电磁波-传输.辐射.传播1230

第1章波动1.1波1.2波的表示形式1.3正弦波1.4波阵面1.5反射和折射1.6色散1.7多普勒效应1.8驻波1.9复数表示方法1.1波

图1-1物体的相互作用(a)直接碰撞传递能量；

(b)通过波动传递能量

1.横波

将长绳的一端固定，另一端抖动，就有一个波向固定端运动，如图1-2(a)所示。图1-2(b)表示在波前进过程中的两个很靠近的波形，图上实线是前一位置的波形，虚线是后一位置的波形。比较这两个波形可知，如要从前一波形转变为后一波形，则绳上的一部分质点必然依次向上运动，另一部分质点必然依次向下运动。正是由于绳上各质点相继地做这种有规则的上下运动，才使波前进。在这种绳波中，质点运动的方向和波的传播方向垂直，

称为横波。

图1-2绳上的横波

2.纵波

将弹簧的一端固定，在另一端加力压缩，然后放开。由于压缩使一部分弹簧得到了能量，压力去掉后，被压的一部分弹簧向邻近的弹簧释放能量，又使其受到压缩。这种过程依次进行就得到如图1-3所示的弹簧圈之间距离变化的疏密波。在这种波中，弹簧的运动方向与波的传播方向平行，称为纵波。对这种波，弹簧是传播介质。外力引起的质点纵向运动，通过它以波的形式把能量传下去。

图1-3弹簧上的纵波

空气中的声波和这种弹簧上的纵波相似。人的声带或收音机中喇叭纸盆的运动相当于图1－3中对弹簧的压缩和放松。由此，造成空气密度变化的疏密波。图1-4是管中空气脉冲波的示意图。

横波和纵波是两种最基本的波动形式。实际上发生的波动过程，有的并不这样单纯。例如，地震波既包含横波，又包含纵波。

图1-4管中的气体纵波

1.2波的表示形式

为了把波动用适当的数学形式表示出来，应先确定波速。仍以绳波为例，如图1-5所示。有一脉冲波沿长绳向右传播。图上表示两个不同时刻波的位置。如果在传播过程中波的形状不变，就能够在波形上确定一个相对位置固定的点P。P点前进的速度就是波速。用v表示波速，则从图1-5可得(1-1)在此式中，距离的基本单位用m；时间的基本单位用s；波速的单位就是m/s。这是波形前进的速度，不是传播介质的质点运动速度，不可将两者混淆。波速的大小决定于传播物质的特性和状态。不论用什么方式产生何种形式的波，只要传播物质的特性和状态不变，

波速都是一样的。

图1-5确定波速

在温度为0℃、一个大气压的干空气中，声波的速度是331.45m/s。在0～20℃左右的范围内，大约温度每升高1℃，速度增加0.6m/s。在液体和固体中声速显著增大。例如：在海水中，当温度为17℃时，声速为1510～1550m/s在铁杆中，当温度为20℃时，声速为5170m/s。在真空中的电磁波，不论是无线电波或光波，它的波速都是3×108m/s。在普通物体中，波速要减小。例如在土壤中，无线电波的波速有可能减小到真空中波速的一半。但电磁波在气体中的减小极为微小，故在空气中计算时常用真空的波速。在x轴的原点0放一个记录仪A，在与原点相距x处再放一个记录仪B。设有一个脉冲波自左向右沿x轴的正方向传播，如图1-6(a)所示。当波经过A时记下了0点处质点运动随时间变化的曲线。然后，波继续传下去到达B处时，也记下了x点处质点运动随时间变化的曲线。只要在传播中波的形状不变，这两条曲线随时间变化的规律是完全相同的。换句话说，如果只以各记录仪自己的时间为自变量来表示质点运动的函数图形，则两个图形恒等。如果将两者用共同的时间坐标表示出来，就会得到如图1-6(b)所示的两条曲线。由于波从0点传到x点需要一段时间，因此记录仪B的记录要迟后一段时间才会重复记录仪A记下的变化。这段迟后时间等于x/v。这里，v表示波速，x是A至B的距离。如果用Y表示记录仪A的结果，则为Y=F(t)令y表示记录仪B的结果，则从图上的坐标关系可知它必然应该写成

(1-2)可见，只要把Y中的自变量t换成，Y就变成了y。

式(1-2)说明：如果在x=0处有一波源，产生了一个用F(t)表示的扰动，则当它传到x处时，就应该用来表示。换句话说， 表示在x=0点发出而沿x轴正方向以速度v传播的波。在这个表示式中，自变量被称为推迟时间。这说明t时刻在x点观测到的扰动是以前在x=0处的扰动。图1-6波的函数表示

问题

1.由于光速比声速快得多，可利用这个差别来粗略地测定声波。问：用什么方法?

2.船向海底发出声波，1.6s后得到回波。如海水中的声速为1520m/s。问：船所在地的海底有多深?

3.表示自x=0点发出沿x轴负方向传播的波。问：为什么?

1.3正

弦

波

1.谐振波

某个物理量随时间按正弦函数或余弦函数变化，就称为谐振动。由于以后在讲到波动时主要用余弦函数的形式，因此，

在这里我们也用余弦函数来表示谐振动，即

(1-3)图1-7谐振动

它的函数图形如图1-7所示。在此式中，函数y的最大值A称为振幅。函数的两个相邻重复数值所经历的时间称为周期，用T表示。它的基本单位为s。在图1-7中就是ωt从0变到2π所经过的时间。单位时间(1s)内的周期数称为频率，用f表示。它的基本单位为Hz。

显然，

周期和频率的关系为

在式(1-3)中，ω称为角频率。它的数值乘以时间就得角度。振动在一个周期内经历的角度为2π弧度。因此，ωT=2π。再把式(1-4)代入即得角频率与频率的关系为ω=2πf

(1-5)在谐振动中θ=ωt称为相位或相角。一般来说，两个同一频率的谐振动，不一定有相同的相位。如果以其中一个为准，另一个与之相对有一固定的相移，则这两个谐振动可以写为

(1-6)在此式中，如果￠<0，则表示y2超前于y1;如果￠>0，则表示y2滞后于y1；如果￠=0，则表示y1与y2同相。在正弦交流电路中讨论过的电流和电压都是谐振动的实际例证。

2.周期波如果使长绳的一端做有规则的周期振动，则将得到如图1-8所示的连续周期波。波动的最高点称为波峰，最低点称为波谷。

图上显示了振动在一个周期内波运动的情况。

图1-8周期波如在传播波形上选一固定点，如图1-8中的P点，则这一点在振动进行一个周期时将前进一段距离。这一段距离叫做一个波长，通常用λ表示。它的基本单位为m。在图中，所选的固定点恰好是波峰点，所以，波长也就是相邻两个波峰点的距离。既然，在一个周期的时间内波前进的距离为一个波长，那么，波长与周期之比必然等于波速。再考虑到式(1-4)就能得到下面的公式：

(1-7)这个公式适用于所有的周期波，并不限于绳上的横波。例如，已知在真空中的无线电波波速为v=3×108m/s，某一电台广播的频率为540kHz，则由式(1-7)可知广播的波长为又如，已知声速为343m/s，某声波的波长为1cm，则此声波的频率由式(1－7)算出为

