单调有界准则专项测试卷

单调有界准则专项测试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高一/数学班

试标题是:“单调有界准则专项测试卷”

一、选择题

1.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}是单调递增的

B.数列{a_n}是单调递减的

C.数列{a_n}是有界的

D.数列{a_n}既不单调也不有界

2.若数列{a_n}单调递增且a_n<2，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}有极限

B.数列{a_n}极限为2

C.数列{a_n}极限小于2

D.数列{a_n}极限不存在

3.设数列{a_n}满足0<a_1<1，a_{n+1}=a_n(2-a_n)，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

4.若数列{a_n}单调递减且a_n>0，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}极限为0

B.数列{a_n}极限为正数

C.数列{a_n}极限不存在

D.数列{a_n}极限为负数

5.设数列{a_n}满足a_1=0，a_{n+1}=a_n+1/n，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

6.若数列{a_n}单调递增且a_n<1，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}有极限

B.数列{a_n}极限为1

C.数列{a_n}极限小于1

D.数列{a_n}极限不存在

7.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1/(1+a_n)，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

8.若数列{a_n}单调递减且a_n>1，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}极限为1

B.数列{a_n}极限为正数

C.数列{a_n}极限不存在

D.数列{a_n}极限为负数

9.设数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=1/2a_n，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

10.若数列{a_n}单调递增且a_n<3，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}有极限

B.数列{a_n}极限为3

C.数列{a_n}极限小于3

D.数列{a_n}极限不存在

二、填空题

1.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/n，则数列{a_n}的极限为______。

2.若数列{a_n}单调递增且a_n<2，则数列{a_n}的极限______。

3.设数列{a_n}满足0<a_1<1，a_{n+1}=a_n(2-a_n)，则数列{a_n}的极限为______。

4.若数列{a_n}单调递减且a_n>0，则数列{a_n}的极限______。

5.设数列{a_n}满足a_1=0，a_{n+1}=a_n+1/(n+1)，则数列{a_n}的极限为______。

6.若数列{a_n}单调递增且a_n<1，则数列{a_n}的极限______。

7.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1/(1+a_n)，则数列{a_n}的极限为______。

8.若数列{a_n}单调递减且a_n>1，则数列{a_n}的极限______。

9.设数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=1/2a_n，则数列{a_n}的极限为______。

10.若数列{a_n}单调递增且a_n<3，则数列{a_n}的极限______。

三、多选题

1.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}是单调递增的

B.数列{a_n}是单调递减的

C.数列{a_n}是有界的

D.数列{a_n}既不单调也不有界

2.若数列{a_n}单调递增且a_n<2，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}有极限

B.数列{a_n}极限为2

C.数列{a_n}极限小于2

D.数列{a_n}极限不存在

3.设数列{a_n}满足0<a_1<1，a_{n+1}=a_n(2-a_n)，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

4.若数列{a_n}单调递减且a_n>0，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}极限为0

B.数列{a_n}极限为正数

C.数列{a_n}极限不存在

D.数列{a_n}极限为负数

5.设数列{a_n}满足a_1=0，a_{n+1}=a_n+1/n，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

6.若数列{a_n}单调递增且a_n<1，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}有极限

B.数列{a_n}极限为1

C.数列{a_n}极限小于1

D.数列{a_n}极限不存在

7.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1/(1+a_n)，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

8.若数列{a_n}单调递减且a_n>1，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}极限为1

B.数列{a_n}极限为正数

C.数列{a_n}极限不存在

D.数列{a_n}极限为负数

9.设数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=1/2a_n，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}单调递增

B.数列{a_n}单调递减

C.数列{a_n}有界

D.数列{a_n}无界

10.若数列{a_n}单调递增且a_n<3，则下列结论一定正确的是

A.数列{a_n}有极限

B.数列{a_n}极限为3

C.数列{a_n}极限小于3

D.数列{a_n}极限不存在

四、判断题

1.单调递增的数列一定有界。

2.单调递减的数列的极限一定存在。

3.如果数列有界，那么它一定单调。

4.如果数列单调递增且极限存在，那么极限一定是正数。

5.如果数列单调递减且极限存在，那么极限一定是0。

6.单调有界准则适用于所有数列。

7.如果数列{a_n}满足a_n<=a_{n+1}<=a_n+1，那么数列{a_n}有界。

8.如果数列{a_n}单调递增且a_n<=b_n，那么数列{a_n}的极限<=数列{b_n}的极限。

9.如果数列{a_n}单调递减且a_n>=b_n，那么数列{a_n}的极限>=数列{b_n}的极限。

10.如果数列{a_n}满足a_n<=a_{n+1}且a_n趋于某个极限L，那么a_{n+1}也趋于L。

五、问答题

1.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1+1/a_n，证明数列{a_n}单调递增。

2.设数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=1/2a_n，证明数列{a_n}有界。

3.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1/(1+a_n)，求证数列{a_n}的极限存在，并求出该极限。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2，每一项都比前一项多2，因此数列是单调递增的。

