江苏省G5学校2026届高三下学期4月联考数学试卷（含答案）

第1页，共4页2026届高三综合练习三项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-2x-3≤0},B={-3,-1,1,3},则A∩B=A.{1}B.{-1}C.{-1,1,3}2.已知复数z=(a+1)-ai(a∈R),则a=-1是|z|=1的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体统称为柏拉图体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为,则生成它的正方体的棱长为A.2B.2³√2C.2³√45.已知动点P在圆0:x²+y²=1上，点A(-2,0),B(-1,2),当△PAB面积最小值时，点P的坐标为6.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为A.12B.24C.367.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=4,b+2ccosA=0,则当角B取得最大值时，△ABC的周长为A.6B.4+2√3C.4+2√28.已知函数,若实数a,b(0<a<b)满足f(a)=f(b),则be²a的最小值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列结论正确的是B.一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是11.5C.已知随机变量,若ζ=2η+1,则D.在2×2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变成原来的210.已知抛物线y²=4x的焦点为F,过原点O的动直线1交抛物线于另一点P,交抛物线的准A.若O为线段PQ中点，则PF=2B.若PF=4,C.不存在直线1,使得PF⊥QFD.△PFQ面积的最小值为2C.an+1>a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知X～N(2,σ²)且P(X>3)=P(X<a),则(2x-a)⁶的展开式中x⁴的系数为设点E是AC的中点.记△BDE的面积为S,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S₂,则S₁·S₂四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。设S,是等比数列{an}的前n项和，已知S₂=4,a²=3a₄.(2)设,求数列{b}的前n项和T.16.(15分)近年来某APP用户保持连续增长，若李明收集了2021~2025年的年份代码x(x=1,2,3,4,5)与该年份代码x12345App在线用户数y(单位：万)(1)求样本相关系数r(精确到小数点后两位),并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱；(2)从2021~2025年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y,记最小的数据为X,求X17.(15分)已知A(0,1),F(0,-2)分别是双曲线C的上顶点、下焦点.(2)过F的直线与C的上、下支分别交于B,D两点(B异于A),直线x=t平分线段BD且与C的下支交于点E.求证：直线AE与直线BD的交点在一条定直线上.18.(17分)(1)求的值；19.(17分)设函数f(x)=2x²+alnx,(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+m,求实数a、m的值；(2)关于x的方程f(x)+2cosx=5能否有三个不同的实根?证明你的结论；(3)若f(2x-1)+2>2f(x)对任意x∈(2,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.锤子数学精彩解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,B={-3,-1,1,3},则A∩B=A.{1}B.C.{-1,1,3}【答案】C2.已知复数z=(a+1)-ai(a∈R),则a=-1是||=1的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A∴a=0或-1不必要，选A.【锤子数学解析】4.正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体统称为柏拉图体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为,则生成它的正方体的棱长为【答案】A【锤子数学解析】设正方体棱长为2a可得该柏拉图是由两个正四棱锥构成，四棱锥的底面边长为√2a的正方形高为a,则柏拉图的体积点P的坐标为【答案】C【锤子数学解析】方法一：A,B为两定点，△PAB面积最小时P到AB距离最小，则OP⊥AB,OP:,P在第二象限，选C.第3页，共34页若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四A.12个结果，12+12+12=36,选C.