它属于人耳听不见的超声波。通常可见光的波长范围约为0.4～0.76μm；可听见的声波波长范围约为0.17~17m。表1-1是无线电波的频率和波长。

表1-1无线电波的频率和波长

3.正弦波

设在波源处的振动为F(t)=Acosωt，则由式(1-2)可知，在距波源x处的振动为其中,α=ω/v。这是沿x轴正方向传播的正弦波。在此式中，A为波的振幅；ω是角频度，它与频率f的关系由式(1-5)决定；α称为相移常数，它的单位为rad/m，它和频率、波长、波速之间的关系为

4.相位滞后与相移常数

比较两个谐振动的表示式，例如比较交流电路中两条支路的电流，可以把它们分别写为

这里，电流i2总是滞后i1一个固定的相位角￠。另一方面，由式(1-8)可知，在波源处(x=0)和空间任一点x处的两个振动分别为(1-10)把这一结果和上面两个电流的表示式相对照，可以看出，当波沿x的正方向传播时，在空间任一点x的振动总是滞后于波源一个相位角αx。与波源相距越远的点，x越大，滞后的相位角也越大。如果在同一时间坐标中把上两式画出，则将得到如图1-9所示的两条曲线。它表明相对于波源的振动相位滞后角度由观察点的位置(即波经过的路程)来确定。从式(1-9)可知，如果x等于半个波长，则相位滞后为π，即180°。在正弦波传播中，这种由路程而引起的相移，在分析电磁波的辐射时是经常要用到的基本概念。图1-9传播波的相移

弄清了式(1-10)中αx的意义之后，α的意义也就清楚了。α表示x=1的相移角，即α代表传播一个单位长的相移，所以，称它为相移常数，或相位常数。它的大小与波长，亦即与传播介质有关。例如，前述广播电台的频率为540kHz，已算出其波长为560m，由式(1-9)算出其相移常数α=2π/560=0.01rad/m。如在距电台50km处收听广播，则接收点的振动相对于发射点的相位滞后大约为35.7×2πrad或1.21×104°。

5.相速

在正弦波中，由图1-5和式(1-1)确定的波速有进一步的意义。在确定波速时波形上的固定点是使余弦函数式(1-10)为定值的点。为此，ωt-αx必须为常数。这就是说，波形上某一固定点前进的速度，也是相位ωt-αx为常数的点前进的速度。因为设x1是该点在t1时的位置，x2是该点在t2时的位置，则由ωt-αx=常数，必然有

问题

1.我国第一颗人造地球卫星用20.009MHz的频率播送东方红乐曲，问此无线电波的波长是多少米?

2.当温度为20℃时，声波在三种介质中的速度如下：空气343

m/s

水1540m/s

铁杆5170m/s

设声振动的频率为1000Hz，求在此三种情况下它的波长。

3.已知黄光的波长范围为0.57～0.6μm，试计算其相应的频率范围。

4.一频率为500Hz的正弦波，其相速为350m/s，问相位差为π/3、π/2、π和2π两点之间的距离各为多大?

5.已知在一正弦波传播方向上某一点A的振动表示式为

式中各量的单位为cm、s等。设波的传播相速为200cm/s。问与A点相距为500cm处的B点上的振动表示式yB应如何写出?B点和A点相对相移为多大?1.4波

阵

面

波阵面是从表示波动的函数关系中得到的几何曲面。它有助于人们想像波在传播中的空间结构和解释传播的物理过程。设一位于坐标原点的波源做谐振动，振动的方式是发出以原点为中心沿着半径方向传播的波，则仿照式(1-8)可以把这种波的数学形式写成

A(r)cos(ωt-αr)在此式中，r表示波阵面到原点的距离；A(r)表示在这样传播的波中，其振幅也可能是r的函数。但波阵面的形状由cos(ωt-αr)来判定。从cos(ωt-αr)的函数式，按照波阵面的意义，可知这个波的波阵面在某个一定的时刻，即t一定时，是r=常数的曲面。显然，它是球面，如图1-10(a)所示。因此，上式表示球面波。另一方面，在式(1-8)中，当cos(ωt-αx)表示沿x轴正方向传播的波时，在直角坐标系中，它的波阵面在某一定的时刻是x=常数的面，这是垂直于x轴的，也就是垂直于传播方向的平面，如图1-10(b)所示。所以，Acos(ωt-αx)表示平面波。在此波中，振幅A是常数。图1-10球面波与平面波的波阵面(a)球面波；

(b)

平面波

除以波阵面表示波动的空间形象外，还可以用射线来表示波的传播。我们不在此讨论射线的严密理论，而只把射线理解为自波源画出的垂直于波阵面的空间几何曲线，它表示波的传播方向，如图1-11所示。利用波面和射线，可使波动过程形象化，使我们容易认识波在空间传播的物理过程。因为，波在传播中只要不受阻碍，不受其他物质影响，它总是直线传播的。在这种情况下，射线是直线。如果在传播过程中受到阻碍或其他影响，则射线必然发生弯曲，相应地波面在空间的分布也会发生改变。

图1-11射线

图1-12球面波与平面波的波面和射线(a)球面波；

(b)

平面波

问题

1.“相速也是波阵面前进的速度。”这句话对吗?

2.声源如何发射球面声波?这种纵振动的球面声波其物理过程大致如何?

3.图1-13表示两种波的传播情况。试由相速的概念解释波面和射线为什么有这样的形象。

图1-13弯曲射线

1.5反

射

和

折

射

将长绳的一端固定，另一端抖动，就有一个脉冲波沿绳向固定端传播。这种情形如图1－2所示。当这个波到达固定端之后，如果它所携带的能量不被墙壁吸收或不被完全吸收，则必然有一个波从固定端朝反方向传播。这个反方向传播的波称为反射波，原方向传播的波称为入射波，

如图1-14所示。

这种绳波的反射是最简单的反射情形。

图1-14绳波的反射

一般情况下，波在传播中如碰到介质的性质发生突变，就会产生反射现象。图1-14的绳波中介质性质突变处是长绳一端的固定点。水面上的圆形波在传播介质突变面上的反射见图1-15。在山谷中大声喊叫听到的回声也是声波的反射现象。不论是绳波、水波还是其他的波反射时产生的反射波，都好像在突变面后的某处有一波源在发出反方向传播的波。

图1-15水面波的反射

在交界面上波的反射规律是：入射波传播方向与面法线之间的入射角θi和反射波传播方向与面法线之间的反射角θr相等；而且入射线、反射线和突变面的法线三者在同一平面内，这个平面称为入射面(如图1-16所示)，即θi=θr(1-11)图1-16反射

图1-17(a)表示一根通过原点O并以Ox为对称轴的抛物线。在此抛物线上任取一点P，通过它作切线BB′和法线NN′。又通过抛物线的焦点F作与y轴平行的线AA′。把P点与焦点F连接起来，再以P点作垂直于AA′的线段PM。显然，PM平行于Ox轴。由解析几何的原理可知抛物线有下列两个重要的特性：

(1)抛物线上任一点P与焦点之间的距离PF以及它与直线AA′的垂直距离PM两者之和为常数，即PF+PM=常数。在图1-17(a)中可以证明：PF+PM=2OF。这里OF是抛物线顶点O与焦点F之间的距离，称为焦距。

