2026北师大版小升初数学：工程问题专项练习（含答案）

2026北师大版小升初数学：工程问题专项练习一、考点梳理（工作总量、效率、时间）工程问题是北师大版小升初数学的核心应用题模块，贯穿小升初试卷中档题、难题部分，核心考查学生对“工作总量、工作效率、工作时间”三者关系的灵活运用，重点聚焦单人工程、多人合作、中途退出/加入等高频场景，侧重分析工程推进过程、找准数量对应关系，是小升初必考、易丢分模块。本模块核心考点梳理如下，精准贴合北师大版教材重点，规避冷门知识点，聚焦高频考点和解题方法：（一）核心三要素（必考）核心定义：工程问题中，将“整个工程的工作量”称为工作总量，“单位时间内完成的工作量”称为工作效率，“完成整个工程或部分工程所用的时间”称为工作时间，三者紧密关联，是解决所有工程问题的基础。1.核心公式①核心关系式：工作总量=工作效率×工作时间；②推导公式：工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率③补充：单人工作效率=1÷单人完成工程的总时间（当工作总量未明确给出时，默认工作总量为单位“1”）；多人合作效率=各单人工作效率之和；多人合作时间=工作总量÷多人合作效率2.解题关键1.确定工作总量：若题目未明确给出具体工作量（如“修一条公路”“做一批零件”），默认工作总量为单位“1”，这是北师大版小升初工程问题最常用的解题前提；若给出具体工作量（如“修一条360米的公路”），直接用具体数值计算。2.找准工作效率：单人效率=1÷完成工程的总时间（如“甲单独做需10天完成”，则甲的效率为1/10）；多人合作效率需将各单人效率相加，中途退出/加入时，需调整合作效率。3.对应数量关系：明确题目所求（求时间、效率或工作量），根据核心公式逆用、变形，结合工程推进过程（如“先单独做、再合作”“合作中途有人退出”），分步计算。3.典型场景1.单人工程：已知单人完成工程的时间，求工作效率；或已知效率，求完成工程的时间。2.两人/多人合作：已知各单人完成工程的时间，求合作完成时间；或已知合作时间，求单人效率。3.综合工程：先单独做、再合作；合作中途有人退出/加入；有具体工作量的工程问题（贴合北师大版教材拓展题型）。（二）合作问题（高频考点）核心定义：两人或多人共同完成一项工程，核心是“合作效率=各单人效率之和”，结合工作总量，计算合作时间或完成的工作量，是小升初工程问题的重点考查场景。1.核心公式（延伸）①两人合作：合作效率=甲效率+乙效率；合作时间=工作总量÷（甲效率+乙效率）②多人合作：合作效率=甲效率+乙效率+丙效率+...；合作时间=工作总量÷多人合作效率③部分合作：先单独做a小时，再合作b小时，总工作量=单人a小时工作量+合作b小时工作量2.解题关键1.区分“合作时间”与“单独时间”：明确哪些阶段是单人工作，哪些阶段是多人合作，避免混淆效率（单独工作用单人效率，合作时用合作效率）。2.处理“中途退出/加入”：若有人中途退出，合作效率需减去该人的效率；若有人中途加入，合作效率需加上该人的效率，同时注意调整工作时间的分段计算。3.统一计算标准：若部分人效率用具体数值（如“每天做10个零件”），部分人用单位“1”相关效率，需先统一标准（要么都用具体数值，要么都用单位“1”）。3.典型场景1.两人同时合作，求完成工程的时间；2.一人先单独做，另一人再加入合作，求总时间；3.合作中途一人退出，求剩余工程的完成时间；4.多人合作，求其中一人完成的工作量。二、基础练习（填空、计算、应用题）本模块侧重工程问题基础知识点巩固，题型贴合北师大版教材课后习题难度，覆盖工作总量、效率、时间三要素及合作问题，分为填空、计算、应用题三类，帮助学生夯实基础，规范列式步骤，适配小升初基础题型考情，计算、应用题需写出完整列式过程（填空除外）。（一）填空题（每题2分，共20分）1.工程问题中，工作总量、工作效率、工作时间的核心关系式是：（）。2.一项工程，甲单独做需要12天完成，甲的工作效率是（）；乙单独做需要15天完成，乙的工作效率是（）。3.甲、乙两人合作完成一项工程，甲效率是1/8，乙效率是1/10，两人的合作效率是（），合作完成这项工程需要（）天。4.一项工程，甲单独做6天完成，每天完成这项工程的（），3天完成这项工程的（）。5.甲、乙合作做一项工程，每天完成工程的1/6，合作3天后，还剩下这项工程的（）。6.一项工程，甲效率是1/10，乙效率是1/12，（）的效率更高，两人合作（）天能完成工程的11/60。7.修一条公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天，两队合作修，（）天能修完这条公路的一半。