－1）²即止步，需引导回顾平方差公式，强调因式分解的终极目标——质因式（数）。

3、拓展探究层——学有余力

【学习单任务三】智慧冲浪：

（1）已知多项式4x²＋mx＋25是一个完全平方式，求m的值。

【教师提示】完全平方式有两种可能：中间项为±2·2x·5＝±20x，故m＝±20。【热点】【高频考点】学生易丢负解。

（2）用简便方法计算：2024²－4048×2023＋2023²。

【跨学科链接】引导学生将数字2024和2023分别看作a、b，原式＝2024²－2×2024×2023＋2023²＝（2024－2023）²＝1。体现完全平方公式在简化计算中的威力。

（3）拼图游戏：给定若干张正方形（边长为a、b）和长方形（长a宽b），如何拼成一个更大的正方形？写出拼成的正方形面积表达式，并分解因式。

（五）反思小结，认知升华（约5分钟）

1、知识结构化梳理

【教师活动】使用思维导图式板书补全，师生对话中形成网络：

因式分解方法→（提取公因式法、公式法）→公式法→（平方差、完全平方）→完全平方→（两项式结构、三项式结构、项数、符号、系数、整体思想）。

【学生活动】每人用一句话总结本节课“最需要警惕的一个坑”。

典型语录：“要先看能不能提公因式！”“不能看见三项式就用公式，必须验证中间项。”“提负号括号里每一项都要变号。”

【非常重要】将隐性错误经验显性化，形成班级共享的“避坑指南”。

2、思想方法凝练

教师引导学生提炼本课蕴含的数学思想：逆向变换、数形结合、整体代入、分类讨论。这些思想将在后续学习中反复出现，今日扎根越深，明日生长越茂。

（六）目标检测，即时反馈（约6分钟）

发放课堂微检测（5分钟，4道题），当堂批阅，典型错误当堂点评。

【1】分解因式：x²－18x＋81＝（x－9）²。

【2】分解因式：－2x²＋8xy－8y²＝－2（x－2y）²。

【3】分解因式：（m＋n）²－8（m＋n）＋16＝（m＋n－4）²。

【4】如果x²－2（m－1）x＋25是完全平方式，求m的值。

（分析：a＝x，b＝5，中间项－2（m－1）x＝±2·x·5→－2（m－1）＝±10→m－1＝±5→m＝6或m＝－4。）【难点】【高频考点】

教师收集错误率高的选项，作为下节课“微专题”补丁素材。

七、板书设计

黑板左侧：核心公式区——（a±b）²＝a²±2ab＋b²双向箭头对应a²±2ab＋b²＝（a±b）²；并配文字口诀“首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号前方定加减”。

黑板中侧：结构辨析区——完全平方式三项缺一不可，首尾须平方，中间恰为±2ab；展示正例、反例对比。