无界函数反常积分专项考核卷

无界函数反常积分专项考核卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高三/理科班

无界函数反常积分专项考核卷

一、选择题

1.下列函数中，在区间（1，+∞）上收敛的反常积分是

A.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx

B.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x}dx

C.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{x}}dx

D.∫_{1}^{+∞}e^xdx

2.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx收敛的条件是

A.p>1

B.p<1

C.p=1

D.p≠1

3.下列反常积分中，发散的是

A.∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx

B.∫_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx

C.∫_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^3}}dx

D.∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^3}dx

4.若反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx收敛，则下列不等式正确的是

A.p>2

B.p<2

C.p=2

D.p≠2

5.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的值是

A.1

B.2

C.\frac{1}{2}

D.发散

6.下列反常积分中，收敛的是

A.∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx

B.∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx

C.∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx

D.∫_{0}^{1}e^{-x}dx

7.若反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx收敛，则

A.p<1

B.p>1

C.p=1

D.p≠1

8.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx的敛散性是

A.收敛

B.发散

C.无法判断

D.与p无关

9.下列反常积分中，收敛的是

A.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2\lnx}dx

B.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx

C.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx

D.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\ln^2x}dx

10.反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx的敛散性是

A.收敛

B.发散

C.无法判断

D.与p无关

二、填空题

1.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^3}dx的值是__________。

2.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的值是__________。

3.若反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx收敛，则p的取值范围是__________。

4.反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx的敛散性是__________。

5.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx的敛散性是__________。

6.若反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx收敛，则p的取值范围是__________。

7.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx的敛散性是__________。

8.反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx的值是__________。

9.若反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx收敛，则p的取值范围是__________。

10.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx的敛散性是__________。

三、多选题

1.下列反常积分中，收敛的是

A.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx

B.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x}dx

C.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{x}}dx

D.∫_{1}^{+∞}e^{-x}dx

2.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx收敛的条件是

A.p<1

B.p>1

C.p=1

D.p≠1

3.下列反常积分中，发散的是

A.∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx

B.∫_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx

C.∫_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^3}}dx

D.∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^3}dx

4.若反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx收敛，则下列不等式正确的是

A.p>2

B.p<2

C.p=2

D.p≠2

5.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的值是

A.1

B.2

C.\frac{1}{2}

D.发散

6.下列反常积分中，收敛的是

A.∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx

B.∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx

C.∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx

D.∫_{0}^{1}e^{-x}dx

7.若反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx收敛，则

A.p<1

B.p>1

C.p=1

D.p≠1

8.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx的敛散性是

A.收敛

B.发散

C.无法判断

D.与p无关

9.下列反常积分中，收敛的是

A.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2\lnx}dx

B.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx

C.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx

D.∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\ln^2x}dx

10.反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx的敛散性是

A.收敛

B.发散

C.无法判断

D.与p无关

四、判断题

1.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx是收敛的。

2.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x}dx是收敛的。

3.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx当p>1时收敛。

4.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx是收敛的。

5.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx是收敛的。

6.反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx是收敛的。

7.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx是发散的。

8.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2\lnx}dx是收敛的。

9.反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx是收敛的。

10.反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\ln^2x}dx是收敛的。

五、问答题

1.简述反常积分收敛的判断方法。

2.讨论反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx的敛散性。

3.解释为什么反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx是发散的。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx的原函数为-\frac{1}{x}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1})=1，收敛。

2.B

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx当p<1时，原函数为\frac{x^{1-p}}{1-p}，计算得\lim_{a→0^+}(\frac{a^{1-p}}{1-p}-0)=0，收敛。

3.A

解析：反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx，均发散。

4.A

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx当p>1时，原函数为-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{(p-1)b^{p-1}}+\frac{1}{p-1})=\frac{1}{p-1}，收敛。

5.B

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的原函数为2\sqrt{x}，计算得\lim_{a→0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2，收敛。

6.D

解析：反常积分∫_{0}^{1}e^{-x}dx的原函数为-e^{-x}，计算得\lim_{a→0^+}(-e^{-1}+e^0)=1-1/e，收敛。

7.A

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx当p<1时，原函数为\frac{x^{1-p}}{1-p}，计算得\lim_{a→0^+}(\frac{a^{1-p}}{1-p}-0)=0，收敛。

8.B

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx的原函数为\ln(\lnx)，计算得\lim_{b→+∞}(\ln(\lnb)-\ln(\ln1))=+∞，发散。

9.A

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2\lnx}dx的原函数为-\frac{1}{\lnx}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{\lnb}+0)=0，收敛。

10.B

解析：反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx，均发散。

二、填空题

1.\frac{1}{8}

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^3}dx的原函数为-\frac{1}{2x^2}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}。

2.2

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的原函数为2\sqrt{x}，计算得\lim_{a→0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2。