8.一项工程，甲单独做需要18天，甲做了6天后，剩下的工程由乙单独做，乙用了10天完成，乙的工作效率是（）。9.两人合作完成一项工程，合作效率是1/9，甲单独做需要18天，乙单独做需要（）天。10.一项具体工程，工作量是360个零件，甲每天做30个，乙每天做20个，两人合作（）天能完成全部零件。（二）计算（每题5分，共20分）要求：写出完整列式过程，计算结果准确，单位规范（若有），侧重工作总量、效率、时间的核心关系计算。1.单人工程：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲的工作效率比乙高多少？2.合作工程：甲、乙两人合作完成一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需12天，两人合作，几天能完成这项工程？3.部分合作：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需18天，甲先单独做3天，剩下的由两人合作，还需要几天完成？4.具体工作量工程：一批零件共480个，甲每天做40个，乙每天做20个，两人合作完成这批零件，甲比乙多做多少个？（三）应用题（每题6分，共30分）要求：写出完整解题过程（审题分析、列式、计算、答），单位规范，侧重数量关系分析和解题思路。1.单人工程：一项工程，甲单独做需要16天完成，乙单独做的效率是甲的2倍，乙单独做这项工程需要多少天？2.合作工程：修一条水渠，甲队单独修需要25天，乙队单独修需要30天，两队同时从两端开工合作，修完这条水渠需要多少天？（结果保留一位小数）3.综合合作：一项工程，甲单独做需15天，乙单独做需20天，甲先单独做5天，然后乙加入和甲合作，剩下的工程还需要几天完成？4.中途退出问题：甲、乙两人合作完成一项工程，合作效率是1/6，甲单独做需12天，两人合作2天后，甲因事退出，剩下的工程由乙单独做，还需要几天完成？5.具体工作量工程：一个仓库有货物600吨，甲队每天运30吨，乙队每天运20吨，两队合作运货，多少天能运完仓库货物的4/5？三、易错突破（单位“1”、合作问题）本模块聚焦小升初工程问题的高频易错点，结合北师大版学生常犯错误，重点突破“单位‘1’的误用”“合作效率与单独效率混淆”两大难点，通过“误区示例+错误原因+正确解答”的形式，帮助学生规避易错点，规范解题思路，提升解题正确率。（一）单位“1”误用易错辨析（每题5分，共20分）1.误区1：未明确工作总量，误用具体数值代替单位“1”示例：一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，两人合作几天能完成？错误列式：（10+15）÷2=12.5（天）。错误原因：未默认工作总量为单位“1”，误将单独完成时间当作工作总量，混淆“时间”与“工作量”，直接求时间的平均值，不符合工程问题核心逻辑。正确解答：默认工作总量为1，甲效率=1÷10=1/10，乙效率=1÷15=1/15，合作效率=1/10+1/15=1/6，合作时间=1÷1/6=6（天）；完整列式：1÷（1/10+1/15）=6（天）；关键提示：未给出具体工作量时，工作总量默认是单位“1”，需先求效率再算时间。2.误区2：混淆“完成工程的几分之几”与“剩余工程的几分之几”示例：一项工程，甲单独做需要8天，乙单独做需要12天，两人合作3天，完成了这项工程的几分之几？错误列式：1-3×（1/8+1/15）=1-3×11/40=7/40。错误原因：审题不清，题目求“完成的工作量”，却错误计算“剩余的工作量”，混淆“完成”与“剩余”的含义，且乙效率计算错误。正确解答：甲效率=1/8，乙效率=1/12，合作效率=1/8+1/12=5/24，3天完成的工作量=3×5/24=5/8；完整列式：3×（1/8+1/12）=5/8；关键提示：审题时圈出“完成”“剩余”等关键词，明确计算目标。3.误区3：有具体工作量时，仍盲目使用单位“1”，导致计算错误示例：一批零件共360个，甲单独做需要12天，乙单独做需要18天，两人合作几天能完成？错误列式：1÷（1/12+1/18）=36/5=7.2（天）。错误原因：题目给出具体工作量（360个零件），仍盲目使用单位“1”计算，虽然结果数值正确，但逻辑不严谨，且不符合北师大版具体工作量工程题的解题要求。正确解答：甲每天做360÷12=30（个），乙每天做360÷18=20（个），合作每天做30+20=50（个），合作时间=360÷50=7.2（天）；完整列式：360÷（360÷12+360÷18）=7.2（天）；关键提示：有具体工作量时，优先用具体数值计算，更贴合题意。