第十一讲 立体几何问题研究

第十一讲立体几何问题研究1立体几何问题解决2026/4/222图4图5图61.1从2019谈起（2019年高考全国Ⅰ卷理科第18题）2026/4/223图6（1）证明：MN∥平面C1DE；直观感知：感觉MN和DE是有可能平行的！！若是它们平行，问题就解决了。因此原来的问题转化为MN∥DE.自然联想到连结ME.接下来的问题迎刃而解.2026/4/224图72026/4/225线面问题线线问题平面几何运用已知（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．二面角对应的两个面：平面A1MA平面A1MN2026/4/226图8常用的方法：空间直角坐标系向量法二面角大小问题转化为平面的法向量夹角！！！（条件反射）建立空间直角坐标系！找垂直的线线，为点点找到好求向量的坐标！2026/4/227图8建系的原点取在什么位置更方便表示点的坐标.2026/4/228图9图8传统几何方法关键是找二面角A-MA1-N的平面角2026/4/229图10图82026/4/2210图10需要较强的直观想象能力！关键点：垂直，垂直，垂直！首先，确定两个面的交线：A1M平面A1MA内的线垂直于A1M平面A1MN内的线垂直于A1M直接不行就间接找垂直！2026/4/2211图102026/4/2212图112026/4/2213图12后面三种解法都需要较好的几何想象能力和推理论证能力，难度比空间向量法要大.但是对于理解空间位置和图形性质有很大的帮助.第（2）问是一个求二面角的平面角的问题，难度中等.不论是利用空间向量解题（解法1），还是几何法直接找出二面角的平面角的位置（解法2和3），或者还是利用投影法去解决，都需要正确把握所求二面角的位置、直棱柱中的线面关系以及通过“画图→论证→运算”的步骤来解决问题.2026/4/2214解法2和3，需要对二面角的平面角的概念理解清晰，结合本题具体情境，构造出方便运算的角来求解；解法4则利用正投影与对应图形的面积比来求得二面角余弦值，则需要先认识到面A1MN等同于面A1DM、面A1AM等同于面A1ABM，然后由DF垂直平面A1ABM来进行求解.2026/4/2215图12（2019年高考全国Ⅰ卷文科第19题）如图13，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N，分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离.2026/4/2216图132026/4/2217图14面垂直关系所求高的位置直接求解线段的长度得点到平面的距离2026/4/2218空间想象能力和推理论证能力2026/4/22192026/4/2220等体积法求解点到平面的距离.解题过程要求按照“画图→论证→运算”；2026/4/22212026/4/2222空间向量法，熟悉建系的方法和正确写出相关量的坐标以及正确运用空间向量求解点面距离的公式.2026/4/2223考查的核心面面关系、线面关系、线线关系、二面角、平面几何向量的应用、逻辑推理、直观想象2026/4/2224解题的关键直观想象（空间观念、数学直觉、图形性质）逻辑推理（平面几何、推理论证、结构严谨）代数运算（空间向量、勾股定理、体积公式，等）2026/4/2225使用定理条件全

