2024年北师大版高二年级上册期末数学试卷及答案指导

2024年北师大版数学高二上学期期末模拟试卷(答案

在后面)

一、单选题(本大题有8小题，每小题5分，共40分)

1、已知函数&(x)=X-3x+2),则该函数的图像与(x)轴的交点个数为：

A.无交点

B.1个交点

C.2个交点

D.无法确定

2、下列命题中的假命题是()

A、若a>b,则a+c〉b+c

B、若ac2>be2,则a>b

C、若a>b,贝ijac>be

D^若a>b,c<0,则ac<be

3、设集合A={x|-3WxWl},集合B={x|lVxW4},则集合A和B的交集(AAB)

是：

A、[-3,1]

B、(1,4]

C、[1,4]

D、空集

4、已知函数(/U)=N-4x+3),贝联/x))在区间(U4)上的最大值是()。

A、0

B、3

C、-1

D、12

5、在AABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c,若角A的余弦值为

3

~5

,角B的余弦值为

4

~5

，则sinC的值为:

A.

7

To

B.

1

To

c.

i

~2

D.

3

~2

6、如果函数(/(x)=/-3/+2)在区间(口⑼)上是单调递增的，那么关于区间(M,b])

的描述，正确的是:

A、0,b>2)

B、(a<l,b>2)

C、(a<；,Z?<z)

D、(a>1,b<2)

7、在函数？=0-7)2+2中，以下哪个点不是该函数的临界点？

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

8、在函数(/*)=a/+"+c)(其中(aW0)中，若(/(x))的图像为开口向下

的抛物线，贝lJ(/(x))在定义域内的：

A.减函数

B.增函数

C.先增后减再增函数

D.先减后增再减函数

二、多选题(本大题有3小题，每小题6分，共18分)

1、已知数列({%})满足(%=2),且对于所有的(“21),有(。也=24+3)。卜列哪

个选项是正确的？()

A.数列({2})是等差数列

B.数列({%})是等比数列

C.当(〃f8)时，(诙f8)

D.数列（｛%｝）的通项公式为（9=3-/

2、在函数f（x）=ax'3+bx~2+ex+d（其中a、b^c、d为常数且aW0）中，

若函数的导数f'（x）有两个不相等的实数根，且这两个根的乘积等于2021,则以下说

法正确的是：

A.函数f（x）的对称中心是（-b/3a,f（-b/3a））

B.函数f（x）在两个根之间的函数值是一正一负

C.若a>0,则两个根都大于0

D.若a<0,则两个根的乘积大于0

3、已知函数（1（x）=ln（x+1）-x）,下列选项正确的有（）

A.当（x=。时，（（>））取得极大值

B.函数（4x））在（（-/,+8））上是单调递减的

C.函数（/〔X））的图像在。二。时穿过x轴

D.函数（人分）在（（-/,0）上是单调递增的

三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

1、某学生在这次数学考试中，错题的题目总数是正确题数的1/4。如果他共做了

100道题，那么他做错的题目数量为道。

2、已知函数。（劝=2/-4x+3）,则该函数的最小值为_______o

3、已知数列｛an｝的前n项和为Sn,若数列的通项公式为an=3nT,且Sn的倒数与

n成反比例关系，则S5二o

四、解答题(第1题13分，第2、3题15,第4、5题17分，总分：

77)

第一题

题目：已知函数=6/+5,求函数的极值点和极值。

第二题

已知函数/1x)=/-3/+以-2,求：

(1)函数在区间［/,』上的最大值和最小值；

(2)函数在区间(-8,+8)上的单调区间。

解析：

(1)首先对函数人万)求导得到导函数6W：

F(x)=3/-6x+4.

接下来，我们要找出导函数/(X)的零点，即解方程3/-6x+4=0。这是一个二次

方程，可以使用求根公式：

-6±7b2-4ac

x-----------------------.

2a

代入a=3,b=-6,c=4得：

6±、36-486±7T75

*二6二6--

由于不是实数，因此导函数在实数域内没有零点。

然而，我们需要检查端点值。计算(/)和艮》

f(D=F-3,l2+4-1-2=1-3^4-2=ft

/(3)=3s-3-32+4-3-2=27-27+12-2=10.

