函数极限综合提升考核卷

函数极限综合提升考核卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

试标题是:“函数极限综合提升考核卷”

一、选择题

1.当x趋于无穷大时，下列函数中极限存在的是

A.sin(x)

B.x^2-3x+2

C.1/x

D.tan(x)

2.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限是

A.0

B.1

C.2

D.不存在

3.若lim(x→2)[f(x)+3g(x)]=5，且lim(x→2)f(x)=1，则lim(x→2)g(x)等于

A.1

B.2

C.3

D.4

4.函数f(x)=|x|在x=0处的极限是

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

5.若lim(x→0)[3x+2f(x)]=5，则lim(x→0)f(x)等于

A.1

B.2

C.3

D.4

6.函数f(x)=1/(x-1)在x=1处的极限是

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

7.若lim(x→3)[2f(x)-g(x)]=4，且lim(x→3)f(x)=2，则lim(x→3)g(x)等于

A.0

B.2

C.4

D.6

8.函数f(x)=x^3-2x+1在x=1处的极限是

A.0

B.1

C.2

D.3

9.若lim(x→0)[f(x)/x]=3，则lim(x→0)[f(2x)/x]等于

A.3

B.6

C.12

D.24

10.函数f(x)=e^x在x=0处的极限是

A.0

B.1

C.e

D.e^2

二、填空题

1.lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=______

2.若lim(x→3)[f(x)+g(x)]=7，且lim(x→3)f(x)=4，则lim(x→3)g(x)=______

3.lim(x→0)(sinx)/x=______

4.lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(2x^2+x-3)=______

5.若lim(x→1)[f(x)/x]=5，则lim(x→1)f(x)=______

6.lim(x→0)(e^x-1)/x=______

7.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限是______

8.lim(x→2)(3x-6)/(x-2)=______

9.若lim(x→0)[f(x)+2g(x)]=6，且lim(x→0)f(x)=2，则lim(x→0)g(x)=______

10.函数f(x)=|x-1|在x=1处的极限是______

三、多选题

1.下列函数中，在x=0处极限存在的是

A.sin(1/x)

B.cos(x)

C.1/x

D.x^2

2.若lim(x→2)[f(x)+g(x)]=5，且lim(x→2)f(x)=3，则下列说法正确的是

A.lim(x→2)g(x)=2

B.lim(x→2)[2f(x)+g(x)]=8

C.lim(x→2)[f(x)-g(x)]=1

D.lim(x→2)[f(x)/g(x)]=1/2

3.下列函数中，在x=1处极限存在的是

A.tan(x)

B.e^x

C.1/(x-1)

D.x^3

4.若lim(x→0)[f(x)/x]=2，则下列说法正确的是

A.lim(x→0)[f(3x)/x]=6

B.lim(x→0)[f(x)/3x]=2/3

C.lim(x→0)[3f(x)/x]=6

D.lim(x→0)[f(x)/2x]=1

5.下列极限计算正确的是

A.lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=4

B.lim(x→0)(sinx)/x=1

C.lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(2x^2+x-3)=3/2

D.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=2

四、判断题

1.函数f(x)=1/x在x=0处的极限是0

2.若lim(x→a)f(x)=A且lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)g(x)]=AB

3.函数f(x)=|x|在x=0处的极限不存在

4.若lim(x→0)f(x)=lim(x→0)g(x)=0，则lim(x→0)[f(x)/g(x)]=0

5.函数f(x)=x^2在x=1处的极限是1

6.若lim(x→∞)f(x)=L且L≠0，则lim(x→∞)[1/f(x)]=1/L

7.函数f(x)=e^x在x=0处的极限是1

8.若lim(x→a)f(x)存在，则f(x)在x=a处连续

9.函数f(x)=sin(x)/x在x=0处的极限是1

10.若lim(x→0)[f(x)/x]=3，则lim(x→0)[f(x)/2x]=3/2

五、问答题

1.讨论函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限是否存在，并说明理由

2.已知lim(x→2)[f(x)+3g(x)]=8，且lim(x→2)f(x)=2，求lim(x→2)g(x)的值

3.若函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=3，lim(x→0)f(x)=5，判断是否存在这样的函数f(x)，并说明理由

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：当x趋于无穷大时，1/x趋于0，是唯一一个极限存在的函数。

2.B

解析：f(x)=(x^2-1)/(x-1)=x+1，当x趋于1时，f(x)趋于2。

3.C

解析：根据极限的线性性质，lim(x→2)[f(x)+3g(x)]=lim(x→2)f(x)+3lim(x→2)g(x)=1+3lim(x→2)g(x)=5，解得lim(x→2)g(x)=3。

4.A

解析：当x趋于0时，|x|趋于0，所以极限存在且为0。

5.B

解析：根据极限的线性性质，lim(x→0)[3x+2f(x)]=3lim(x→0)x+2lim(x→0)f(x)=0+2lim(x→0)f(x)=5，解得lim(x→0)f(x)=2.5。