(2)在P点的法线NN′平分∠FPM。如果把这个抛物线围绕Ox轴旋转，会得到如图1-17(b)所示的旋转抛物面。这时，通过焦点F的直线AA′成为垂直于Ox轴的平面。图1-17抛物面

在这种情形下，上述两个特性仍然是成立的。根据上述特性，对于这样的抛物面，如在焦点F处放一个波源，则不论它在面上哪一点发生反射，依照反射定律θi=θr，反射后的射线都平行于抛物面的轴Ox。此外，在AA′平面上的波有相同的相位。这是因为从波源F出发经过任一点反射到达AA′平面时波经过的路程相同(即PF+PM=常数)。由此可见，经抛物面反射之后，从焦点处波源发出的球面波变成了平面波，它的波面平行于AA′平面，它的射线平行于抛物面的轴，这样就能够把原来扩散到各个方向的能量集中到一个方向传播出去。所以，增加抛物反射面就会使波源有定向反射的能力。定向照射的聚光灯或抛物反射面天线都是应用这个原理。反过来，如果有平面波平行于抛物面的轴入射，在经过反射之后，将变成聚集于焦点F处的球面波。这样一来，波的能量将集中于焦点。实际上，在交界面上除反射外，还有透入界面的一个方面，就是折射。由于两种介质的性质不同，透入的波前进的速度不一样，因此会引起透射波传播方向的改变。这种现象称为折射。在界面附近取一部分极小的波阵面，研究它的变化即可求得折射的规律。由于所取的波阵面很小，可以把它看作平面波。如图1-18所示，在投射到界面上的平面波中取两条平行射线之间的波阵面AB来看。设介质2中的波速v2小于介质1中的波速v1，则此波面进入介质2之后，A端的速度变慢，B端仍然是原来在介质1中的波速，比A端快。因此进入介质2之后波阵面AB自然会折转。当B点前进到C点时，A点前进到了D点。在介质2中的波阵面成为DC。相应的射线方向也改变了。从图1-18中的几何关系可知这里，θi是入射角，θt称为折射角。由于BC和AD是在同一段时间内波在不同介质中走过的距离，

因此应该有

将前两式相除，

再把这一结果代入，

则得到如下的折射定律：

(1-12)这一结果虽然是从v1>v2导出的，但在v1<v2的两种介质交界面上仍旧是一样的。从这一定律可知，当v1>v2时，折射方向偏离界面靠近法线，即θt<θi；当v1<v2时，折射方向靠近界面偏离法线，即θt>θi，如图1-19所示。在图1-19(a)中把射线方向倒过来，也就是图1-19(b)所示的情形。在折射中方向倒转之后，射线路径不变的现象称为射线方向的可逆性。图1-18折射定律的导出

图1-19两种折射情况(a)v1>v2;

(b)v1<v2

折射现象在日常生活中是常见的。例如，在水面看杯底的物体总觉得比实际距离近一些，这是因为杯底物体A的像经过折射才进入眼中，看起来物体在A′处的缘故，如图1-20所示。筷子在水中看起来像折断了一样，也是同样的道理。图1-20水的折射作用

在光学中，或者说在电磁波的情况下，常把真空中的相速v0和某一介质中的相速v之比定为这种介质的折射率，用n表示，即折射率为(1-13)按照这个规定，

式(1-12)可以写成

(1-14)如果介质1是真空，

介质2是折射率为n的物质，

则上式又可写为

(1-15)和反射定律一样，波的折射定律也不仅适用于界面是平面的情形。如果界面是曲面，我们可以在折射点作一个和曲面相切的平面，再相对这个平面应用折射定律(即式(1－12))，就能决定入射线和折射线的方向。依据折射定律选择一定的材料和结构，做成能够产生折射的曲面体，使波通过时射线方向改变或波阵面的弯曲程度改变，这样的曲面体称为透镜。不论是对声波、光波还是无线电波，都可制成满足某种需要的透镜。图1-21是凸面透镜的一种。它一面是平面，另一面是曲面，由相速小于空气中相速的介质材料做成。在光波的情况下，

所用的材料通常是玻璃。

图1-21凸面透镜

由折射定律可知，当光波从相速v1较小的介质进入相速v2较大的介质(即n1>n2)时，加大入射角θi有可能使折射角θt达到90°以至超过90°，如图1-22所示。这时，入射波完全反射而不透入介质2。这种现象称为全反射。使θt达到90°的θi角称为全反射的临界角。如用θi0表示，则由式(1-14)可知它由下式决定：如果介质2是空气，则n2≈1，

于是

图1-22全反射这里n是入射面介质(即介质1)的折射率。通常在玻璃杯内水面的背面能看到像镜子一样发亮的反射面就是全反射现象。这种现象又是近代集成光学和光缆通信所依据的基本原理之一。

上面我们讲述了波的反射和折射定律。实际上在一般情况下，反射和折射是同时存在的，如图1-23所示。也就是说，在交界面上，入射波分成了两部分。一部分反射回来，一部分通过折射透射过去。只是在不同的介质面上这两部分的比例不同罢了。就光波来说，当我们需要良好的反射镜时就采用反射强而透射弱的材料，例如通常用来制造镜面的水银；当我们需要良好的透镜时，就采用透射强而反射弱的材料，例如玻璃。

图1-23反射和折射

问题

1.一个平面反射镜至少要多长才能使一个人看见自己的全身?

2.图1-24所示是一凹面透镜。它由折射率n>1的材料做成。在焦点F处放一光源，则光通过此透镜后会更加扩散。试由折射原理来解释。

3.如要求图1-24所示的凹面透镜能把在焦点F处发出的球面电磁波变成定向传播的平面波，应该用具有何种性质的材料？

图1-24凹面透镜

1.6色

散

色散是波的相速随频率而变的现象。这个现象在光波的传播中可以看得见。如图1－25所示，将一束白光(例如日光)通过三棱镜，会发现光束进入棱镜之后要散开。把棱镜另一面射出的光束投射到屏上，可以看到它已不再是白光，而分成了从红色到紫色的各种颜色，如同雨过天晴时空中出现的彩虹颜色一样。

这就是光的色散。

为什么会有这种现象呢?因为白光是不同颜色的光合成的结果。不同的颜色相当于不同的波长。波长不同的光进入三棱镜的玻璃介质之后，有不同的相速，因而有不同的折射率n。根据光的折射定律(即式(1-15))可知，对同样的入射角θi，折射率n不同，必然使折射角θt不一样。在图1-25所示的实验中，红光相速最大，折射率最小，所以它的折射角小；紫光相速最小，折射率最大，所以它的折射角也最大。这样一来，当光从棱镜另一面出来的相对折射角差别也就更大。于是在屏上显出了颜色的差别。表1－2是几种不同颜色的光波在玻璃中的折射率数据。图1-25光的色散

表1-2几种不同颜色的光波在玻璃中的折射率数据

折射率随波长而变，也就是相速随频率而变。这种现象不仅光波有，水波和声波也有。以后我们会看到，当无线电波在半导电介质中，在波导管中以及在高空电离层中传播时，都有这种色散现象。使用无线电波传播信息时，由于所采用的信号包含许多频率，因此，让这种信号通过色散介质，就会因其中各频率的相速不一样而使合成波发生变形，结果产生信号失真。如图1-26所示，通过色散介质的路程越长，这种失真越严重。由于波在传播中波形发生了变化，因此在1.2节中用以确定波速的概念在此已不适用了。因此，在色散介质中传播的波，