4.误区4：误将“单独完成时间”当作“工作效率”示例：一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，两人合作，每天完成这项工程的几分之几？错误列式：10+15=25，1÷25=1/25。错误原因：混淆“单独完成时间”与“工作效率”，误将时间相加当作合作时间，再求效率，违背“效率=1÷时间”的核心公式。正确解答：甲效率=1÷10=1/10，乙效率=1÷15=1/15，合作效率=1/10+1/15=1/6；完整列式：1/10+1/15=1/6；关键提示：单独效率=1÷单独完成时间，合作效率是各单独效率之和，与单独时间无关。（二）合作问题易错解析（每题5分，共20分）1.误区1：忽略“中途退出/加入”，全程用同一合作效率计算示例：甲、乙两人合作完成一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需18天，两人合作2天后，甲退出，剩下的由乙单独做，还需要几天完成？错误列式：（1-2×1/12）÷1/18=15（天）。错误原因：忽略“甲退出”的条件，前2天是合作，却错误用甲的单独效率计算前2天的工作量，未计算合作效率，导致后续剩余工作量计算错误。正确解答：甲效率=1/12，乙效率=1/18，合作效率=1/12+1/18=5/36，2天完成工作量=2×5/36=5/18，剩余工作量=1-5/18=13/18，乙单独完成剩余所需时间=13/18÷1/18=13（天）；完整列式：[1-2×（1/12+1/18）]÷1/18=13（天）；关键提示：中途退出/加入时，需分段计算，不同阶段用对应的效率（合作/单独）。2.误区2：混淆“合作时间”与“单人工作时间”，误将合作时间当作单人时间计算工作量示例：甲、乙两人合作完成一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需10天，两人合作4天，甲完成了这项工程的几分之几？错误列式：4×（1/8+1/10）=9/10。错误原因：题目求“甲单独完成的工作量”，却错误用合作效率计算，混淆“甲的单独工作量”与“两人合作的总工作量”。正确解答：甲的效率=1/8，合作4天，甲完成的工作量=4×1/8=1/2；完整列式：4×（1÷8）=1/2；关键提示：求单人完成的工作量，用单人效率×该人的工作时间，与合作效率无关。3.误区3：多人合作时，漏加其中一人的效率，导致合作效率计算错误示例：甲、乙、丙三人合作完成一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，丙单独做需20天，三人合作几天能完成？错误列式：1÷（1/10+1/15）=6（天）。错误原因：多人合作时，漏加丙的工作效率，只计算了甲、乙的合作效率，导致合作时间计算偏短。正确解答：甲效率=1/10，乙效率=1/15，丙效率=1/20，三人合作效率=1/10+1/15+1/20=13/60，合作时间=1÷13/60≈4.6（天）；完整列式：1÷（1/10+1/15+1/20）≈4.6（天）；关键提示：多人合作时，需将所有参与合作的人的效率相加，避免漏加、错加。4.误区4：合作问题中，误将“效率比”当作“时间比”，导致计算错误示例：甲、乙两人合作完成一项工程，甲、乙的效率比是3:2，甲单独做需10天，乙单独做需几天？错误列式：10×3/2=15（天）。错误原因：混淆“效率比”与“时间比”，效率与时间成反比，误将效率比当作时间比，导致乙的单独时间计算错误。正确解答：甲效率=1/10，甲、乙效率比=3:2，乙效率=1/10×2/3=1/15，乙单独完成时间=1÷1/15=15（天）；完整列式：1÷（1/10×2/3）=15（天）；关键提示：工作效率与单独完成时间成反比，效率比的反比是时间比。四、真题演练（近三年小升初真题）本模块精选2023-2025年北师大版小升初真题（原创改编，贴合真实考情，无采集），涵盖工作总量、效率、时间三要素及合作问题，兼顾基础题、中档题和易错题型，重点考查工作总量-效率-时间关系分析、审题能力和规范解题能力，帮助学生熟悉真题难度、命题规律，提升应试能力，每题均附详细解析（见第五部分）。1.（2025年北师大版小升初真题）应用题（8分）一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成，甲、乙两人合作，几天能完成这项工程的2/3？（基础题，考查合作效率与工作量计算）2.（2024年北师大版小升初真题）应用题（8分）修一条公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天，两队同时开工合作，修完这条公路时，甲队比乙队多修了600米，这条公路全长多少米？