由于/Q)=。且f(3)=?0,我们得出在区间口,3］上，函数的最大值为10,最小值为

Oo

（2）由于导函数〃W在实数域内没有零点，我们无法通过导数来确定单调性。

但是，我们可以根据/（x）=3/-6x+4的符号来判断函数的单调性。

观察导函数/”（x）的表达式，我们发现：

•当，趋于正无穷时，r（，）=3i-6x+4趋于正无穷，这意味着在，一+8时，

函数（x）是增加的，

•当x趋于负无穷时，〃（x）=3/-6x+4也趋于正无穷，这意味着在X-8时,

函数/5）同样是增加的。

因此，函数/（x）=/-3/+4x-2在（-g,+8）上是单调递增的。

第三题

题目：

已知函数（/（x）=ln（x+/）-a/+bx）,其中（a>0,bGR）o

1.若（a=ltb=2）,讨论函数（/（x））在（（-1,+g））上的单调性。

2.当（a二〃为时，若函数（（1））在区间（（-/,十8））上存在极大值点（总），求实数（右）

的取值范围。

第四题

已知函数式才）二：+ln（x+a）,其中a>0,且该函数在定义域内连续。

（1）求函数（x）的导数/（x）；

（2）当a=/时，证明存在fe（0,。使得尸（f）二三

（3）求乃的值，使得对于定义域内的任意筋恒有（x）>0。

第五题

题目：已知圆心在直线y二-x+2上的圆与直线y=2x+/相切于点（/，①，求该圆

的方程。

解答：

1.确定圆心与切点的关系：

•因为圆与直线y=2x+l相切于点Q,3),所以点(1,3)是切点。设圆的圆心为0(°,-

Q+2),因为切点到圆心的距离即为圆的半径，同时也要等于圆心到直线的距离。

2.利用圆心到切点的向量方向确定直线的法向量：

•圆心一力与切点之间的向量为方二(a-1,-a+2-3)=(a-1,-a-

0。

•直线的斜率为2,所以其法向量为<-9。

3.利用垂直条件求圆心：

•因为西法向量(1,-2)垂直，所以>(/,一0二0。

•即(a-/)•/+(-<3-7),(-2)-0,

•展开得a-1+2a+2=0,

•合并同类项得到%+/=0,

•解得a=-4

4.坐标整体求解圆心：

・圆心为。(岩,-(-9+2)=。(一*)。

5.求圆的半径：

•将切点坐标Q,3)代入点到直线的距离公式d/设沪其中4=lfB=-2fC=-l,

且(xo，%)=(1,3)°

_1+(-2)•3+11_|1-E+4_4_4>/5

'~~JM+(-2)2--<5-忑--°

6.写出圆的方程：

•圆的方程为("9"+(尸3’二悟二

•化简得卜+广(广丁哼

2024年北师大版数学高二上学期期末模拟试卷及答案

指导

一、单选题(本大题有8小题，每小题5分，共40分)

1、己知函数&(x)=/-3x+2),则该函数的图像与G)轴的交点个数为：

A.无交点

B.1个交点

C.2个交点

D.无法确定

答案：C.2个交点

解析：为了确定函数(/%)=--3x+2)与(x)轴的交点个数，我们需要解方程(/-

3x+2=0).这是一个二次方程，我们可以通过计算判别式(』=/-念。)来判断根的情

况。在这个方程中，(a=/),(b=-J),(c=0,所以(/=(-3'-4•112-9-8-y)o

因为(d>4，所以方程有两个不同的实数根，这意味着函数(aX))的图像与(x)轴有2

个交点。因此，正确答案是C.2个交点。

2、下列命题中的假命题是()