不便于用相速来表示波的能量传播速度。

图1-26色散介质使波变形

1.7多

普

勒

效

应

1.波源静止，接收器运动如图1-27所示，设波源不动，接收器以速度u相对于波源运动。频率为f0的波源发出波长为λ的声波以速度v0在空气中传播。如果以接收器1s内收到的波峰数来表示实际收到的声波频率，则在接收器不动时，波在1s内走过v0那样长的距离，它收到的频率必然也是f0。亦即在1s内通过的波长数为f0=v0/λ。如果接收器以速度u向波源运动，则每秒会多收到u/λ个波峰，因此，实际收到的频率将为或

或写为

(1-17)(1-16)其中Δf=f-f0，称为多普勒频移。这是波源不动，接收器运动时的结果。图1-27接收器运动

2.波源运动，接收器静止

这种情况如图1-28所示。这时，只要波离开了波源，则在空气中仍以v0的速度传播。波源不动时，1s内在距离v0上有f0个长度为λ的波长。如波源对观察者以速度u运动，每秒仍然发出了这样多的波，但f0个波长应挤在更短的距离v0-u中，这必然使波长变为λ′=(v0-u)/f0。这时，接收器收到的频率决定于波长λ′，即(1-18)图1-28波源运动

例如一辆汽车在远处正对观察者开过来，喇叭的频率为2000Hz，车速为120km/h(即33.3m/s)，声速为333m/s，则由式(1-18)可算出这是波源运动，

接收器不动时的结果。

如果运动的速度u比波传播的速度v0小得多，即u<<v0

，则式(1-18)将转化为式(1-16)和式(1-17)。如果考虑到一般情形，即两者的相对运动速度的方向不在连接两者的直线上时，应该用相对速度在连接线上的分量ucosθ去代替公式中的u，如图1-29所示。这时，式(1-17)可写为(1-19)这是在u<<v0的条件下计算多普勒效应的一般公式。不论是波源运动，还是接收器运动，在此条件下，都用这个公式计算。

图1-29相对运动方向不同

在满足条件u<<v0时，式(1-16)、式(1-17)和式(1-19)也可用来计算电磁波的多普勒效应。利用多普勒效应，可使用无线电波测定活动目标相对于波源的运动速度。设运动目标正对波源运动的速度为u，波源发出的电波频率为f0，在空气中的速度为v0(通常取真空的光速，即3×108m/s)，则当发射机发出电波遇到目标后再反射回来时，总频率的改变值为式(1-17)所表示的改变值的两倍，即(1-20)

如能测量Δf，则由已知v0和f0，立即可以由此式算出目标运动的速度。这是观测活动目标的多普勒雷达所依据的基本原理。例如，这种雷达发射频率为100MHz，测出飞机飞行时对雷达电波多普勒频移为67Hz，则可由式(1-20)算出飞机的速度为问题

1.用微波测公路上的车速，已知工作波长为0.12m，测得多普勒频移为Δf=400Hz，求车速为多少?

2.有一声源发出的声音频率为400Hz。有人以10m/s的速度接近声源。求当声速为v0=343m/s时的多普勒频移Δf为多少?

3.观测者在铁路旁，有火车以120km/h的速度驶来，汽笛的频率为2000Hz，声速为333m/s，如图1-30所示。求θ=45°，θ=90°和θ=135°时，观测者听到的笛声频率。图1-30题3图

1.8驻

波

把有弹性的细绳一端固定，在另一端设法激起振动，就会观察到如图1-31所示的波形。这种波形在绳上有固定的不动点，也有固定的振幅最大点。观察不到波形的运动，只有质点在其原来位置的振动。

这种波称为驻波。

图1-31驻波

以前我们讨论的是可用式(1-8)来表示的波。它们是沿x正方向传播的波。这种向单一方向传播的波，称为行波。行波与驻波的区别可由图1-32看出，图1-32

(a)是两个不同时刻的驻波波形。它在x轴上有一些不动点。其它的一些点在确定的位置上振动，各点振幅随时不同。图1-32(b)是行波。由于波形随时间前移，因此在x轴上没有固定的零点，也没有固定的振幅最大点。图1-32驻波与行波(a)驻波；

(b)行波

实际上遇到的驻波常常是由行波经过反射而形成的。如图1-31所示的细绳驻波就是行波在固定端连续反射达到稳态的结果。在前面，我们讲过一个反射波可认为是在反射点后面有一波源发出了反方向的波。因此，可以把驻波认为是反向传播的两个行波逐点相加的结果。在正弦波中，

设沿x正方向传播的波为

y1=Acos(ωt-αx)反方向传播的波与之具有相同的频率和振幅，则为

y2=Acos(ωt+αx)两者之和为y=y1+y2,即

y=A［cos(ωt-αx)+cos(ωt+αx)］

利用三角公式，上式可化为

y=2Acosαxcosωt

(1-21)

这是驻波。把它和式(1-3)比较可见，它不过是一种振动。这种振动的振幅又是沿x长度依余弦函数cosαx来分布的。在各个不同时刻的上述驻波波形如图1-33所示。在振动中始终不动的那些点称为波节点。沿x轴分布振幅最大的点称为波腹点。图1-33驻波的变动情况

前已说过，实际中遇到的驻波常由反射产生。如果反射是全反射，则反射波的振幅与入射波一样。两者叠加就会形成式(1-21)所表示的驻波。如果反射波比入射波的振幅小，则将形成不完全的驻波，如图1-34所示。图上的曲线表示各振动点的最大幅度。所谓不完全驻波是指在其中一部分为行波，

一部分为驻波。

这个驻波的波节点不是零点。

图1-34不完全驻波

问题

1.推导出Asin(ωt-αx)和Asin(ωt+αx)两波叠加的驻波表示式。

2.上题中一为入射波，一为反射波，如反射点在x=0处，问：

(1)在什么情况下，该点为波节点?

(2)在什么情况下，该点为波腹点?

(3)举驻波沿直线分布和在平面上分布的例子。1.9复数表示方法

利用指数函数和三角函数的关系，能够把稳定状态的正弦波表示式改写为复数形式。这样做可使计算大为简化。已知虚指数函数和三角函数的关系由欧拉公式来确定，

即

ejθ=cosθ+jsinθ

在此式中，j表示虚数。

因此，余弦函数和正弦函数可写为

(1-22)在此式中，j表示虚数。

因此，余弦函数和正弦函数可写为

(1-23)这里Re是“实数部分”；Im是“虚数部分”的简写记号。根据这一点，行波表示式

y=Acos(ωt-αx)可写成

y=A［Reej(ωt-αx)

］在实际计算时，常略去ejωt因子。因为，既然函数式中随时间变化的项总是决定于ejωt，所以，完全可以在最初把它舍去，只在最后的结果中乘以ejωt

，再取实部或虚部即可。默记住这一点，对cos(ωt-αx)的计算可改写为e-jαx的计算。这时上述行波表示式应写为y=Ae-jαx，这里y是复函数。由上面表示方法，设沿x轴正方向传播的行波表示为y1=Ae-jαx，沿x轴负方向传播的行波表示为y2=Aejαx。两者叠加即为y=y1+y2=A(e-jαx+ejαx)由欧拉公式(1-22)可知e-jαx+ejαx=2cosαx，于是得到再乘以ejωt取实数部分即得y=2Acosαxcosωt

它与式(1-21)完全相同。在本书中我们讨论的主要是单一频率的稳态正弦波，所以，将广泛应用这种方法。

由于采用了虚指数函数代替三角函数进行计算，

根据

因此，对时间的导数可代之以jω去乘，对时间的积分可代之以jω去除。例如，已知y=Acos(ωt-αx)，现在要计算dy/dt。这时首先把原来的函数改为用复指数表示，然后以jω去乘y=Ae-jαx，再乘以ejωt取其实部，即为所求的dy/dt=-Aωsin

(ωt-αx)。这个结果与直接对三角函数求偏导数完全相同。问题

1.若以e-jωt表示时间变化因子，会有什么不同?