方法二：礼仪、司机两项只能从其余三人中选7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=4,b+2ccosA=0,则当角B取得最大值时，△ABC的周长为A.6【锤子数学解析】方法一：b+2ccosA=0,∴sinB+2sinCcosA=0,sinAcosC+3sinCcos方法二：方法二：.令第4页，共34页角B最大时r=1,即b=c,bc=4→b=c=2,8.已知函数小值为若实数a,b(0<a<b)满足f(a)=f(b),则be²的最【答案】D【锤子数学解析】方法一：p(x)在单调递减，单调递增，令g(x)=2Inx+x-一在(0,+∞)上单调递增，注意到g(1)=0当x>1时，g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调注意到(当且仅当2a=1,即时取“=”)当0<x<1时，2xlnx<0,x²-1<0,f'(x)<0当x>1时，2xlnx>0,x²-1>0,f'(x)>0∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞0)上单调递增.又f(a)=f(b),0<a<b,结合0<a<1,故be²a的最小值为2e,选D.第6页，共34页方法四：定义域为(0,+∞)g(1)=0,x>1→g(x)>0→f(x)'>0,∴f(x)在(1,+00)单调递增，结合得到f(x)在(0,1)单调递减∵f(a)=f(b)且0<a<b,∴a∈(0,1),b∈(1,+o),且要求be²a的最小值，,h(a)<0,h(a)单调递减锤子拓展与深挖：锤子拓展与深挖：1、命题背景：反演对称是本题的核心结构本题真正藏的是,在这个变换下，所以两部分都变号，乘积不变：再配合可得f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，因此同一个函数值只能来自一对互为倒数的点：f(a)=f(b),0<a<b→ab=12、一般化结论：同类函数都可以这样处理若当0<x<1时，两项均小于0;当x>1时，两项均大于0.所以若F(a)=F(b),0<a<b,仍有ab=13、锤子改编：把be²改成b'e,设r>0,s>0,仍由f(a)=f(b),0<a<b得到本题对应r=1,s=2,但a<1,所以不能取到a=1,此时没有最小值，取值4、更高级的方法：反演参数化由ab=1,0<a<1<b,可令a=e⁻¹,b=e¹,t>0,则be²“=e¹·e²⁻¹=e+2e⁻令v(t)=t+2e⁻¹,v'(t)=1-2e⁻¹,锤子点评：这道题考察了对数型函数的倒数对称性.大家如果在考场上遇到两个变量a,b满足函数值相等的条件，首先就要有寻找对称性的意识.这题如果去直接计算偏导数或者构造差函数就会变得长或者复杂.看出了的性质，把两个变量的关系确定为ab=1,问题就转化为单变量的求导求最值，整个过程就变得简单容易了.这种通过代数恒等变形寻找隐藏对称轴或者反演对称结构的方法更值得注意或者更重要.大家平时遇到复杂的乘积函数，要注意观察局部结构的奇偶性质与倒数性质，如果能很快发现这些特征，解题就能一步到位!二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是A.一组样本数据通过计算得到线性回归方程为y=0.95x+a,若(x,)=(1,1),则a=0.05B.一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是11.5C.已知随机变量若ξ=2η+1,则D.在2×2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍，则x²不变其中n=a+b+c+d)n=5,5×80%=4,第80百分位数为,B正确；若a,b,c,d均变成原来的2倍，则D错误；故选AB10.已知抛物线y²=4x的焦点为F,过原点O的动直线l交抛物线于另一点P,交抛物线的准线于点Q.下列说法正确的是A.若0为线段PQ中点，则PF=2B.若PF=4,则OP=2√5C.不存在直线1,使得PF⊥QFD.△PFQ面积的最小值为2【锤子数学解析】方法一：0为PQ中点，则xp=1,PF=xp+1=2,A对.PF=4,则xp=3,,OP=√x²+y²=√9+12=√21,B错.1·|2t|=|t,D对，选ACD.准线为x=-1,∴ ∴不存在直线1,使得PF⊥QF,C正确；A.是等差数列B.Sn+Sn+2<2Sn+1C.an+1>an*成首项为1,公差为1的等差数列，∴S²=1+(n-1)·1=n,A正确.对于B,Sₙ=√n,∴S,+Sₙ+2=√n+√n+2<√2√2n+2=2√n+1=2Sₙ+1(基本不等式),B正确.关于n∈N单调递减，C错.对于D,是以1为公差的等差数列，A对(S,+Sₙ+2)²-4S²+1=2n+2+2√n(n+2)-4n≥2时，,{an}为单调减数列，C对.第11页，共34页D对，选ABD.方法三：令S。=0,由S。=S+a,对A,,所以{s²}是等差数列，A正确.⇔n(n+2)<(n+1)²成立，B正确.g(1)=0,x≥1→g(x)≥0,所以,D正确.故选ABD.→2S,(Sₙ-Sₙ₋1)=(S-Sn₋1)²+12S²-2S„Sₙ₋1=→是以1为首项，1为公差的等差数列，A正确,S„+Sn+2=√n+√n+2,2S扞+1=2√n+1 (√n+√n+2)²=2n+2+2√n(n+2)<2n+2+2√n²+2∴S,+Sn+2<2Sₙ+1,B正确.