13.3　三角形的内角与外角 教案（3课时）人教版八年级数学上册

13.3三角形的内角与外角13．3.1三角形的内角第1课时三角形的内角和定理1．探索并掌握三角形的内角和定理．2．学会运用三角形的内角和定理．▲重点三角形的内角和定理．▲难点三角形的内角和定理的推导过程．◆活动1新课导入1．问题：三角形的内角和是多少度？2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是____∠A＋∠B＝90°__．3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为__100°__．本节课我们一起学习有关三角形内角和的有关知识．◆活动2探究新知1．现在有一副三角尺．提出问题：(1)每个三角尺的每个角各是多少度？(2)每个三角尺三个内角的和各是多少度？(3)猜一猜，任意一个三角形的三个内角和都相同吗？等于多少度？学生完成并交流展示．2．教材P11探究．提出问题：(1)在图(1)中，直线l与△ABC的边BC有什么关系？(2)在图(2)中，直线l与△ABC的边AB有什么关系？(3)利用图(1)或图(2)能证明三角形的内角和定理吗？这样证明的依据是什么？(4)你还能想出其他方法证明三角形的内角和定理吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳三角形的内角和定理：__三角形的内角和等于180°__．◆活动4例题与练习例1教材P12例1.例2教材P12例2.例3若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的eq\f(2,3)，也是第三个内角∠C的eq\f(4,5)，求△ABC三个内角的度数．解：由题意，得∠A＝eq\f(2,3)∠B，∠A＝eq\f(4,5)∠C，∴∠B＝eq\f(3,2)∠A，∠C＝eq\f(5,4)∠A.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋eq\f(3,2)∠A＋eq\f(5,4)∠A＝180°，∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°.例4如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．解：由折叠的性质，得∠CEF＝∠C′EF，∠CFE＝∠C′FE.∴∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝2∠C，即∠1＋∠2＝2∠C.练习1．教材P13练习第1，2题．2．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C)A．80°B．70°C．60°D．50°eq\o(\s\up7(),\s\do5((第2题图)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((第3题图)))3．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC.若∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(A)A．40°B．35°C．50°D．45°4．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数．解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.又∵∠1＝∠2，∴∠BCP＝∠ABP，∴∠2＋∠BCP＝∠2＋∠ABP＝∠ABC＝70°，∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝180°－70°＝110°.◆活动5课堂小结三角形的内角和定理．1．作业布置(1)教材P16～17习题13.3第1，3，7，9题；(2)对应课时练习．2．教学反思第2课时直角三角形中两锐角的关系1．了解直角三角形两个锐角的关系．2．掌握直角三角形的判定．▲重点了解直角三角形两个锐角的关系，掌握直角三角形的判定．▲难点掌握直角三角形的判定，会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算．◆活动1新课导入三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．◆活动2探究新知1．教材P13练习下面的内容．提出问题．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B之间有什么关系？(2)你能证明吗？如何证明？学生完成并交流展示．2．教材P14思考．在△ABC中，若∠B＋∠A＝90°，那么△ABC是什么形状的三角形？并说明理由．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．直角三角形的两个锐角__互余__．2．有两个角互余的三角形是__直角__三角形．◆活动4例题与练习例1教材P14例3.例2如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．证明：∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝90°.∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，∴∠AOE＝∠B.∵∠BAC＋∠B＝90°，∴∠BAC＋∠AOE＝90°.∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．例3(1)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.试猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如图②，在△ABC中，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.练习1．教材P14练习第1，2题．2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是(B)A．15°B．20°C．25°D．30°eq\o(\s\up7(),\s\do5((第2题图)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((第3题图)))3．如图，将有一块含有60°角的直角三角尺的两个顶点分别放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是__12°__．4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线，∴∠PEF＝eq\f(1,2)∠BEF，∠PFE＝eq\f(1,2)∠DFE，∴∠PEF＋∠PFE＝eq\f(1,2)(∠BEF＋∠DFE)＝90°，∴△EPF为直角三角形．◆活动5课堂小结1．直角三角形的性质——两个锐角互余．2．直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形．1．作业布置(1)教材P16～17习题13.3第4，10题；(2)对应课时练习．2．教学反思13.3.2三角形的外角1．引导学生探索并了解三角形外角的性质．2．让学生学会用学过的定理证明此性质．▲重点三角形外角的性质和三角形的外角和．▲难点三角形外角的性质的探究及运用．◆活动1新课导入1．三角形的内角和是多少度？答：三角形的内角和是180°.2．直角三角形的两个锐角__互余__；有两个角互余的三角形是__直角三角形__．◆活动2探究新知1．教材P15观察图13.3－7.提出问题：(1)什么叫作三角形的外角？(2)描述三角形的外角的特征．学生完成并交流展示．2．教材P15思考．提出问题：(1)∠ACD是△ABC的一个外角吗？(2)能否由∠A，∠B的度数求出∠ACD的度数？(3)∠ACD与∠A，∠B之间有什么关系？(4)任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的__外角__．2．三角形的外角等于__与它不相邻__的两个内角的__和__．◆活动4例题与练习例1教材P15例4.例2如图，点D，B，C在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，求∠1的度数．解：∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∠A＝60°，∠C＝50°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－60°－50°＝70°.又∵∠ABC＝∠1＋∠D，∠D＝25°，∴∠1＝∠ABC－∠D＝70°－25°＝45°.例3如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解：设BE与AC，AD分别交于点G，F.∵∠AGF＝∠C＋∠E，∠AFG＝∠B＋∠D，且∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.练习1．教材P16练习．2．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为(C)A．28°B．38°C．48°D．88°3．一副三角尺以如图所示的方式叠放在一起，则∠DFC的度数是(A)A.165°B．120°C．150°D．135°4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，