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文档简介

第四节

基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法

初等函数求导初等函数积分机动目录上页下页返回结束一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:

第四章一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动目录上页下页返回结束例1.

将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动目录上页下页返回结束(2)用赋值法故机动目录上页下页返回结束(3)混合法机动目录上页下页返回结束原式=四种典型部分分式的积分:

机动目录上页下页返回结束变分子为再分项积分例2.

求不定积分解:因为所以（其中A，B为待定常数）由待定系数法得因此例3.

求不定积分解:设由待定系数法得故例4.

求不定积分解:设由待定系数法得于是例5.

求不定积分解:例6.

求不定积分解:而例7.

求解:

已知例1(3)目录上页下页返回结束例8.

求解:

原式思考:如何求机动目录上页下页返回结束例9.求解:机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例10.求解:原式机动目录上页下页返回结束常规目录上页下页返回结束例11.求解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!机动目录上页下页返回结束二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束1.三角函数有理式的积分则例12.求解:

令则机动目录上页下页返回结束例13.求解:

例14.求解1:

解2:

令解3:

令则例15.求解:

说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动目录上页下页返回结束例16.求解法1令原式机动目录上页下页返回结束例16.求解法2令原式机动目录上页下页返回结束例17.求解:

因被积函数关于cosx

为奇函数,可令原式机动目录上页下页返回结束2.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束令例18.求解:

设则例19.求解:

设有所以例20.求解:

设则从而例21.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束例22.

求解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令机动目录上页下页返回结束例23.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.

特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动目录上页下页返回结束简便,思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动目录上页下页返回结束作业P217A类(2)(3)(6)P221A类1(1)(3)(5),2(2)(3)第五节目录上页下页返回结束备用题1.求不定积分解：

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