2.A

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<2，根据单调有界准则，数列必有极限，但极限值不确定。

3.C

解析：数列{a_n}满足0<a_1<1，a_{n+1}=a_n(2-a_n)，可以证明数列在(0,1)之间振荡且有界。

4.B

解析：数列{a_n}单调递减且a_n>0，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为正数。

5.A

解析：数列{a_n}满足a_1=0，a_{n+1}=a_n+1/n，每一项都比前一项多1/n，因此数列是单调递增的。

6.A

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<1，根据单调有界准则，数列必有极限，但极限值不确定。

7.D

解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1/(1+a_n)，可以证明数列在(0,1)之间振荡且无界。

8.A

解析：数列{a_n}单调递减且a_n>1，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为1。

9.B

解析：数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=1/2a_n，每一项都是前一项的一半，因此数列是单调递减的。

10.A

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<3，根据单调有界准则，数列必有极限，但极限值不确定。

二、填空题答案及解析

1.1

解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/n，可以证明数列的极限为1。

2.2

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<2，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为2。

3.1

解析：数列{a_n}满足0<a_1<1，a_{n+1}=a_n(2-a_n)，可以证明数列的极限为1。

4.0

解析：数列{a_n}单调递减且a_n>0，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为0。

5.1

解析：数列{a_n}满足a_1=0，a_{n+1}=a_n+1/(n+1)，可以证明数列的极限为1。

6.1

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<1，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为1。

7.1

解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1/(1+a_n)，可以证明数列的极限为1。

8.1

解析：数列{a_n}单调递减且a_n>1，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为1。

9.0

解析：数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=1/2a_n，可以证明数列的极限为0。

10.3

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<3，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为3。

三、多选题答案及解析

1.A

解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1，每一项都比前一项多1，因此数列是单调递增的。

2.A

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<2，根据单调有界准则，数列必有极限，但极限值不确定。

3.C

解析：数列{a_n}满足0<a_1<1，a_{n+1}=a_n(2-a_n)，可以证明数列在(0,1)之间振荡且有界。

4.B

解析：数列{a_n}单调递减且a_n>0，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为正数。

5.A

解析：数列{a_n}满足a_1=0，a_{n+1}=a_n+1/n，每一项都比前一项多1/n，因此数列是单调递增的。

6.A

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<1，根据单调有界准则，数列必有极限，但极限值不确定。

7.C

解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=1/(1+a_n)，可以证明数列在(0,1)之间振荡且有界。

8.A

解析：数列{a_n}单调递减且a_n>1，根据单调有界准则，数列必有极限，且极限值为1。

9.B

解析：数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=1/2a_n，每一项都是前一项的一半，因此数列是单调递减的。

10.A

解析：数列{a_n}单调递增且a_n<3，根据单调有界准则，数列必有极限，但极限值不确定。

四、判断题答案及解析

1.错

解析：单调递增的数列不一定有界，例如数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1，数列单调递增但无界。

2.错

解析：单调递减的数列的极限不一定存在，例如数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=-a_n，数列单调递减但无界。

3.错

解析：数列有界不一定单调，例如数列{a_n}满足a_n=1+(-1)^n，数列有界但不单调。

4.错

解析：单调递增且极限存在的数列，极限值可以是任何实数，例如数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1，数列单调递增且极限为无穷大。

5.错

解析：单调递减且极限存在的数列，极限值可以是任何实数，例如数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=0，数列单调递减且极限为0。

6.错

解析：单调有界准则适用于所有数列，这个说法是错误的，单调有界准则只适用于单调且有界的数列。

7.对

解析：数列{a_n}满足a_n<=a_{n+1}<=a_n+1，可以证明数列有界，因为每一项与前一项的差不超过1。

8.对

解析：如果数列{a_n}单调递增且a_n<=b_n，那么数列{a_n}的极限<=数列{b_n}的极限，这是单调有界准则的应用。

9.对

解析：如果数列{a_n}单调递减且a_n>=b_n，那么数列{a_n}的极限>=数列{b_n}的极限，这是单调有界准则的应用。

10.对

解析：如果数列{a_n}满足a_n<=a_{n+1}且a_n趋于某个极限L，那么a_{n+1}也趋于L，这是单调有界准则的应用。

五、问答题答案及解析

1.证明数列{a_n}单调递增

解析：要证明数列{a_n}单调递增，需要证明对于任意的n，都有a_{n+1}>a_n。由于a_{n+1}=1+1/a_n，所以需要证明1+1/a_n>a_n。这等价于证明1>a_n-1/a_n，即a_n^2-a_n-1<0。解这个不等式，得到a_n在(0,1)之间，因此