《二次函数的图像与性质》数学教学课件4篇

5.4二次函数的图象和性质第1课时1.知道二次函数的图象是抛物线；2.会画y=ax2的图象，并能结合图象理解y=ax2的性质.

一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？列表描点连线思考用描点法画二次函数y=x2的图象x…-3-2-1012

3…y=x2……9411049观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值，完成下表：列表xy0-4-3-2-11234108642-2描点连线y=x2二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛线的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.y0x............0-4-3-2-1231400.524.580.524.58在同一直角坐标系中，画出y=的图象.yo221x再画函数y=2x2

的图象与y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？y=2x2y=x2(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?xo图象是轴对称图形，对称轴都是y轴.图象开口向上，a越大开口越小.图象的顶点都是原点，为抛物线的最低点.(2)图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口大小有什么规律？(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还是最低点？-3-2-112312x2=y当a>0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.(1)二次函数y=-x2

的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x…-3-2-10123…y=-x2

在“做”中“学”…-9-4-10-1-4

-9…xy0-4-3-21234-4-2-1y=-x2-1-31描点,连线二次函数y=-x2

的图象是抛物线.二次函数y=-x2

的图象与y=x2

的图象关于x轴对称，顶点都为原点，但原点是二次函数y=-x2的最高点，却是

y=

x2的最低点.请同学们在同一坐标系内画出y=-0.5x2,y

=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.主要从以下几个方面考虑：1.开口方向2.开口大小3.对称轴4.顶点坐标5.有最高点还是有最低点(1)抛物线y=ax2与y=-ax2(a＞0)关于__轴对称；(2)当a＞0时，开口_____，顶点是抛物线的最___点；当a＜0时，开口_____，顶点是抛物线的最___点；(3)︱a︱越大，抛物线的开口_____.【点拨】a决定了抛物线y=ax2的开口大小和方向.x向上低向下高越小【规律总结】二次函数y=ax2的“两关系四对等”1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的

函数，它的图象的

顶点坐标是

.2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.（0，0）二次y=-2x2不在抛物线上3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）解析：选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，FE4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是()C5．填空：已知二次函数(1)其中开口向上的有_______(填题号)；(2)其中开口向下且开口最大的是____(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有__________(填题号)．②③⑥①④⑤⑤1.二次函数y=ax2的图象是什么？2.二次函数y=ax2的图象有什么性质？3.抛物线y=ax2

与y=-ax2有怎样的关系？通过本课时的学习，需要我们掌握：5.4二次函数的图象和性质第2课时1．会画二次函数与的图象；2.知道二次函数及与的联系；3.掌握二次函数及的性质，并会应用.caxy+=22)(hxay-=caxy+=22)(hxay-=2axy=caxy+=22)(hxay-=用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开口方向、对称轴以及顶点坐标.参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.xy=x2+1y=x2-1..................0...

2-12

3

1.........-3......10

5

2

1

2

5

810

3

03

8-1

0y=x2-1y=x2+1结论上下平移，上加下减想一想：三条抛物线有什么关系？答：形状相同，位置不同。三个图象之间通过沿y轴平移可重合。1.二次函数y=x2+c的图象是什么？答：是抛物线2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：增减性y的最值a＜0a＞0y=ax2+ca＜0a＞0y=ax2在对称轴右侧在对称轴左侧顶点坐标对称轴开口方向函数向上y轴（0,0）最小值是0y随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴（0,0）最大值是0y随x的增大而增大y随x的增大而减小向上y轴（0,c）最小值是cy随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴（0,c）最大值是cy随x的增大而增大y随x的增大而减小画出二次函数的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．x···－3－2－10123···············－2－8－4.5－200－2－8－4.5－2xyO－22－2－4－64－4可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线的开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．下x

=1(1,0)xyO－22－2－4－64－4抛物线与抛物线有什么关系？可以发现，把抛物线向左平移1个单位，就得到抛物线；把抛物线向右平移1个单位，就得到抛物线．xyO－22－2－4－64－4a＞0时，开口_____,最____点是顶点;a＜0时，开口_____,最____点是顶点;对称轴是

，顶点坐标是

在对称轴左侧（x<-h)y随x的增大而…..y=ax2y=a(x+h)2的图象y=a(x-h)2当向左平移h时向下向上高直线x=-h(-h，0)低y=a(x+h)2当向右平移h时a＞0时，开口_____,最____点是顶点;a＜0时，开口_____,最____点是顶点;对称轴是

，顶点坐标是

。在对称轴左侧（x<h)y随x的….y=a(x-h)2的图象向下向上高直线x=h(h，0)低xyO－22－2－4－64－44.函数y=2x2的图象是______线，开口向__,对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=___时，函数有最

____值为____；在对称轴左侧，y随x的增大而_______，在对称轴右侧，y随x的增大而_______.1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线

先向

移2个单位得到.2.已知s=–(x+1)2，当x为

时，s取最

值为

.3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解析式是().y=(x+1)2B.y=–(x+1)2C.y=(x–1)2D.y=–(x–1)2y=0.5x2左