2.用复数表示法计算Asin(ωt-αx)和Asin(ωt+αx)两波叠加之和。第2章传输线2.1传输线的基本概念

2.2均匀传输线的行波和特性阻抗2.3无损耗传输线的一般性质

2.4反射系数和行波系数

2.5阻抗计算圆图

2.6传输线的匹配

2.7有损耗传输线2.8传输功率和效率

2.1传输线的基本概念

在无线电设备的高频部件之间以及高频部分与天线之间的连接线，在其长度与工作波长差不多或比工作波长更长时，电流和电压将以波动形式沿线传播。这时，沿线各处的电流电压大小和正负都不相同，而不像普通交流电路那样全部电路中的电流和电压在各处都是同时变化的。具有这种性质的用来传送电磁能量的导体系统通称为传输线。用来连接高频输出或输入部分与天线之间的传输线又常称为馈线。实际上，在有线通信中，使用的长途通信线上，也呈现出了电流电压的波动性质。

图2-1传输线的等效参数(a)集中参数；

(b)分布参数

是否考虑分布参数决定于线的长度。这个长度是相对于波长而言的。在低频，即使线很长，例如1km，但对频率为50Hz，波长为6000km的交流电来说，它却很短，可以不必计较线本身的分布电感和电容。因为，在这样长的波中，即使在10km的长度上也察觉不到电流和电压的差异。如果导线只有1m长，但对3000MHz的波来说，相当于10个波长，在此线上各处电流与电压的大小和正负都不相同，有10个周期性的变化。这时，必须计及分布参数的作用。因为，1m长的线对3GHz来说，已是很长的线了。所以，常常又把传输线称为长线。

现在，我们以直线电压的传播为例，来解释有限速度的波动过程。如图2-2所示，设想有一个直流电压接通于传输线，这个电压不可能立刻布于双线之间而需要经过一段时间。在电源刚接通时，先经过一段时间对第一个电容充电，达到电压U0。这时第二个电容尚未充电，于是第一个电容必然通过电感放电给第二个电容。由于电感有反抗电流变化的作用，故放电过程又需要经过一段时间。在第一个电容放电时，其电压降低，低于电源电压U0

，于是电源又对第一个电容充电。而当第二个电容充电到一定电压时又通过电感放电给第三个电容。这样一步一步下去，一方面，前一个电容不断地通过电感放电给下一个电容；另一方面，电源不断补充电荷维持一定的电压。这就形成了在电路上的直流电压波。并且，正是由于电感对电流变化的反抗作用和电容对电压变化的反抗作用，这种充电、放电过程在线上以有限的速度传播，

而不是瞬时传递的。

图2-2电压波的传播

2.2均匀传输线的行波和特性阻抗

实际工作中使用的传输线如图2-3所示，其中各部分的电感、电容等是不一样的。以带有绝缘支架的双导线和同轴线为例，可以看到，在有支架处和无支架处，至少漏电的电导和线间的电容是不一样的。因此，这些参数不是沿导线均匀分布的。为了使这类问题的数量分析简化，我们采用理想的情况，即认为不论在线路的哪一处，它在单位长度上的电感、电容、电阻和电导都是相等的。

这样的传输线叫做均匀传输线。

图2-3常用的传输线

电路的各种参数，在整个线路上不能把它们集中起来，但在Δz长度的小范围之内，可以把它们集中起来。在这样的一段线路上可以用已知电路规律来处理，这种理想化的情况及其等效的参数如图2-4所示。图2-4(b)是不考虑导线本身的电阻和线间的漏电导，只考虑电场和磁场时的情况，

图2-4(c)是最一般的情况。

图2-4均匀传输线的等效参数(a)双导线；

(b)

无损耗等效；(c)

有损耗等效

设想传输线无损耗并且是无限长，电压和电流波将沿导线向一个方向传播。这时电路上只有一个方向的行波。从电源来看，不断有能量送出去而没有返回，就相当于有一电阻性负载吸收了全部电磁能量而无返回。既然是电阻性负载就表明在此单一方向的行波中电压和电流是同相的。对于一段有限长的传输线，如果我们能够找到一个适当数值的电阻性负载阻抗，把它接在终端，其效果相当于把传输线转变成为无限长线，线上只有行波，则这个阻抗值称为传输线的特性阻抗(又称波阻抗)。它的具体数值是由导线的形状尺寸和分布状况来决定的，与传输线的长短无关。在无损耗的情况下，它与频率无关，而且是实数。下面我们来导出它的表示式。

令L和C分别表示传输线上单位长度的电感量和电容量，设Δt代表电压和电流波在线上经过Δz长度所需要的时间。如以v代表波速，则Δz=vΔt。在Δz这一段内的电感量是L

Δz，电容量是CΔz。参考图2-5，令ΔI表示A点流入的与C点流入的电流之差；ΔU表示AB间电压和CD间电压之差。根据电磁感应定律，电压的增加值应与Δz段内电流变化引起的感应电动势数值相等，即电流的增加值与注入Δz段内的电荷增加值相等，

即

图2-5求行波的电流电压关系

为简单起见，我们认为在Δt时间内，向右传播的波中其电压和电流的零点由A点移至C点，如图2-5下部电流电压曲线所示。这样一来，上两式中的ΔU和ΔI就分别等于U和I，再考虑到v=Δz/Δt，则上两式可写为

(2-1)从这两式出发，

经过简单的代数运算，

可以得到以下几个重要结果：

特性阻抗为

(2-2)单位是Ω(欧姆)。

波速(相速)为

(2-3)单位是m/s(米/秒)。在正弦波的情况下，由第1章1.3节式(1-9)可得相移常数为

(2-4)单位是rad/s(弧度/秒)。当传输线是理想导体且线间的介质是空气时，它的介电常数和导磁率与真空的很相近。这时，式(2-3)所表示的相速为一固定的值，即真空中的光速v=3×108m/s。有了这些参数之后，在波源是简谐振动的条件下，传输线上电流和电压的行波关系式分别为

(2-5)这种行波状态表示在图2-6中，图上同时也简单地表明了电场和磁场的分布。电流和电压行波沿导线从电源至终端以速度v运动。但用电压表沿导线在任一点测量，所得的结果都为一定值。

这是由于电压表所测得的是平均值(或有效值)的缘故。

图2-6电压和电流行波

对给定的传输线，计算电流所产生的磁场能求出单位长电感L；计算电荷所产生的电场能够求出单位长电容C，再利用式(2-2)就能算出其特性阻抗。常用的有关公式列于表2-1中。