（中档题，考查具体工作量与单位“1”结合）3.（2023年北师大版小升初真题）应用题（10分）一项工程，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成，甲先单独做3天，然后乙加入合作，合作一段时间后，甲因事退出，剩下的工程由乙单独做了4天完成，甲、乙合作了几天？（中档题，考查中途退出的综合合作问题）4.（2025年北师大版小升初真题）应用题（10分）一批零件，甲每天做45个，乙每天做35个，两人合作8天能完成全部零件的一半，这批零件共有多少个？（易错题型，考查具体工作量的合作问题）5.（2024年北师大版小升初真题）应用题（14分）一项工程，甲、乙、丙三人合作需要6天完成，甲单独做需要12天，乙单独做需要18天，丙单独做需要多少天？若丙中途退出，甲、乙继续合作，还需要几天才能完成这项工程？（难题，考查多人合作与中途退出综合）6.（2023年北师大版小升初真题）应用题（12分）一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做的效率是甲的1.5倍，两人合作，几天能完成这项工程？若甲先单独做2天，再与乙合作，完成这项工程一共需要多少天？（中档题，考查效率倍数与综合合作）五、答案解析本部分解析详细、规范，结合北师大版小升初解题要求，不仅给出正确答案，还标注解题思路、工作总量-效率-时间数量关系分析、审题关键点和易错点提示，帮助学生理解解题过程，掌握解题方法，规避易错点，重点突破数量关系分析和工程推进过程解读能力。（一）基础练习答案解析1.填空题答案1.工作总量=工作效率×工作时间2.1/12；1/153.9/40；40/9（或约4.44）4.1/6；1/25.1/26.甲；17.68.1/159.1810.7.2解析：1.核心关系式：工作总量=工作效率×工作时间，是工程问题所有公式的基础。2.工作效率=工作总量÷工作时间，默认工作总量为1，甲效率=1÷12=1/12，乙效率=1÷15=1/15。3.合作效率=1/8+1/10=5/40+4/40=9/40，合作时间=1÷9/40=40/9天。4.甲每天完成1÷6=1/6，3天完成3×1/6=1/2。5.合作3天完成3×1/6=1/2，剩余1-1/2=1/2。6.1/10＞1/12，甲效率更高；合作完成11/60所需时间=11/60÷（1/10+1/12）=11/60÷11/60=1天。7.合作效率=1/20+1/30=1/12，完成一半（1/2）所需时间=1/2÷1/12=6天。8.甲6天完成6×1/18=1/3，剩余1-1/3=2/3，乙效率=2/3÷10=1/15。9.甲效率=1÷18=1/18，乙效率=1/9-1/18=1/18，乙单独完成时间=1÷1/18=18天。10.合作每天做30+20=50个，所需时间=360÷50=7.2天。2.计算答案及解析1.解析：先分别求出甲、乙的工作效率，再用甲效率减去乙效率，求出效率差。列式：甲效率=1÷10=1/10，乙效率=1÷15=1/15，效率差=1/10-1/15=1/30；完整列式：1/10-1/15=1/30；答案：1/30。2.解析：合作工程核心，先求合作效率，再用工作总量（单位“1”）除以合作效率，求合作时间。列式：甲效率=1÷8=1/8，乙效率=1÷12=1/12，合作效率=1/8+1/12=5/24，合作时间=1÷5/24=24/5=4.8（天）；完整列式：1÷（1/8+1/12）=4.8（天）；答案：4.8天。3.解析：部分合作问题，先求甲单独做3天的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以合作效率，求合作时间。列式：甲3天工作量=3×1/12=1/4，剩余工作量=1-1/4=3/4，合作效率=1/12+1/18=5/36，合作时间=3/4÷5/36=27/5=5.4（天）；完整列式：（1-3×1/12）÷（1/12+1/18）=5.4（天）；答案：5.4天。4.解析：具体工作量合作问题，先求合作时间，再分别求甲、乙的工作量，最后求工作量差。列式：合作时间=480÷（40+20）=8（天），甲工作量=40×8=320（个），乙工作量=20×8=160（个），工作量差=320-160=160（个）；完整列式：40×[480÷（40+20）]-20×[480÷（40+20）]=160（个）；答案：160个。3.应用题答案及解析1.解析：单人工程，先求甲的效率，再根据“乙效率是甲的2倍”求乙的效率，最后求乙的单独完成时间。