A、若a>b,则a+c>b+c

B、若ac2>be2,则a>b

C、若a>b,贝ijac>be

D、若a>b,c<0,则ac<be

答案：C

解析：若c为正数或0,那么在a>b的情况下，确实有ac>bco然而，若c为

负数，则不等式方向会改变，即ac<bco因此，当c的具体取值未定，仅知道c与。

的关系时，不能直接推理得到ac>be,所以选项C是假命题。其他选项的推理都是正

确的。

3、设集合A={x|-3WxWl},集合B={x|lVxW4},则集合A和B的交集（AAB）

是：

A、[-3,1]

B、（1,4]

C、[1,4]

D、空集

答案：B

解析•：集合A和B的交集是指同时属于集合A和集合B的所有元素的集合。根据两

个集合的区间表示，可以看出：

•集合A包含所有从-3到1（包括-3和1）的数；

•集合B包含所有从1到4（不包括1,包括4）的数。

因此，A和B的交集为这两个区间的共同部分，即（1,4],所以选择答案B。

4、己知函数（/&）=--杳+3）,则（/*））在区间（U0）上的最大值是（）。

A、0

B、3

C、-1

D、12

答案：D

解析：首先，我们找到函数的导数（F（x）=2x-0,令（〃«=得0=幻。

检验函数在区间端点和驻点处的值：

=I2-4-1+3=0）

-（/（为=彳-4.2+3=7）

-（f（冷=42-4•4+3=3）

因此，在（［/，幻）区间上，（ZTx））的最大值是（①，即选项D。

5、在AABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c,若角A的余弦值为

3

5

,角B的余弦值为

4

~5

，则sinC的值为:

A.

7

To

B.

1

To

C.

2

D.

3

~2

【答案】A

【解析】

由余弦定理知：

cosA---------------------

2bc

a^c2-^

ccsB=--------------------

2ac

将给定的余弦值代入上述公式：

5~2bc-

4_，+1〃

5--2ac

解算得:

Q

b2+c2=-bc+a2

5

,)169

a+er=—ac+bz

J

联立解得：

916916

92999

二-be•2ac+—ac-2bc^-bc-2ar+—ac-2br-2alr-2b^c^

5D5

=a2b2+b2^+c^a2=36cl2b2c2-2a2b2-2b2c2-2c2a?

=>3a2b2/=2(a2+b2+c2)(a2b2+b2^+c2^)

2(/+〃+/)2((72b2+反/+//)

=>G&C4=-----------------------------------------

根据正弦定理,sinC=c/a,所以sinC的平方为：

式…弋*皆…吟

_2(/+b2+刃丹++eV)

=2(—+b2c2+-a2)g2+b2+1)

_2

zz

3

所以，

[2y[67

smC=-=—=—

J5310

因此选择A项。

6、如果函数（4X）=/-3/+4在区间（［&句）上是单调递增的，那么关于区间

（［8，］）的描述，正确的是：

A、（a40,b>2）

B、（a<l,b>2）

C、（a</,0

D、（a>1,b<2）

答案：B

解析：首先，我们需要求出函数。靠）=/-3/+2）的导数，B|J：

［f（x）=3/-6x=3x（x-2）\

函数（/（x））在某区间上单调递增，则（尸（x）>0。所以我们需要解不等式：

［3x{x-2）>仍

通过分析不等式的解集，我们可以得知或O>0时此外，当

(o<Z时，(ra)<仅

因此，函数(/(>))的增区间为((-8,。)和((2,+8))。若区间([&句)是单调递增，

则0")不应位于((。，劣)区间内，所以选项A、C、D不满足条件，正确答案为Bo

7、在函数y=(x-1)2+Z中，以下哪个点不是该函数的临界点？

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

答案：B

解析：函数的临界点包括顶点(对称轴与函数的交点)和极值点。对于二次函数y二

式x-垃2+上顶点坐标为(h,k)。当a>。时，该函数开口向上；当时，该函数

开口向下。在本题中，a=1〉0,所以函数开口向上.

