立体图形的直观图课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.2立体图形的直观图下面几何体分别是什么几何体？长方体五棱锥圆柱圆锥圆台四棱台这些图形就是空间几何体的直观图

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。

画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。

因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。

要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。观察：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.下面我们来学习利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图.都是平行四边形

ABCDyxOy′x′O′D′C′B′A′用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤x不变，y折半平行关系不改变x′y′O′xyODACBD’A’C’B’MNM’N’用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如何在已知图形中建立直角坐标系?①在已知图形中建立直角坐标系时要尽量利用原有图形中的对称性和垂直关系；②尽可能将关键点放到坐标轴上或是平行于坐标轴的直线上，或是过这些点作平行于坐标轴的直线.

在利用斜二测画法画直观图的过程中,x轴和y轴起到了什么作用?为确定图形中的点的位置提供参照系.例1、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图解：(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°(2)以O'为中心，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取以点N'为中心，画B'C'平行于x'轴，并且等于BC；再以M'为中心，画E'F'平行于x'轴，并且等于EF。(3)连接A'B'，C'D'，E'F'，F'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'。如何在已知图形中建立直角坐标系?①在已知图形中建立直角坐标系时要尽量利用原有图形中的对称性和垂直关系；②尽可能将关键点放到坐标轴上或是平行于坐标轴的直线上，或是过这些点作平行于坐标轴的直线.

在利用斜二测画法画直观图的过程中,x轴和y轴起到了什么作用?为确定图形中的点的位置提供参照系.①斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45º(或135º)，“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半.②画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），对于与坐标轴不平行的线段，通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.斜二测画法画平面图形的直观图的剖析

③斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：x不变，y折半。平行关系不改变

生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，立体几何中，我们常用正等测画法画水平放置的圆，在实际画水平放置的圆的直观图时常用下图所示的椭圆模板。

水平放置的圆给我们的视觉效果是什么图形呢？【练习1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）相等的线段在直观图中仍然相等.（）

（2）平行的线段在直观图中仍然平行.（）

（3）一个角的直观图仍是一个角.（）

（4）相等的角在直观图中仍然相等.（）√√××ABCD直观图A′B′C′D′书109页

练习【练习2】用斜二测画法画出水平放置的正三角形的直观图（尺寸自定）yxOABCy′x′O′A′B′C′思考正三角形原图形与直观图的面积具有怎样的数量关系？结论：

y′x′O′C′B′(A′)9

画几何体的直观图时，一般先使用平面图形的斜二测画法画几何体的底面，这时与画平面图形的直观图相比，只要多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.下面介绍几种简单几何体的直观图的画法.xyozxyo【例2】已知长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为3cm、2cm、1.5cm，

用斜二测画法画出它的直观图.ABCDz[画法]

（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.（2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm;在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.xyo【例2】已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm，

用斜二测画法画出它的直观图.ABCDzA′B′C′D′A′B′C′D′ABCD（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5cm，过B，C，D各点分别作z轴平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB'，CC'，DD'.（4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了.练习2棱柱的画法：请画出底面边长为1，高为3的正六棱柱的直观图.x＇y＇O＇z＇B＇C＇D＇E＇F＇A＇BCDEFAH＇G＇baABCDEFO书P111-T24.斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个___轴，直观图中与之对应的是___轴．(2)画底面：平面____________表示水平平面，平面____________和____________表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中________和______都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______．zz′x′O′y′y′O′z′x′O′z′平行性长度虚线（1）在已知空间几何体中取水平平面，在水平平面内取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．过点O取与x轴、y轴都垂直的z轴.画直观图时，把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，三轴相交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，∠x'O'z'＝90º，x'轴与y'轴所确定的平面表示水平面．（3）已知几何体中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．（2）已知几何体中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段．4.斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

（4）连线成图以后，擦掉作为辅助线的坐标轴，将被遮挡的部分改为虚线，就得到了空间几何体的直观图.【例3】已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.解：(1)画轴.如图，画x轴，z轴，使∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A、B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.(3)画上底面.在Oz上截取O'，使OO'=3cm.过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.(4)成图.连接AA',BB'，整理得到圆柱的直观图.O圆锥O球

对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.

画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性．O球【例4】某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再