3.p>1

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx当p>1时，原函数为-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{(p-1)b^{p-1}}+\frac{1}{p-1})=\frac{1}{p-1}，收敛。

4.发散

解析：反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx，均发散。

5.发散

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx的原函数为-\frac{1}{x}，计算得\lim_{a→0^+}(-\frac{1}{a}+\frac{1}{1})=+∞，发散。

6.p<1

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx当p<1时，原函数为\frac{x^{1-p}}{1-p}，计算得\lim_{a→0^+}(\frac{a^{1-p}}{1-p}-0)=0，收敛。

7.发散

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx的原函数为\ln(\lnx)，计算得\lim_{b→+∞}(\ln(\lnb)-\ln(\ln1))=+∞，发散。

8.\frac{3}{2}

解析：反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx的原函数为\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}，计算得\lim_{a→0^-}(\frac{3}{2}a^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}(-1)^{\frac{2}{3}})=0-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}。

9.p>1

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx当p>1时，原函数为-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{(p-1)b^{p-1}}+\frac{1}{p-1})=\frac{1}{p-1}，收敛。

10.p<1

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx当p<1时，原函数为\frac{x^{1-p}}{1-p}，计算得\lim_{a→0^+}(\frac{a^{1-p}}{1-p}-0)=0，收敛。

三、多选题

1.A,D

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx的原函数为-\frac{1}{x}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1})=1，收敛；反常积分∫_{1}^{+∞}e^{-x}dx的原函数为-e^{-x}，计算得\lim_{b→+∞}(-e^{-b}+e^{-1})=0，收敛。

2.A,B

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx当p<1时，原函数为\frac{x^{1-p}}{1-p}，计算得\lim_{a→0^+}(\frac{a^{1-p}}{1-p}-0)=0，收敛；当p>1时，原函数为-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}，计算得\lim_{a→0^+}(-\frac{1}{(p-1)a^{p-1}}+0)=+∞，发散。

3.A,B,D

解析：反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx，均发散；反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx，均发散；反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^3}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x^3}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x^3}dx，均发散。

4.A,B

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx当p>1时，原函数为-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{(p-1)b^{p-1}}+\frac{1}{p-1})=\frac{1}{p-1}，收敛；当p<1时，原函数为\frac{x^{1-p}}{1-p}，计算得\lim_{b→+∞}(\frac{b^{1-p}}{1-p}-0)=+∞，发散。

5.B

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的原函数为2\sqrt{x}，计算得\lim_{a→0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2，收敛。

6.C,D

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的原函数为2\sqrt{x}，计算得\lim_{a→0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2，收敛；反常积分∫_{0}^{1}e^{-x}dx的原函数为-e^{-x}，计算得\lim_{a→0^+}(-e^{-1}+e^0)=1-1/e，收敛。

7.A,B

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx的原函数为\lnx，计算得\lim_{a→0^+}(\ln1-\lna)=-∞，发散；反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx的原函数为-\frac{1}{x}，计算得\lim_{a→0^+}(-\frac{1}{a}+\frac{1}{1})=+∞，发散。

8.A,B

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx的原函数为\ln(\lnx)，计算得\lim_{b→+∞}(\ln(\lnb)-\ln(\ln1))=+∞，发散；反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2\lnx}dx的原函数为-\frac{1}{\lnx}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{\lnb}+0)=0，收敛。

9.A,C

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx的原函数为-\frac{1}{x}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1})=1，收敛；反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2\lnx}dx的原函数为-\frac{1}{\lnx}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{\lnb}+0)=0，收敛。

10.B

解析：反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx，均发散。

四、判断题

1.√

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2}dx的原函数为-\frac{1}{x}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1})=1，收敛。

2.×

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x}dx的原函数为\lnx，计算得\lim_{b→+∞}(\lnb-\ln1)=+∞，发散。

3.√

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^p}dx当p>1时，原函数为-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{(p-1)b^{p-1}}+\frac{1}{p-1})=\frac{1}{p-1}，收敛。

4.×

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx的原函数为\lnx，计算得\lim_{a→0^+}(\ln1-\lna)=-∞，发散。

5.√

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx的原函数为2\sqrt{x}，计算得\lim_{a→0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2，收敛。

6.×

解析：反常积分∫_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx在x=0处有奇点，分成两部分∫_{-1}^{0}\frac{1}{x}dx+∫_{0}^{1}\frac{1}{x}dx，均发散。

7.√

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x\lnx}dx的原函数为\ln(\lnx)，计算得\lim_{b→+∞}(\ln(\lnb)-\ln(\ln1))=+∞，发散。

8.√

解析：反常积分∫_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2\lnx}dx的原函数为-\frac{1}{\lnx}，计算得\lim_{b→+∞}(-\frac{1}{\lnb}+0)=0，收敛。

9.×

解析：反常积分∫_{0}^{1}\frac{1}{x^2