二项分布与超几何分布的综合应用导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页二项分布与超几何分布的综合应用教学目标二项分布与超几何分布及其均值（重点）实际问题中抽象出模型的特征，识别二项与超几何（难点）二、知识生成1、重伯努利试验的定义①我们把的试验叫做伯努利试验.②将一个伯努利试验进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.2、重伯努利试验的特征①每次试验是在条件下进行的，有关事件的概率保持不变；②各次试验中的事件是，结果互不影响；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的3、重伯努利试验的概率公式一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为().4、二项分布一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从，记作．5、明确二项分布中的各量表示的意义：伯努利试验的次数；：事件发生的次数；：每次试验中事件发生的概率分布列：，结论：随机变量服从参数为,的二项分布；记法：记作,并称为6、二项分布的均值与方差若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则.7、二项分布的增减性与最大值记，则当时，，pk递增；当时，，递减.故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）.8、超几何分布一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．9、对超几何分布的理解①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是.所以两个分布的区别就在于.②若随机变量满足：试验是；随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.③超几何分布的特点：抽样；考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列.10、超几何分布的均值若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率).11、二项分布与超几何分布的区别和联系（1）区别由古典概型得出，由伯努利试验得出.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.（2）联系二项和超几何分布都可描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为.三、重难点突破题型一二项分布与超几何分布模型应用1.某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长（小时）人数（人）34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列；(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差.2.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训．(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．题型二最值问题3.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为.4．某种植户对一块地的n（）个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．(1)当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？(2)当时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望．5．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．(1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；(2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．学案八二项分布与超几何分布的综合应用答案知识生成只包含两个可能结果独立地重复同样相互独立的二项分布成功概率,二项分布是否为有放回地抽取不放回地抽取次不放回超几何分布二项分布二项分布超几何分布“成功率”均值有放回抽样二项分布重难点突破1（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件，则.（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3.，，，，的分布列为：（3）由题意得，，，，，，∴的分布列为：∴.2.（1）由题意可知，，，，，所以随机变量的分布列如下，012；（2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为，员工为公司创造的利润为万元，则万元，公司的年利润为万元.所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元.3.对于①：因为，所以，又，所以，所以;对于②：将样本的频率视为概率，则从全校的学生中随机抽取名，每名学生了解的概率都是，可知，若取得最大值，则，即所以，即，解得，又，所以.故答案为：①②.4.（1）对于一个坑而言，要补播种的概率为．有3个坑需要补播种的概率为，要使最大，只需，解得，，．时，；时，；所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.（2）时，要补播种的坑的个数的所有可能的取值为0，1，2，3，4，，，，，，．所以随机变量的分布列为01234因为，所以．5.（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．由题意得，因为，所以．设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，根据题意可得，由此可得．（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表