湖南省、广西壮族自治区天一大联考2026年高三年级4月联考数学+答案

HUN202604

高三数学●答案

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.

1.D2.A3.A4.B5.C6.D

7.B8.C

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的

得0分.

9.ABD10.AC11.ACD

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.x_π2y_2π=013.14

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.解析(1)由已知得αn+1=αn+21αn+1=(1αn+1),

显然αn>0,所以,…………(3分)

所以数列{1αn}是首项为1α1=1,公差为1的等差数列,………………(4分)

所以即2……………………分

1αn=n,αn=n.(6)

(2)由题意知f

所以f

(13分)

16.解析(1)如图,连接BE.在矩形ABCD中,有AD丄DE,所以AP丄PE,

又因为AP丄BP,BP∩PE=P,所以AP丄平面BPE,………(2分)

所以AP丄BE.

由题意知DE=CE=1,所以AE=BE=12,

__1__

则AE2+BE2=4=AB2,故AE丄BE.…………(4分)

又因为AP∩AE=A,所以BE丄平面APE,…………………(5分)

因为BEC平面ABCD,所以平面APE丄平面ABCD.………(6分)

_→_→

(2)以D为坐标原点,以DA,DC的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.……(7分)

由已知可得A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P

所以(9分)

设平面APB的法向量为"=(x,y,z),

则取"=(12,0,1).…………………(12分)

所以|c0S

2

故直线PC与平面APB所成角的正弦值为1(15分)

3

17.解析(1)直线PQ的斜率kPQ……………(2分)

联立与y化简得x4_4x2+=0,………(3分)

由得0<k

由根与系数的关系得x……………(5分)

由于x1,x2>0,所以x1xk,

所以kPQ

所以直线PQ的斜率为定值…………(7分)

__2__

(11分)

因为

所以S……………(13分)

由(1)知0<k<13,则0<S<13,所以S的取值范围为(0,13).………(15分)

2

18.解析(1)从集合{1,2,3,4}中随机选取2个不同的元素,有C4=6种情况,

分别为{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}.………(2分)

Y的所有可能取值为1,2,3,

P(4分)

E…………………(5分)

m

(2)从集合{1,2,…,n}中随机选取m个不同的元素,有Cn种方法,要满足X=k,则需取出元素k,其余(m_

1)个元素是从小于k的(k__1)个元素中选出的,所以Pk=m,m+1,…,n).

Ek.Pk.C(7分)

因为k.Cm.C

所以Em.C

……………………(12分)

(3)从集合{1,2,…,n}中随机选取m个不同的元素,对每一种满足X=k的取法,如取到k,k1,…,km_1,其中

k>k1>k2>…>km_1,我们都可以构造另一种取法,取到n+1_k,n+1_k1,n+1_k2,…,n+1_km_1,在这

种取法中,Y=n+1_k,

所以P(X=k)=P(Y=n+1_k).

__3__

因为Ek.P

所以E.P=nk.P(X=k)=n+1_E(X).…………(15分)

所以E(Z)=E(X_Y)=E(X)_E(Y)=2E(X)_(n+1)

(17分)

19.解析=ex,则对任意的“∈R,f=e,f

所以f(x)的图象恒过点(0,e)和………………(2分)

求导得f'(x)=ex+1_“x_“,

所以f'由题意知f'(0)=f'(_2),即e,

解得………………………(4分)

(2)(i)由f'(x)=0,得,令t=x+1,则

因为f(x)有两个极值点x1,x2,

所以f'(x)有两个变号零点,即直线y=“与g的图象有两个不同的交点.……(‘分)

由g'可知g(t)在(_∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,作出g(t)的大致图象

如下:

…………………(8分)

结合g(t)的图象,可知“>g(1)=e,即“的取值范围是(e,+∞).……(9分)

(ü)记t1=x1+1,t2=x2+1,由(i)可知,且0<t1<1<t2.

要证明(x1+1)(x2_x1)<1(e__“)(e__“_4),即证明t1(t2_t1)<1(e__“)(e__“_4),

只需证t2_t1<1(e__“)(e__“_4).………