–1

大0

D上y轴(0,0)抛物0小增大0减小5.函数y=-2x2+4的图象开口向____，对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=____时，函数有最____值为____；当x<0时，y随x的增大而_______，当x>0时，y随x的增大_______。下y轴(0,4)减小增大04大6.函数y=-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴是________，顶点坐标是_______，当x=____时，函数有最____值为____；当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时，y随x的增大而减小.下直线x=-1(-1,0)-1大0<-1>-17.抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到.形状位置下4右1抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=ax2(a>0)

y=ax2+k(a>0)y=ax2(a<0)y=ax2+k(a<0)向上向上向下向下y

轴y

轴y

轴y

轴（0，0）（0，k）（0，0）（0，k）

抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=ax2(a>0)

y=a(x-h)2(a>0)y=ax2(a<0)y=a(x+h)2(a<0)向上

向上向下向下y轴x=-hy轴y=h（0，0）（h，0）（0，0）（-h，0）y

=

ax2y=ax2+ky=a(x–h

)2上下平移左右平移上下平移，上加下减

左右平移，左加右减

5.4二次函数的图象和性质第3课时1.会画y=a(x-h)2+k的图象；2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解y=a(x-h)2+k的性质.观察图象,回答问题函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?在同一坐标系中作出二次函数y=3x²和y=3(x-1)²的图象．

123-1-2-301234-1xy5y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2

y=2x2观察这三个图象是如何平移的.二次函数y=

x²，y=

(x+1)2和y

=

(x+1)2

1的图象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?

【例1】画出函数y=

(x+1)²

1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=

x²经过怎样的变换可以得到抛物线y=-(x+1)²-1？思考：121212二次函数y=-(x+1)2-1的图象可以看作是抛物线y=-x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向下平移1个单位后得到的.二次函数y=

(x+1)2

1的图象和抛物线y=

x²，y=

(x+1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1).顶点是(-1,-1).开口向下,当x=-1时y有最大值，且最大值是-1.yxy=-x²y=-(x+1)²-11212121.在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,

y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象.

二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1).顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).yx=1与y=-3x²有关二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?【规律方法】二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象.y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体向左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体向上(下)平移|k|个单位

(当k>0时向上平移；当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.点（1，3）是顶点，知道h=1，k=3，求出a就可以了!yx【例2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？点（3，0）在抛物线上，求a没问题.解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）是顶点，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3（0≤x≤3），∵点（3，0）在抛物线上，∴0=a(3-1)2+3，∴a=-0.75，

∴y=-0.75(x-1)2+3(0≤x≤3),当x=0时，y=2.25，即水管应长2.25m.1.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2

bx+c（a≠0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒B2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解析：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则

y=[x-30)]·x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250∴当x=55时，y最大=30250答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大营业额30250元1．如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为()yxOA．－3B．1C．5D．8

【解析】选D.当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标的最大值．

2.如图，两条抛物线y1=-x2+1、y2=-x2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）A．8B．6C．10D．4A212121213.某广场有一喷水池，水从地面喷出．如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米 B．3米 C．2米 D．1米x

(米)y(米)【解析】选A.抛物线的顶点坐标（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.4.已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A.有最小值0，有最大值3B.有最小值-1，有最大值0C.有最小值-1，有最大值3D.有最小值-1，无最大值【解析】选C．因为图象顶点的纵坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．5.把抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移100个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是______【解析】先由平移规律求出新抛物线的解析式为y=-（x-100）2+2，然后求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离.答案：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质y=a(x-h)²+k开口方向对称轴顶点坐标a>0向上x=h（h，k）a<0向下x=h（h，k）5.4二次函数的图象和性质第4课时1.会画y=ax2+bx+c的图象；2.理解y=ax2+bx+c的性质；3.掌握y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质的联系与区别.说出二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?用配方法化成顶点式:y=a(x-h)2+k的形式我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.

步骤1：提取二次项系数步骤2：（配方）加上再减去一次项系数绝对值一半的平方步骤3：（整理）前三项化为完全平方式,后两项合并同类项步骤如下：x…-2-101234…

…29145251429…列表:根据对称性,选取适当值列表计算.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.x=1●(1，2)通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，当x取何值时，y随x的增大而增大吗？当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大而增大.在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同学们，你想到了什么？0画出y＝x2－6x＋21的图象.配方得：y=

x2－6x＋21=(x－6)2＋3.由此可知，抛物线的顶点是点（6，3），对称轴是直线x＝6.y＝x2－6x＋21Oyx5105102015x

＝6y＝(x－6)2＋3y＝x2－6x＋21怎样平移抛物线y＝x2得到抛物线y＝(x－6)2＋3？当_____时y随x的增大而增大当_____时y随x的增大而减小x>6x<6·（8，5）·（4，5）·(6，3)·（12，21）·（0，21）一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？b

a(xx)c=

++2acbxaxy++=2=++-+a[x

x()()]ca2a2a222b

b

b=a(x+)2

-+c2ab4ab2=a(x+)2+.2ab4a4ac-b2抛物线的顶点式二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.y=a(x+)2+.2ab4a4ac-b2它的顶点是（-，）.2ab4a4ac-b2对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）利用公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质.想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,

y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

1.相同点:

(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.

(3)都有最大(或小)值.(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.在对称轴右侧，y都随

x的增大而增大.

a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大.在对称轴右侧，y都随

x的增大而减小.

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系2.不同点:

(1)位置不同.

(2)顶点不同:分别是__________和(0,0).

(3)对称轴不同:分别是___________和y轴.

(4)最值不同:分别是_______和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)

的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位

(当______>0时向上平移;当_____<0时,向下平移)得到的.1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A．ac<0B．a-b+c>0C．b=-4a

D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1