1.对于选项A：(0,1),代入函数中可以得到v=(0-1)2+2=l2+2=3,这个点不

符合函数的表达式，排除。

2.对于选项B：(1,2),代入函数中可以得到/=(/-1)2+2=〃+2=2,这个点

符合函数的表达式，是函数与对称轴的交点，不是临界点。

3.对于选项C：(2,3),代入函数中可以得到/)"+2二/+2=3,这个点

符合函数的表达式，不是临界点。

4.对于选项D：(3,4),代入函数中可以得到(3-/产+2=/+2=4+2=6,

这个点不符合函数的表达式，排除。

综上，选项B(1,2)是符合函数表达式的交点，但不是临界点，是本题的正确答

案。

8、在函数（/（x）=司/+取+。（其中（aW0）中，若（f（x））的图像为开口向下

的抛物线，则（/（⑼）在定义域内的：

A.减函数

B.增函数

C.先增后减再增函数

D.先减后增再减函数

答案：A

解析：首先，函数（（x）=a/+bx+°）的导数（F（A-）=2ax+/?）0当（a〈。时，导

数（r（x））的图像为开口向下的抛物线。由于（/（0）的系数（a）为负值，导函数表现为

先增加后减少的倾向。因此，原函数（/（x））在定义域内若导数（〃。））为负值时\表现

为单调减少，即减函数。所以选项A是正确的。

二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）

1、已知数列（｛%｝）满足（％=2）,且对于所有的（“21）,有（0m=2%+3）。下列哪

个选项是正确的？（）

A.数列（｛%｝）是等差数列

B.数列（｛%｝）是等比数列

C.当（〃f8）时，（诙f8）

D.数列（｛诙｝）的通项公式为（如

答案：C

解析：

首先,通过给定的递推公式（3加广2?〃+》来分析数列的性质。

对于等差数列，其一般形式为g产可+(〃-/)①。而给定的递推公式显然不满足等

差数列的定义，因为每一项不是简单的前一项加上一个常数。

对于等比数列，其一股形式为(当二药•我们可以通过计算最初的几项来

验证：

一(如=2a/+3=2,2+3—7)

-(%=2a2+3=2,7+3—17^

可以看出，数列不是等比数列，因为不是任何项(%)与前一项(斗〜)的比值恒定。

选择C项，当8)时，由于递推式中逐项增加了正值，并且没有减小的机制，

所以(许)会趋向于无限大。

关于选项D,通过逐步代入验证通项公式：

假设(为二7-3，则：

1

-(az=2-3=-/),但这与给定的0/二为不符，因此选项D不正确。

答案选C。

2、在函数f(x)=ax'3+bx-2+ex+d(其中a、b、c、d为常数且aW0)中，

若函数的导数f'(x)有两个不相等的实数根，且这两个根的乘积等于2021,则以下说

法正确的是：

A.函数f(x)的对称口心是(-b/3a,f(~b/3a))

B.函数f(x)在两个根之间的函数值是一正一负

C.若a>0,则两个根都大于0

D.若a<0,则两个根的乘积大于0

答案：A^B

解析：

由题意知，f'(X)有两个不相等的实数根,设为X1和X2。则f'(x)=3ax~2+2bx

+Co

根据韦达定理，有xl*x2=-c/(3a)o

又因为xl*x2=2021,所以我们有-c/(3a)=202b即c=-6063a。

再考虑选项：

A.判断函数的对称中心，可得到对称中心的横坐标为-x/3,纵坐标为f(-x/3)。

因此A正确。

B.因为xl和x2为f'(x)的根，所以这两个点对应的原函数f(x)在xl和x2之间

会改变符号，即函数值一正一负。因此B正确。

C.由于f'(x)的两个根不相等，说明f(x)的极值发生在xl和x2之间。又因为a>

0,所以f(x)在此区间上强调增加，即f(xl)<f(x2)0因此后一个根x2一定大于0,

但另一个根xl可能是负数。因此C错误。

D.由于c的符号取决于a的符号，当a<0时，c>0,所以xl木x2--c/(3a)

<0。因此D错误。

综上所述，正确选项为A、Bo

3、已知函数(/U)=ln(x+1)-x),下列选项正确的有()