表2-1常用的有关公式

2.3无损耗传输线的一般性质

实际的传输线不可能获得理想的完全行波状态。它总是存在着一个入射波和一个反射波。只是在不同条件下，两者所占的成分不相同。因此，特性阻抗不能反映这种一般情况下的传输线性质，而必须找出代表传输线一般特性的阻抗。我们称它为传输线阻抗。现在计算均匀无损耗线的阻抗。在计算中通常以负载端为坐标原点，向波源端为坐标正方向。这样一来，如果用z表示从终端向电源端的距离，则入射波应表示为ejαz；反射波应表示为e-jαz。在一般情况下，线上任一点处的电压和电流都是入射波和反射波之和，即两个相反方向的行波之和：

再根据上节所讲的知识，对无损耗传输线相应的电流可表示为

其中，A，B分别为两个电压波的振幅，在此还是一对未定常数。电流反射波前面的负号是依据一般的规定，即与正向电流相比，反向电流应为负值。对电压反射波不需反号，因为由图2-7可知，对所设的电流正值方向来说，正向电压与反向电压的正方向都是使a点为正，b点为负。A，B两个常数的值，可以由给定负载端的电压、电流来定，也可由给定电源端的电压、电流来定。现在我们以给定负载端的电压UL和电流IL来定它们，即要求图2-7阻抗计算

把这个条件代入上两式可得

由此解出

把此结果代入前式，并令

(2-6)则得

(2-7)或者，考虑到欧拉公式

以及式(2-6)，

经过演算，能够把式(2-7)化为

(2-8)其中，UL和IL是终端负载的电压和电流。在一般情况下，它们是复数。把上两式相除，并且考虑α=2π/λ以及在终端ZL=UL/IL，就可算出无损耗传输线接入任意负载ZL后，在线上任一段的阻抗，即（2-9）可见，这个阻抗不仅与负载、频率(波长)、在线上所取的距离和线本身的特性阻抗有关，而且还是一个沿线的长度作周期变化的函数。它能够反映无损耗线终端接任意负载阻抗ZL的基本性能。

1.终端接入匹配负载

这时，ZL=Zc，由式(2-9)可知，Z=Zc。反射波为零，线上只有一个单方向传输的行波，即入射波。此外，阻抗与线的长度无关，也就是说，只要接入Zc，不论接到传输线的哪一段上，

传输线阻抗都等于线的特性阻抗。

2.终端短路这时，ZL=0，UL=0，由式(2-9)可知

Z=jZctanαz

(2-10)由式(2-8)可知

(2-11)依照我们以前的约定，将式(2-11)乘以ejωt再取实部即得瞬时变化的函数关系：(2-12)当终端短路，电磁能传输到终端时，能量不被吸收，将要送回电源，于是有反射波存在。同时，由于全部能量都不吸收，故反射波与入射波的振幅相同。这样，入射波与反射波叠加起来在全部线路上形成电流、电压的驻波。驻波的腹波与波节是固定的。但对于终端短路的线来说，在短路端是电流驻波的波腹和电压驻波的波节，这一点可由图2－8说明。当波传到终端时，正电荷和负电荷都分别通过短路线返回来，因此，在终端的两头总是同时带有异号电荷，与电荷相联系的电压(与电压成正比)相应地抵消到最小，于是终端形成电压波节。至于电流，则由于异号电荷的反向流动等于同号电荷的同方向流动，故终端电流总是相加成为最大，形成波腹。然后，从终端算起，电流、电压的波节与波腹依次交替出现，

如图2-9所示。

电压驻波，在终端是波节，以后从终端到电源，每隔半个波长的地点都是波节。至于电流驻波，它的第一个波节在距终端λ/4处。此外，从式(2-10)可知，这时传输线相当于一个电抗，并且从终端算起周期性地表现为串联谐振、感抗、并联谐振、容抗。以后再重复出现，如图2-9所示。图上也画出了相对于终端的沿线电流和电压的相位变化曲线。由此可见，每经历半个波长，电流和电压都有180°的相对相移。图2-8短路端的电荷运动

图2-9短路线的相位、

电流、

电压和阻抗的沿线分布

3.终端开路

这时，ZL=∞,IL=0，

由式(2-9)可知

Z=-jZccotαz

由式(2-8)可知

(2-14)经过同样的数学变换，得到电压、

电流的瞬时值分别为

(2-15)当终端开路，电磁能传输到终端时，能量不被吸收，将要送回电源，于是有反射波存在，同时，由于全部能量都不吸收，故反射波与入射波的振幅相同，这样，入射波与反射波叠加起来，形成电流、电压的驻波。对于终端开路的长线来说，在开路端是电压驻波的波腹和电流驻波的波节。这一点可由图2-10来说明。

当波传到终端时，由于开路，正电荷与负电荷都要沿原来的导线返回来，因此，在终端两头总是带有较多的同号电荷。与电荷相联系的电压相应地增加到最大，于是终端形成电压波腹。至于电流，则由于同号电荷的反向流动而抵消至最小，形成电流波节。电压驻波在终端是波腹，以后从终端起算，每隔λ/4，电压与电流的波腹和波节交替出现一次。此外，从式(2－13)可知，传输线的输入阻抗是一个电抗。从终端起依次为并联谐振、容抗、串联谐振和感抗。然后，再重复出现，如图2-11所示。图上也画出了相对于终端的沿线电压和电流的相位变化曲线。

由此可见，每经历半个波长，电流和电压都有180°的相对相移。

无损耗短路线和开路线的这些性能在实用上有很大的意义。由于长度小于λ/4的短路线相当于电感，小于λ/4的开路线相当于电容，因此能够把它们配合起来构成谐振电路。当无损耗短路线和开路线用作谐振线时，可以获得很高的Q值。Q值的计算公式可依一般的表示式导出。利用式(2-2)、

式(2-3)和式(2-4)即得

(2-16)其中，Zc是特性阻抗(Ω)；R是单位长的电阻(Ω/m)；λ是工作波长。例如，有一同轴线Zc=60Ω,R=0.1Ω/m，在工作于λ=60cm时可算出这样高的Q值在普通集中参数的谐振回路中是无法做到的。

图2-10开路端的电荷运动

图2-11开路线相位、电流、电压和阻抗的沿线分布

除用作谐振线外，无损耗短路线和开路线还可用作滤波器。图2-12是用λ/4短路线并联接入和λ/4开路线串联接入，以滤除偶次谐波的例子。当无损耗线的长度为λ/4，且终端短路时，阻抗相当于并联谐振为无限大。但对于二次谐波，却是λ/2长的传输线，它的阻抗相当于串联谐振为零。如果终端开路，则基波为λ/4长的传输线，对其二次谐波阻抗为无限大，相当于并联谐振。这样如把λ/4短路线并联接入，会使偶次谐波被短路；把λ/4开路线串联接入，会使偶次谐波断路，由此达到滤除偶次谐波的作用。并联接入的λ/4线还可用作金属绝缘支架，因为，对基频它的阻抗无限大。当然，用在这种场合，

