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文档简介

直线参数方程参数的几何意义近些年来，高考三选一中，第23题选修4-4极坐标与参数方程中，对于直线参数方程考察中，直线参数t的几何意义的考察极为平凡，尤其重要。基于此，理解参数t的几何意义，对于解决直线与曲线相交问题显得至关重要，成为解决此类问题的关键。本文就一些常见的题型举例说明。★预解决知识点：过定点（x0，y0），倾角为α的直线的参数方程：（t为参数）直线的方向向量为满足，由=得到故直线参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M到定点的距离．即：当方向与同向时，t取正数；当方向与反向时，t取负数；题型一：求直线与曲线相交的弦长【例1】已知直线的参数方程为，若直线与曲线：相交于两点，求弦长的值。解：将直线的参数方程为代入曲线：中得，设此方程两根分别为则，可知异号，则【变式1】已知抛物线，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，求证：.分析：此题同属直线与曲线相交，弦长问题，只是这是一条过抛物线的焦点弦。【解】抛物线的焦点为，直线的参数方程为，将此参数方程代入中得：设此方程两根分别为，则，可知异号，得证。【评析】设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为，则此类问题，用直线参数方程和曲线普通方程联立，利用参数的几何意义求解弦长问题，普遍是简化了计算量，从而提高了准确率。题型二：求定点到过定点直线与曲线的交点的距离【例2】设直线经过点，倾斜角为求直线和直线的交点到点的距离；求直线和圆的两个交点到点的距离的和与距离的积。分析：第一问直线与曲线的交点，还是直线上的点，实际上就是直线所过定点到直线上动点的距离，该距离就是直线参数方程标准式中的几何意义，即。【解】（1）直线的参数方程为，将此方程代入中，得参数，则直线和直线的交点到点的距离为将直线的参数方程为代入中得，设此方程两根分别为则，可知同号均为负值，直线和圆的两个交点到点的距离的和为直线和圆的两个交点到点的距离的积为【变式2】经过点，倾斜角为的直线和圆相交于两点，求和的值。【解】将直线的参数方程为代入中得，设此方程两根分别为则，可知异号，【评析】直线与曲线相交于两点时，定点到这两点距离之和：直线与曲线相交于两点时，定点到这两点距离之积：此类问题一定注意的符号。题型三：求解中点问题【例3】经过点，斜率为的直线和抛物线相交于两点，设线段中点为，求点的坐标。【解】由题知直线该直线的参数方程为，代入中得,,则点对应的参数，点的坐标为【变式3】已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，求线段的中点的轨迹方程。解：设，则直线的参数方程为，代入双曲线方程得：，，点为线段AB的中点时，即，化简得，又直线的斜率，则，得线段的中点的轨迹方程【评析】线段AB的中点所对应的参数特别地：当点为线段AB的中点时，反之亦然。即点对应参数。本题如果用常规思路以为定点做直线的参数方程，计算量相当大，不易得出结果。所以如果换做以中点作为定点建立参数方程，前期看似复杂，但利用定点为线段中点时参数的知识点，轨

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