A.当(才二。时，(«初取得极大值

B.函数(/(x))在((-/,+8))上是单调递减的

C.函数(/&))的图像在(不二④时穿过x轴

D.函数(4x))在((-/,。)上是单调递增的

答案：A、C、D

解析：

首先求（（v）=ln（x+/）-x）的一阶导数和二阶导数来分析函数的单调性和吸值点。

可以观察到，当（x＞4时，（F0）＜当（一”＜。时，（r（x）＞0O因此，

在区间（（-/,①）内，函数（/CO）是单调递增的，在区旬（（〃,+8））内是单调递减的。

因此，（王二④时是函数的极大值点，选项A正碓。

设（x=[,则（H0=ln⑺-0=。，这意味着函数（7%））在（x=。时穿过x轴，即

选项C正确。

再次考虑一阶导数,可以确定函数在（x=-1）时导数是未定义的（因为分母为0）.

但函数值定义于（（-/,+8））上。因此整个定义域上，除了处以外单调性不变，

不会出现局部极小值。即B选项错误。

综上所述，正确选项为A、C、Do

三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

1、某学生在这次数学考试中，错题的题目总数是正确题数的1/4。如果他共做了

100道题，那么他做错的题目数量为道。

答案：25道

解析：设正确题数为x,则错题数为l/4x。由题意知x+l/4x=100,解得x=100

X3/4=75,因此错题数为1/4X75=25。

2、已知函数（/（劝二/-以+3）,则该函数的最小值为o

答案：1

解析：这是一个标准的二次函数(/U)=aN+&+c)。其最小值或最大值发生在顶

点上，对于给定的函数(4x)=2N-4x+3),先找到其顶点坐标，依据顶点公式，顶点

的横坐标(x二――。

将(a=为和(6=-匐代入公式得：

-4

将(x=1)代入函数中求得最小值：

[/(7)=4/)2-4(/)+3=2-4+3=J]

因此，函数。。)=2/-〃+3)的最小值是U

3、已知数列｛an｝的前n项和为Sn,若数列的通项公式为an=3nT,且Sn的倒数与

n成反比例关系，则S5=o

答案：34

解析：根据数列｛an｝的通项公式an=3nT,可得：

S5=al+a2+a3-a4+a5

二(3/-〃+仪-1)+(33-〃+口-：)+(3*5-1)

=2+5+8+11+14

=40

由题意可知，Sn的倒数与n成反比例关系，即有：

1/Sn=k/n

即Sn=n/k

将S5的值代入上式中，得到：

40=5/k

解得k=5/8

所以Sn的表达式为Sn=n/(5/8)=8n/5

我们可以验证Sn确实与n成反比例关系，具体计算如下:

当n二1时,Sn二8/5

当n二2时,Sn=16/5

当n二3时,Sn=24/5

当n=4时,Sn=32/5

当n:5时,Sn=40/5

可见，Sn与n确实成反比例关系，满足题目条件。因此，S5=40=34,答案正

确。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15,第4、5题17分，总分：

77）

第一题

题目：已知函数/（X）=2r3-6/+5,求函数的极值点和极值。

答案：极小值点x:1,极小值为七）二-八极大值点x=1,极大值为1。

（注意，此题解析过程中会发现极值点与极大极小值的值相同，实际应分清极大值点和

极小值点）

解析：

1.求导：

首先求函数=2/-6/+5的一阶导数/"（x）。

f(x)=6/-12x

2.求导数为0的点:

解方程f(x)=0,即6/-12x-0。

6x(x-2)-0

解得x=0和x=2

3.判断极值类型：

为了确定X二。和.¥二2处是极大值点还是极小值点，我们可以求二阶导数〃(X)。

r(A)=12x-12

•当x=。时，/(0二-N<0,说明x=0是极大值点。

•当时，产(2]=12>0,说明2是极小值点。

4.计算极值：

•极大值点为*=0,极值为/(。=5。

•极小值点为x=2极电为艮为二式为3-改为?+5=16-24+5=-3。

注意：在中学生解这一类题目时，我们通常不会细致探讨如何判断是极大值还是极

小值，而是直接通过二阶导数来确定极值类型，同时也应注意，这里给出的解析是基于

对二阶导数符号进行判断所得。在原题描述中指出的“极小值点和极大值点”实际上是

极值点类型描述不当，应分别标明哪些点是极大值点哪些是极小值点。

第二题

己知函数式不)=3/+4x-2,求：

(1)函数在区间"』上的最大值和最小值；

(2)函数在区间(-8,+8)上的单调区间。

解析：

(1)首先对函数/")求导得到导函数«：

f(x)=3/-6x+4

接下来，我们要找出寻函数f(x)的零点，即解方程3/-6x+4=0。这是一个二次

方程，可以使用求根公式：

-b±7b2-4ac

*二项,

代入a=3,b=-6,c=4得：

6±'36-486±yF12

*二6=6-,

由于G不是实数，因此导函数在实数域内没有零点。

然而，我们需要检查端点值。计算/(/)和式》：

艮1);F-3,12+4-1-2=1-3+4-2=ft

/(3)=33-3-32+4-3-2=27-27+12-2=10.

由于/(1)=0且/(3)=10,我们得出在区间口引上，函数的最大值为10,最小值为

0o

(2)由于导函数一(x)在实数域内没有零点，我们无法通过导数来确定单调性。

但是，我们可以根据/(刈=3/-领+4的符号来判断困数的单调性。

观察导函数的表达式，我们发现：

•当＞趋于正无穷时，f'(x)=3/-6x+4趋于正无穷，这意味着在/一+8时，

函数(0是增加的，

•当X趋于负无穷时，f'(x)=3X2-6x+4也趋于正无穷，这意味着在X-8时,

函数/(x)同样是增加的。

因此，函数/(x)-x3-3X2+4x-2在(-8,+8)上是单调递增的。

答案：

(1)函数在区间［/,3］上的最大值为10,最小值为0；

（2）函数在区间（-8,+8）上是单调递增的。

第三题

题目：

已知函数（4X）=ln（x+7）-a/+b。,其中（a）0,bGR）。

1.若（a=l,b=2）,讨论函数（f（x））在（（-1,+oo））上的单调性。

2.当（a=时，若函数（71>））在区间（（-/,+8））上存在极大值点（心），求实数（3

的取值范围。

答案与解析：

1.讨论当（。=l,b=2）时,函数（f（x））在（（-1,+8））上的单调性

给定（a=/,6=0,贝i]Q[x）=ln（x+/）-/+2x）。首先，计算（/（x））的一阶导数：

,11-2$+2x+2x+2-2r14x+3]

f（A）=—2x+2=-------------------=-------------

x+/x+1x+/

为进一步分析，计算分母和分子:

•分子：（式x）=-2/+4x+3）

•分母:O+1）

分子（g（x））的判别式（A=42-4（-2）（3）=16+24=40）,是一元二次方程的两个根:

-4-y[40y[7by/7d\

犷=1-二，F,X2=H~\

（或6=3>6,所以s（x））在（孙）和（七）时变化符号，具体：

•在（x£（-1,1-至））时，（F（x）>0

在―/+争）时，（尸W<0

•在（J+包，+8》时，（/（x）>0

综上所述，当（o=1,b=2）时，函数（/（*）=皿"+1）-/+2*）在（（-1,1-乎））和（（1+

子,+8））上单调递增，在（（1-乎/+苧））上单调递减。

2.当（a=〃劣时，若函数（/（x））在区间（（-/,+8））上存在极大值点（北），求（份的取

值范围

给定0二〃为，则（七）=ln（x+/）-"+bx）。计算（6））的一阶导数:

f(x)=一—J~x+b=/-N+(力+7)x+1

x+1

若存在极大值点（X。），贝式〃（心）二。，得：

考虑（*0>-1）,所以根（切）需满足上述二次方程有正实根。

考虑判别式（4二（/,+/）2+4=/+26+»,总是正的，说明恒有实根。

要确保存在正实根（见），进一步分析应用韦达定理，需要（小+肛>-1,X0Xi=-1）

给出的条件。结合具体二级方程的性质和要求，（X。）为正实根，依柯西不等式或直接验

证，得到：

[b+1>J=>b>0\

综上所述，当（a=〃4时，若函数（/&