6.D

解析：当x趋于1时，1/(x-1)趋于无穷大或负无穷大，所以极限不存在。

7.C

解析：根据极限的线性性质，lim(x→3)[2f(x)-g(x)]=2lim(x→3)f(x)-lim(x→3)g(x)=4-lim(x→3)g(x)=4，解得lim(x→3)g(x)=0。

8.B

解析：当x趋于1时，x^3-2x+1=1-2+1=0，所以极限存在且为0。

9.B

解析：根据极限的等价无穷小替换，lim(x→0)[f(2x)/x]=lim(x→0)[f(2x)/(2x)*2]=2lim(x→0)[f(2x)/(2x)]=2*3=6。

10.B

解析：当x趋于0时，e^x-1趋于0，所以极限存在且为1。

二、填空题答案及解析

1.4

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x+2)(x-2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=4。

2.3

解析：根据极限的线性性质，lim(x→3)[f(x)+g(x)]=lim(x→3)f(x)+lim(x→3)g(x)=4+lim(x→3)g(x)=7，解得lim(x→3)g(x)=3。

3.1

解析：这是著名的极限结论。

4.3/2

解析：分子分母同除以x^2，lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(2x^2+x-3)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(2+1/x-3/x^2)=3/2。

5.5

解析：根据极限的定义和连续性，lim(x→1)f(x)=f(1)=5*1=5。

6.1

解析：这是著名的极限结论。

7.2

解析：f(x)=(x^2-1)/(x-1)=x+1，当x趋于1时，f(x)趋于2。

8.3

解析：lim(x→2)(3x-6)/(x-2)=lim(x→2)[3(x-2)/(x-2)]=3。

9.1

解析：根据极限的线性性质，lim(x→0)[f(x)+2g(x)]=lim(x→0)f(x)+2lim(x→0)g(x)=2+2lim(x→0)g(x)=6，解得lim(x→0)g(x)=2。

10.0

解析：当x趋于1时，|x-1|趋于0，所以极限存在且为0。

三、多选题答案及解析

1.BD

解析：sin(1/x)在x=0处无定义且震荡，极限不存在；cos(x)在x=0处连续，极限为1；1/x在x=0处无定义，极限不存在；x^2在x=0处连续，极限为0。

2.ABC

解析：根据极限的线性性质，lim(x→2)[f(x)+g(x)]=lim(x→2)f(x)+lim(x→2)g(x)=3+lim(x→2)g(x)=5，解得lim(x→2)g(x)=2；lim(x→2)[2f(x)+g(x)]=2*3+2=8；lim(x→2)[f(x)-g(x)]=3-2=1；lim(x→2)[f(x)/g(x)]=3/g(2)，g(2)未知，无法判断。

3.BD

解析：tan(x)在x=1处连续，极限为tan(1)；e^x在x=1处连续，极限为e；1/(x-1)在x=1处无定义，极限不存在；x^3在x=1处连续，极限为1。

4.AC

解析：根据极限的等价无穷小替换，lim(x→0)[f(3x)/x]=lim(x→0)[f(3x)/(3x)*3]=3lim(x→0)[f(3x)/(3x)]=3*2=6；lim(x→0)[f(x)/3x]=(1/3)lim(x→0)[f(x)/x]=(1/3)*2=2/3；lim(x→0)[3f(x)/x]=3*2=6；lim(x→0)[f(x)/2x]=(1/2)lim(x→0)[f(x)/x]=(1/2)*2=1。

5.BCD

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x+2)(x-2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=4，所以A错误；lim(x→0)(sinx)/x=1，所以B正确；lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(2x^2+x-3)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(2+1/x-3/x^2)=3/2，所以C正确；lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)[(x+1)(x-1)/(x-1)]=lim(x→1)(x+1)=2，所以D正确。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：1/x在x=0处无定义，极限不存在。

2.正确

解析：这是极限的乘法法则。

3.错误

解析：|x|在x=0处连续，极限为0。

4.错误

解析：例如f(x)=xsin(1/x)，g(x)=x，lim(x→0)f(x)=0，lim(x→0)g(x)=0，但lim(x→0)[f(x)/g(x)]=lim(x→0)[xsin(1/x)/x]=lim(x→0)sin(1/x)不存在。

5.正确

解析：x^2在x=1处连续，极限为1。

6.正确

解析：这是极限的倒数法则。

7.正确

解析：e^x在x=0处连续，极限为1。

8.错误

解析：极限存在不一定连续，例如f(x)={0,x=1;1,x≠1}，lim(x→1)f(x)=0，但f(1)=1，不连续。

9.正确

解析：这是著名的极限结论。

10.正确

解析：根据极限的等价无穷小替换和线性性质，lim(x→0)[f(x)/2x]=(1/2)lim(x→0)[f(x)/x]=