必须要求工作频带很窄才行。

图2-12滤波器

4.终端接电抗或电阻

对无损耗传输线，终端接入纯电感或纯电容时，仍然没有功率消耗，在线上有完全的电流和电压驻波。不同的是波节点和波腹点不在终端。但是，电压或电流本身的波节(或波腹)之间相距λ/2以及电压与电流的波节之间相距λ/4的规律仍然是成立的。在这种情形下，可以用一段电抗与之相等的开路线或短路线来代替电感或电容。代替之后，可用开路线或短路线的方法判定波腹点和波节点。最后按实际的线长截去，则得实际的节点或腹点位置，

如图2-13所示。

图2-13电抗负载

当终端接入不等于特性阻抗的纯电阻时，由于电阻负载将吸收功率，反射波的振幅减小，它和入射波叠加之后，不再是完全的驻波，即驻波的最小点不为零。但最小点和最大点的位置仍与开路线和短路线的相同。当ZL=RL>Zc时，终端是电压的波腹，电流的波节。当ZL=RL<Zc时，终端是电流的波腹，电压的波节。

这两种情况如图2-14所示。

图2-14电阻负载

5.阻抗变换特性

从上面的一些特殊情况可以看出，传输线的阻抗，每经过λ/2又会重复。从式(2－9)可知这个性质在一般情况下对无损耗传输线来说也是对的。因为,以z±(λ/2)代入式(2-9)后，由于其结果不会改变传输线阻抗Z的性质。所以，长度为λ/2的一段无损耗传输线相当于一个1∶1的阻抗变换器。

图2-15倒相器

利用这一点以及每经历λ/2电流和电压有180°相移的性质，在给天线阵的各个天线元馈电时有很重要的意义。图2-15是这种馈电方式的示意图。这种线路的连接称为倒相器。在图中由λ/2短路线的性质可知，A、B点都是地电位，至天线1和天线2的馈线，阻抗不变，但电流(或电压)有180°的相移。从式(2-9)还可以看出，

如果线长为l=λ/4，则传输线的阻抗为

因此，如果把Z认为是一种传输线的特性阻抗，令它为Z1,把ZL认为是另一种传输线的特性阻抗，令它为Z2，则可以把一段λ/4长的传输线的特性阻抗Zc调整到使(2-17)即

这就能够使特性阻抗不同的两段传输线匹配。例如，设Z2=75Ω,Z1=300Ω，那么可算出Zc=150Ω。可见，选特性阻抗为150Ω的一段长度为λ/4的传输线串入，它能把75Ω的特性阻抗变换为300Ω，以达到匹配，如图2-16所示。图2-16λ/4阻抗变换器

在无损耗均匀传输线的终端接上一般性负载时，沿线的电流、电压以及阻抗的变化是单接电阻和电抗的组合。这时，终端既不是波腹点也不是波节点；在电流和电压的波节处最小值也不是零。但是各自的波腹或波节之间相距λ/2，以及电压和电流的波节(波腹)每隔λ/4交替出现则是一样的。至于阻抗的变化仍然是在电压的波腹与电流的波节处出现并联谐振，在谐振点电流与电压同相，传输线阻抗为纯电阻。

2.4反射系数和行波系数

电压反射系数已知在传输线上任一处电流、

电压的复数式分别为

(2-18)(2-19)其中“+”号表示入射波，“-”号表示反射波。如果我们规定电压的反射波与入射波之比为电压反射系数，并用ρ表示，则

在这种情况下，

式(2-18)可写为

(2-20)在终端负载处z=0，电压反射系数即为

(2-21)在一般情况下它是复数。|ρ0|是终端反射系数的大小，它的值不可能超过1。利用这个结果，线上任一处的反射系数就可写成

(2-22)

2.电压的最大值和最小值

终端接入一般性负载的无损耗均匀传输线，其最大值(波腹)和最小值(波节)有确定的大小和位置，如图2-17所示。利用反射系数的关系能够简便地把它表示出来。由式(2－20)和式(2-22)可以写出

其中，第一个因子U+0ejαz的振幅是一定的，即|U+0|。在第二个因子中，如果￠0-2αz=0，则为最大值，即1+|ρ0|。这时电压的最大振幅为

(2-23)(2-22)在第二个因子中，如果￠0-2αz=±π，则为最小值，即1-|ρ0|。这时电压的最小振幅为从负载端起算的第一电压最大值的位置由￠0-2αz=0决定。若令zmax1表示，则(2-25)由于最小值与最大值的距离相差λ/4，因此，若令zmin1表示电压的第一最小值位置，则

(2-26)图2-17计算波腹点和波节点

3.行波系数

从式(2-23)和式(2-24)可以规定传输线的行波系数和驻波系数的计算公式，即行波系数

(2-27)驻波系数(也称驻波比)(2-28)这两个参量是互为倒数的，即KS=1。行波系数的大小表示进入负载而不反射的行波成分大小，它的范围是0≤K≤1。驻波系数表示不为负载吸收的反射成分大小，它的范围是1≤S≤∞。有的人倾向于使用行波系数，有的人倾向于使用驻波系数。由上两式可以算出(2-29)

4.反射系数与阻抗的关系

利用式(2-19)，

经过与导出式(2-20)相类似的过程(详细计算从略)，

可以导出

(2-30)将此式与式(2-20)相除，再考虑到式(2-6)，就得到线上任一处的阻抗与反射系数的关系：

(2-31)或

(2-32)在终端，Z=ZL,ρ=ρ0，于是上两式可写为

(2-33)可见，如果能够求得终端反射系数ρ0，则在已知传输线特性阻抗的情况下能算出负载阻抗。或者，反过来已知负载阻抗ZL时可求ρ0。终端的ρ0和ZL求得之后，通过式(2-32)，线上任一处的ρ就能算出。而由式(2-32)或式(2-31)，又可算出任一处的传输线阻抗。下面举一例来说明上面所引入的一些关系式的应用。

设用已知传输线测天线的阻抗，如图2-18所示。已测得Umax=250V,Umin=50V，第一个电压最小值位置距负载端为0.15m。已知工作波长λ=1m，传输线的特性阻抗Zc=125Ω。由此算出行波系数为由￠0-2αz=π知，，由此算出￠0=288°，也就是￠0=72°，于是ρ0=0.66e-j72°，再由式(2－33)算出负载(天线)的阻抗为

图2-18测天线阻抗

5.电压波腹与波节处的阻抗

由式(2-31)得

由式(2-23)、

式(2-27)和式(2-28)可知，

在电压的波腹处

(2-34)它是实数，

表明在电压的波腹处电压和电流同相。

同理，从式(2-24)可算出在电压的波节处

(2-35)它也是实数，

即在电压的波节处电压与电流同相。

2.5阻抗计算圆图

在工程计算中，常常采用列线图，以求迅速地得到计算的结果。在传输线问题中，用得最多的是阻抗计算图。由于这个计算图中所有的列线都在一个圆内，因此又简称圆图。下面我们先介绍圆图的构成，然后通过实例说明它的使用方法。圆图所依据的基本原理是式(2-31)，