锤子拓展与深挖锤子拓展与深挖1、命题背景：本题的核心结构是Sₙ=Sₙ-1+a而题目条件为两式结合：而S²-s²-1=(S₋1+a)²-s²-1=2aS₋1+a²,所以S²-S2-1=1这就是本题的命题核心：表面考数列{an},本质考则,a²+2a„Sn-1=μ,S²-s²-1=μ,又aₙ=S,-S₋1=√μn-√μ(n-1这类题的共同结论是：为等差数列，{an}递减.3、常见改编：若题目改为,则,Sₙ=√2cn,所以只要看到就要优先想到S²-s²-1证明因此这类含Inx的不等式，常见处理方式就是构造差函数：g(x)=左边-右边再看导考法!刚开始看条件可能觉得复杂，但只要大家动笔计算，利用an=Sn-Sₙ₋1代入出通项公式，A选项与C选项顺理成章迎刃而解!B选项考察根号函数的凹凸性质，数求导证明即可!这题属于纸老虎，细梳慢捋就能计算出来!三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知X～N(2,σ²)且P(X>3)=P(X<a),则(2x-a)⁶的展开式中x⁴的系数为【答案】240【锤子数学解析】X～N(2,σ²),P(X>3)=P(X<a),∴a=1即x⁴系数240.【答案】0P₂,(-sin14°,sin104°)即cosθ₁+cosθ₂9=cos76°-cos76°=0,同理cosθ+cosθ₃0-k=0,方法二：因为sin(75°+k°)=cos(1=sin14°+sin13°+…+sin1⁰+sin0°+sin(-1°)+…+sin(-14°)=0.14.已知菱形ABCD,AB=BD=2,现将△ABD沿对角线BD向上翻折，得到三棱锥A-BCD,设点E是AC的中点.记△BDE的面积为S₁,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S₂,则S₁·S₂的最小值为【锤子数学解析】方法一：∵AB=BD=2,∴△ABD为等边三角形.取BD中点△ABD,△BCD的外心分别为01,0₂,0₁,0₂到BD的距离分别为l=BD=2,三棱锥外接球半径为R,第15页，共34页,OA=0C=√3,当且仅当时取“=”,可取“=”,应填：8π由AB=BC,AD=CD,得B,D在AC的垂直平分平面内，AC⊥平面BDE.取B(-1,0,0),D(1,0,0),E(0,S₁,0),则,且设外接球球心为P(0,v,0),半径为R,则R²=PB²=1+v²,第16页，共34页 AC⊥BD→A0=CO=√3.由于BD⊥平面AOC,OEc平面AOC→BD⊥OE.设三棱锥A-BCD的外接球球心为0₁,半径为R.平面AOC为BD的中垂面，O₁∈平面AOC.建立坐标系可则(S₁·S₂)mn=8π.锤子拓展与深挖锤子拓展与深挖则折叠后三棱锥仍满足AB=AD=BC=CD=BD=m.,AC=d,第17页，共34页AB=AD=BC=CD=BD=2,AC=d.所以这是一个五条棱相等、剩余一条对棱变化的四面体模型..这一步直接得到3、更高级的简化形式：对本题这种AB=AD=BC=CD=BD=2的四面体，只要E是AC中点，且S₁=SBDE,就有固定公式锤子点评：立体几何动态几何与代数变形的完美结合!题型涵盖了空间动态翻折、外接球半径求解以及函数最值，属于多知识点融合的考法.其中对折叠模型中不变量与变量的分析是核心.处理外接球问题时，如果大家每找球心、解三角形，计算过程会非常长且复杂.强烈推荐大家使用双半径单交线公第18页，共34页式!直接代公式得到R²关于二面角的解析式!在求最值阶段，局部换元可谓一步到位!四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设S,是等比数列{an}的前n项和，已知S₂=4,a²=3a₄.(2),求数列{b.}的前n项和T,.【锤子数学解析】(1)设{a}的公比为q(q≠0),则a₃=a₁q²,a₄=a₁q³,16.(15分)近年来某APP用户保持连续增长，若李明收集了2021～2025年的年份代码x(x=1,2,3,4,5)与该APP在线用户数y(单位：万)的数据，具体如下表所年份代码x1234App在线用户数y(单位：万)(1)求样本相关系数r(精确到小数点后两位),并判断变量x与y之间的线性相(2)从2021～2025年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y,记最小的数据为X,求X的分布列及数学期望E(X).【锤子数学解析】XP17.(15分)已知A(0,1),F(0,-2)分别是双曲线C的上顶点、下焦点.(2)过F的直线与C的上、下支分别交于B,D两点(B异于A),直线x=t平分线段BD且与C的下支交于点E.求证：直线AE与直线BD的交点在一条定直线上.【锤子数学解析】(2)证明：由B≠A,直线BD不为y轴，设BD:设B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),代入∵x=t平分线段BD,设E(t,yE),∵E在C的下支，设AE与BD的交点为(u,v),则∴直线AE与直线BD的交点在定直线上方法二：(1)由题意，a=1,c=2,:b=√c²-a²=√3,∴.C的方程为(2)由题意，直线BD的斜率存在，设直线BD方程为y=kx-2,B(x₁,y₁),D(x₂,y₂).