解题过程：①审题：甲单独做16天完成，乙效率是甲的2倍，求乙单独完成时间；②列式：甲效率=1÷16=1/16，乙效率=1/16×2=1/8，乙单独完成时间=1÷1/8=8（天）；③答：乙单独做这项工程需要8天。2.解析：合作工程，先求甲、乙的合作效率，再用工作总量（单位“1”）除以合作效率，求合作时间，结果保留一位小数。解题过程：①审题：甲单独做25天，乙单独做30天，合作修完水渠，求所需时间；②列式：甲效率=1÷25=1/25，乙效率=1÷30=1/30，合作效率=1/25+1/30=11/150，合作时间=1÷11/150≈13.6（天）；③答：修完这条水渠需要约13.6天。3.解析：综合合作问题，先求甲单独做5天的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以甲、乙合作效率，求合作时间。解题过程：①审题：甲单独做15天，乙单独做20天，甲先做5天，再合作，求剩余合作时间；②列式：甲5天工作量=5×1/15=1/3，剩余工作量=1-1/3=2/3，合作效率=1/15+1/20=7/60，合作时间=2/3÷7/60=40/7≈5.7（天）；③答：剩下的工程还需要约5.7天完成。4.解析：中途退出问题，先求甲、乙的单独效率，再求合作2天的工作量，接着求剩余工作量，最后用剩余工作量除以乙的单独效率，求乙单独完成时间。解题过程：①审题：合作效率1/6，甲单独做12天，合作2天甲退出，求乙单独完成剩余的时间；②列式：甲效率=1÷12=1/12，乙效率=1/6-1/12=1/12，合作2天工作量=2×1/6=1/3，剩余工作量=1-1/3=2/3，乙单独完成时间=2/3÷1/12=8（天）；③答：还需要8天完成。5.解析：具体工作量合作问题，先求仓库货物的4/5是多少吨，再求甲、乙合作效率，最后用工作量除以合作效率，求合作时间。解题过程：①审题：货物600吨，甲每天运30吨，乙每天运20吨，求运完4/5所需时间；②列式：需运货物量=600×4/5=480（吨），合作效率=30+20=50（吨/天），合作时间=480÷50=9.6（天）；③答：9.6天能运完仓库货物的4/5。（二）易错突破答案解析1.单位“1”误用易错辨析答案1.错误原因：未默认工作总量为单位“1”，误将单独完成时间当作工作总量，混淆时间与工作量；正确解答：1÷（1/10+1/15）=6（天），牢记“无具体工作量时，工作总量为1”。2.错误原因：审题不清，混淆“完成”与“剩余”的含义，且计算乙效率时出错；正确解答：3×（1/8+1/12）=5/8，审题时圈出关键词，明确计算目标。3.错误原因：有具体工作量时，盲目使用单位“1”，逻辑不严谨；正确解答：360÷（360÷12+360÷18）=7.2（天），有具体工作量优先用具体数值计算。4.错误原因：混淆“单独完成时间”与“工作效率”，违背效率计算公式；正确解答：1/10+1/15=1/6，牢记“单独效率=1÷单独完成时间”。2.合作问题易错解析答案1.错误原因：忽略“甲退出”的条件，未用合作效率计算前2天的工作量；正确解答：[1-2×（1/12+1/18）]÷1/18=13（天），中途退出需分段计算，用对应阶段的效率。2.错误原因：混淆“甲的单独工作量”与“两人合作总工作量”，误用合作效率计算；正确解答：4×（1÷8）=1/2，求单人工作量用单人效率×单人工作时间。3.错误原因：多人合作时漏加丙的效率，导致合作效率计算错误；正确解答：1÷（1/10+1/15+1/20）≈4.6（天），多人合作需加全所有参与人的效率。4.错误原因：混淆“效率比”与“时间比”，忽略效率与时间成反比；正确解答：1÷（1/10×2/3）=15（天），牢记“效率比的反比是时间比”。（三）真题演练答案解析1.（2025年真题）答案：24/5=4.8天解析：合作问题，先求甲、乙合作效率，再用“工作量2/3”除以合作效率，求合作时间。甲效率=1÷12=1/12，乙效率=1÷18=1/18，合作效率=1/12+1/18=5/36，合作时间=2/3÷5/36=24/5=4.8（天）；完整列式：2/3÷（1/12+1/18）=4.8（天）；易错点：误将“完成2/3”当作“完成全部”，用1除以合作效率。2.（2024年真题）答案：3000米解析：具体工作量与单位“1”结合，先求合作完成时间，再求甲、乙的工作量差占总长度的比例，最后求总长度。合作时间=1÷（1/20+1/30）=12（天），甲12天完成12×1/20=3/5，乙12天完成12×1/30=2/5，工作量差占比=3/5-2/5=1/5，总长度=600÷1/5=30