即

它表明在传输线特性阻抗给定之后，传输线上任一点的阻抗和在该点的反射系数有一一对应的关系。在实际构成圆图时，

不是直接使用上式而是改写为

(2-36)称为相对阻抗，又叫归一化阻抗。它是把实际的阻抗值用传输线的特性阻抗Zc去除的结果。它是一个无量纲的量。用相对阻抗画出的圆图，对任何传输线都适用。

ρ本身是一个复数，它可以表示为极坐标的形式，也可以表示为直角坐标的形式。当ρ表示为极坐标形式时，利用式(2-22)可以写为

这里θ=￠0-2αz。从这个关系参照图2-19可知由终端向电源方向移动时，θ减小，相当于顺时针转动，由电源向负载移动时，θ增大，相当于逆时针转动。其次，沿传输线移动λ/2时，反射系数经历一周，这是因为当z=λ/2时，2αz=2×(2π/λ)(λ/2)=2π的缘故。最后，由于反射系数的大小不会超过1，因此它的极坐标表示只能限制在半径为1的圆周之内。把以上三点画出来就得到如图2-20所示的圆图，图上各个同心圆代表反射系数的大小。沿传输线移动的距离以波长为单位来表示。它的起点为实轴左边的端点(即￠0=π处)。在这个图内，任一点与圆心的连线之长度就是与该点相应的反射系数的大小，这根线与实轴的夹角就是相应的幅角。

图2-19反射系数的极坐标表示

图2-20反射系数圆图

在这里应该指出：在实际的圆图计算中前式的￠0决定于负载阻抗，而对每一个负载阻抗的值，都能在圆图上找到一个相应的点。这一点从极坐标关系来看也就代表了ρ0=|ρ0|ej￠0

。它是计算的起点。另一方面，当把ρ表示为直角坐标的形式时可令ρ=u+jv

而又能写成。由此利用式(2-36)能够算出以u、v为坐标变量，以、为参数的两组圆，它们的方程如下：相对电阻圆相对电抗圆

图2-21电阻和电抗圆图

图2-22阻抗圆图

【例2.1】如图2-23所示，已知负载阻抗为ZL=25+j25,传输线的特性阻抗为Zc=50Ω。求自终端算起z=0.2λ处的传输线阻抗值。为了计算，先求相对阻抗，即

在圆图上查出与此相当的一点为P1，然后以P1点和中心点的距离为半径，顺时针转0.2λ到达P2点。从图上查出P2点的相对阻抗为Z2=2-j1.04。再乘以50Ω，即得Z2=100-j52Ω。这个过程都表示在图2-23中。

图2-23例2.1图

在此计算中，实际上已经用了反射系数的概念，因为P1与中心点的距离画出之后就得到了与之相应的反射系数。顺时针转到P2点也就是求在P2点的反射系数。和P2点的反射系数相应的相对阻抗值可直接从图上读出。可见，反射系数在此起了媒介作用。

图2-24例2.2图

【例2.2】如图2-24所示，已知传输线的特性阻抗Zc=200Ω，线长l=0.6λ，电源端的输入阻抗Z=70-j147Ω，求负载阻抗。

首先求出相对阻抗Z=(70-j147)/200=0.35+j0.735。根据这个数值在圆图上找到P点。线上0.6λ相当于向负载端转0.6λ的长度。经过逆时针旋转之后转至0.294λ处。因为0.5λ相当于转一周，0.6λ相当于转一周之后再转0.1λ。这样，达到了Q点。从圆图上查出相对阻抗为1.8-j2。由此算出负载阻抗ZL=(1.8-j2)×200=360-j400Ω。阻抗圆图不仅可用于计算阻抗，也能用于计算导纳。因为导纳与阻抗的关系为Y=1/Z,所以从式(2-36)可知相对导纳就是其中，Yc=1/Zc是特性阻抗的倒数，称为特性导纳。然而，这个导纳与反射系数的关系和式(2-36)表明的阻抗与反射系数的关系是不同的，所以不能把阻抗图用于计算导纳。但若令ρ′=-ρ，则在此式中，G表示相对电导，B表示相对电纳。它在数学形式上和式(2－36)完全一致。因此，阻抗圆图也是计算导纳的圆图。只需注意从-ρ变为ρ′，相当于表示反射系数的点在阻抗圆图上转过±π(即±180°)的位置。所以，只要把原来表示阻抗的点与中心点连接再延长到与中心点对称的位置，则该位置的点就是相应的导纳值，计算导纳的圆图如图2-25所示。在此图中，上半圆面上各点表示电容性导纳(B>0),下半圆面上各点表示电感性导纳(B<0)。当然，在实际计算中，并不需要重新画圆图，而只要记住上述求倒数的方法即可。图2-25导纳圆图

【例2.3】如图2-26所示，已知传输线的特性阻抗为Zc=100Ω，线长0.12λ，终端负载阻抗为ZL=50+j150，求传输线电源输入端的输入导纳。

图2-26例2.3图

先算相对阻抗为ZL=0.5+j1.5，在圆图上查出a点。由a转180°至b点，b点的值就是和ZL相对应的相对导纳值YL。然后，向电源(顺时针)转0.12λ到0.532λ处，亦即0.032λ处，相应的点为c点。从c点读出的值就是所求的相对导纳，即Y=0.15+j0.21,此题中Yc=1/Zc=0.01Ω，所以，实际输入导纳为Y=(0.15+j0.21)×0.01=0.0015+j0.0021Ω。此题还可用另一方法计算，即先不求和ZL相应的导纳YL，而先依照例2.1的方法计算输入阻抗Z，然后把Z的点旋转180°得到导纳值Y。其结果与上述方法的结果完全相同。还必须着重指出的是，能够从相对(归一化)阻抗(或导纳)圆图上直接读出行波系数K和驻波系数S的数值。因为，圆图中横轴上的各点X=0,Z=R，传输线的阻抗如果落在横轴上就表明线上的电流和电压同相。因此，这些点也就是线上的谐振点，在电压极大点与电流极小点表示并联谐振，这时Z=Zmax=Rmax，在电压极小点与电流极大点表示串联谐振，这时Z=Zmin=Ｒmin。在实轴右边Z=Ｒ>1,它是Zmax=Ｒmax的点；在实轴左边Z=R<1,它是Zmin=Ｒmin的点，前者是电压波腹点，后者是电压波节点。而由式(2-34)和式(2-35)可知Zmax=ZcS，

Zmin=ZcK

所以

即横轴左方的各个R值与行波系数K一样，横轴右方的各个R值与驻波系数S一样，

如图2-27所示。

图2-27行波系数与驻波系数

【例2.4】用传输线测负载阻抗，如图2-28所示。已知特性阻抗为Zc=125Ω，离负载最近的电压波节点为0.3m，工作波长λ=1.6m，行波系数K=0.2,求负载阻抗ZL。

Umin1所在之点与负载的距离，按波长计算为0.3/1.6=0.187λ。行波系数K=0.2，也就是说Umin1处的相对阻抗为Ｒmin=0.2。它在实轴左方a点，由此，以oa为半径向负载转0.187λ，达到b点。b点所在的值就是负载阻抗的归一化值，即ZL=1.09-

j1.85再乘以特性阻抗Zc=125Ω，就得实际的负载阻抗值ZL=136.25-j231.25Ω。图2-28例2.4图

【例2.5】如图2-29所示，已知传输线终端接入的负载阻抗为40+j25Ω，传输线的特性阻抗Zc=50Ω,求驻波系数。

相对负载阻抗Zc=(40+j25)/50=0.8+j0.5。它在圆图上为A点。以OA为半径作圆交实轴右方于B点处的Rmax=1.79=S，