且由得直线AE与直线BD的交点在一条定直线上18.(17分)将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体00',点O′和O分别为上、下椭圆面的对称中心，AO'//平面MNP.(2)求点O′到平面MNP距离的最大值；(3)若求直线FP与平面O'MN所成角的正弦值.'B【锤子数学解析】方法一：(1)0为原点，OB所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，00′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.第22页，共34页下底面椭圆方程为,设P(3,0,t),0≤t≤3√2.取一般位置MN≠AB,设过F的动直线为MN:x=my+1,方向向量为s=(m,1,0).平面MNP内有FP=(2,0,t).设平面MNP的一个法向量为n₁=(t,-mt,-2). 因为AO³=(3,0,3√2),且AO'//平面MNP,A0'·n=03t-6√2=0,t=2√2.所以BP=2√2,PB′=3√2-2√2=√2,平面MNP过点F,所以n,|=√8+8m²+4=√8m²+12..当m=0时取等号，此时MN:x=1.(3)设直线FP与平面O'MN所成角为θ. 所以4m²=m²+1,设平面O'MN的一个法向量为n₂=(3√2,-3√2m,1).第23页，共34页方法二：(1)以0为原点，AB所在直线为x轴，平行于短轴的方向为y轴，直线00′为z轴，建立空间直角坐标系∴A(-3,0,0),B(3,0,0),F(1,0,0),0'(0∵AO'//平面MNP,AO'c平面ABB'A',且平面ABB'A'∩平面MNP=FP,(2)由(1)知P(3,0,2√2),FP=(2,0,2√2)设直线MN的方向向量为=(cosθ,sinθ,0),平面MNP的法向量为n=(x,y,z). ,FA=(-4,0,0).∴直线MN与x轴的夹角为 '则F(1,0,0),A(-3,0,0),0'(0,0,3√2)…A0=(3,0,3√2),' (2)设M(x₀,J₀,0),则FM=(x₀-1,y₀,0),FP=(2,0,2√2).则第25页，共34页,∴点O′到平面MNP距离∴点O′到平面MNP的距离的最大值为(当x₀=1时取等号),∴直线MF的方向向量e=(1,-√3,0),又FO=(-1,0,3√2),设平面O'MN的法向量为m=(x,y,z),则取m=(3√2,√6,1).则又FP=(2,0,2√2),设直线FP与平面O'MN所成角为θ,∴直线FP与平面O'MN所成角的正弦值为锤子拓展与深挖1、一般化结论：设椭圆柱底面为1,a>b>0,c=√a²-b²,A(-a,0,0),B(a,0,0),F(c,0,0),0'(0,0,h),P(a,0,t).过右焦点F的动弦设为MN:x=my+c,方向向量为s=(m,1,0).平面MNP内有FP=(a-c,0,t).平面MNP的一个法向量可取n,=(t,-mt,-(a-c)).由A0=(a,0,h),AO'//平面MNP,得A0'·n₁=0,第26页，共34页2、距离最大值的通用公式2、距离最大值的通用公式.所以,等号在m=0时取得，即动则则平面O'MN的一个法向量为n₂=(h,-mh,c).直线FP与平面O'MN所成角设为β,则4、锤子改编：若把右焦点F改为长轴上的定点T(q,0,0),0<q<a,过T的动直线交椭圆于M,N,仍取P(a,0,t),AO'//平面MNP,如果再给出∠ATM=α,则直线TP与平面O'MN所成角β满足锤子点评：立体几何里套了一个椭圆柱体的外壳，看起来常规的立体几何建系求角和距离的题目!这种伪圆锥曲线的包装在近年的模拟题第27页，共34页MNP平行，而且它们所在的平面xOz与平面MNP的交线就是FP,所以AO'必杂的代数变形!第三问更是顺水推舟，M,N的具体坐标依然不需要求，19.(17分)设函数f(x)=2x²+alnx,(a∈R)(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=2x+m,求实数a、m的(2)关于x的方程f(x)+2cosx=5能否有三个不同的实根?证明你的结论；(3)若f(2x-1)+2>2f(x)对任意x∈(2,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.【锤子数学解析】方法一：,切点(1,2),∴(2)⇔问2x²+alnx+2cosx=5能否有三个不同的实根令F(x)=2x²+alnx+2cosx-5,第28页，共34页且当0<x<x₀时，F(x)<0,F(x)单调递减；当x>x₀时，F'(x)>0,F(x)单调综上：关于x的方程f(x)+2cosx=5不能有三个不同的实根.(3)⇔2(2x-1)²+aln(2x-日对Vx≥2恒成立当x=2时，(必要条件),下证充分性当第29页，共34页由切线斜率为2,得f'(1)=4+a=2→a=-2,切线方程为y-2=2(x-1)→y=2x,∴a=-2,m=0.(2)不能有三个不同的实根.设g(x)=f(x)+2cosx-5=2x²+aInx+2cosx-5,x若g(x)=0有三个不同实根x₁<x₂<x₃,则在(x₁,x₂),(x₂,x₃)内各有一个g'(x)的零点，与g'(x)单调递增矛盾.当a>0时，令u(x)=2x²+2cosx-5,u'(x)=4x-2sinx>