不能偷懒少条件1.2基于直观素养的立体几何命题重视考查识图能力．对于一个几何体，可以从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，体会不同的感觉，可以开拓我们的空间视野，培养空间感。让学生体味到当从一个角度去观察几何图形而不能解决问题时，可以换一个观察角度即学会多角度观察图形。考查复杂的几何图形研究其基本图形，如点、线、面的位置关系又要从点、线、面的位置关系联想到复杂的几何图形，同时既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分，若能实现这一些，则可使有些问题一眼看穿．2026/4/2228考查画图能力.2026/4/22292026/4/22302026/4/2231要求掌握一些基本图形的画法，如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都能画出其图形，而且要画出较强的立体感；同时要根据做题的方便来画草图，画哪一个面在水平面上会产生不同的视觉，往往从一个方向上看不清的图形从另一方向却可以一目了然。2026/4/2232立体几何内容考查.空间几何体——了解柱，椎、台、球、及其简单组合体的结构特征；能使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的模型，会用斜二测法画出其直观图。教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能了，关注以常见的空间几何体（如长方体、三棱锥、四棱台、圆柱、球等）为载体的实物模型；点线面之间的位置关系——理解空间点线面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点线面的位置关系。2026/4/2233点线面位置关系的教学重点是能够解决一些与平行、垂直有关的简单推理论证及应用题；关于空间中的“角”与“距离”的要求是了解异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角及其平面平面角和点到平面的距离、平行于平面的直线到平面距离，两个平行平面间的距离的概念；柱、锥、台、球的表面积和体积——了解球、棱柱、棱锥、台得表面积和体积的计算公式，会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积，不要求记忆公式，会用即可。2026/4/2234考查几何划归，强调通法.线面和面面关系的转化、三棱锥等积法要熟练掌握；面面平行转化为线面平行，可再转化为线线平行来处理．点到面距离可转化为线到面距离，又可转化为面面距离；证明两线平行，可转化为两直线同时垂直于一个平面的证明。求二面角的向量代数法、定义法，求点到面的距离的向量代数法和等体积法等这一些都是立体几何中的通法。2026/4/2235考点一共点、共线、共面问题1．三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上．2．共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合．3．三线共点问题证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.点共线，面交线面交线，找共点作线先作面，切勿无面乱作线考点二平行关系1．空间中平行关系的相互转化

2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．3．判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

考点三垂直关系1．空间中垂直关系的相互转化

2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.考点四空间角1.找异面直线所成的角的三种方法①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．2.线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．垂线段的长度也可通过等体积法求解3.二面角：求二面角常需先作出二面角的平面角.作平面角的常用方法有三种:定义法、垂线法、垂面法.总之，求空间角的大小一般都转化为平面角来计算.其计算步骤为:

一作

二证

三计算

四作答线线成角用平移相交之角即所求线面成角找射影不找射影求距离面面成角找垂线垂线交角即所求考点五折叠、探索性问题解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：(1)平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形．想象出空间图形，完成平面图形与平面图形在认识上的转化．(2)空间→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变．(3)平面→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系．1.3立体几何答题的常见问题2026/4/22412019理科试题答题常见错误：2026/4/22422026/4/22432026/4/22442026/4/22452019文科试题答题常见错误2026/4/22462026/4/22472026/4/22482026/4/2249（2018年高考全国Ⅰ卷理科第18题）（类似，不再详细分析）2026/4/2250（2017年高考全国Ⅰ卷理科第18题）（类似）2026/4/2251总体来说，主要问题包括：对基本概念和方法不熟悉.

在推理论证的表述时不知道条件“直四棱柱”能直接推出和不能直接推出什么结论；

不知道面面平行直接得到线线平行所需要的条件是两直线必须共面；

应用线面垂直得到线线垂直来判定另一组线面垂直时，通过绕到面面垂直来实现，虽然没有错误，但表述冗长且浪费时间等等.2026/4/2252逻辑推理素养不高.在求证线面平行时，已经证明到一组线线平行（求证即将结束），却又绕到其它地方去证明（比如绕到先证明面面平行再证明线面平行）2026/4/22531.4立体几何答题规范及建议注重逻辑推理语言的规范性

2026/4/22542026/4/2255这是什么逻辑？2026/4/2256自己编造新的定理，对于相关的线面之间的逻辑关系不清晰。合理构建空间直角坐标系2026/4/22572026/4/22582026/4/22592026/4/2260准确运用相关公式，正确运算求得结果例如2017理科2026/4/22612026/4/22622026/4/2263算出两个平面的法向量各得1分，若计算错误，2026/4/22642026/4/2265很遗憾，计算错误1.4例题分析

（3）（4）

(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.理由如下:连接AC交BD于点O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.例3.如图，已知三棱柱ABC­-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．例3.如图，已知三棱柱ABC­-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

例3.如图，已知三棱柱ABC­-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

例5.图1是由矩形ADEB，Rt△