2025-2026学年下学期西南名校联考333名校联盟高三数学试卷（含解析）

数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.在复平面内,复数z对应的点的坐标是2,−3,则A.2B.2C.3D.32.小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项.如果选择跑步的概率为25A.15B.C.353.已知sinα=33,则A.−33C.−634.抛物线y=3A.0,3C.0,15.设a为实数，则“a>3”是“aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数y=2A.2,πC.2,2π7.已知函数fx=x−ax,若函数fx在点1,fA.-1B.1C.33D.8.将正方形ABCD沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,当二面角D−AC−B为2π3时，则异面直线ABA.14B.C.63D.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知平面向量a=1A.a+bC.4a−10.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,A.cosA=C.cosB=11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0A.FBB.双曲线C的离心率为39C.y=x2与双曲线D.△ABF的内心在x三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.设集合A={x∣cosx≤13.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1=114.已知函数fx=3lnx2+2ax四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知数列an的前n项和S(1)求an(2)若数列1anan+1的前n项和为16.(本小题满分15分)2026年3月,小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队,无人驾驶技术逐步商业化落地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行n次紧急制动测试,反应时间(单位:秒)分别为:x1,x2,⋯,xn与(1)求甲、乙两组数据的方差sx2(2)若规定:当x−y>ksx2+sy2(i)现取k=1.5(ii)若要使“甲算法显著优于乙”成立,求k的最大整数值.17.(本小题满分15分)已知椭圆C:x23m+y22=1m>1的左、右顶点分别为A、B,P是C(1)求m的值；(2)若直线AP与直线x=36交于点Q,且BP⋅BQ=−18.(本小题满分17分)如图,已知四棱台ABCD−A1B1C1D1,底面ABCD是边长为4的正方形,AA(1)证明:A1E//平面(2)求平面A1AE与平面D(3)若球O与三棱锥D1−A1AE的所有面都相切，球O的半径为r19.(本小题满分17分)已知函数fx=exsin(1)x∈(i)当a=1时,讨论f(ii)若存在x∈0,π2,使得fx(2)当a=0时,证明:对任意的数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)题号12345678答案BCACADAD1.∵在复平面内,复数z对应的点的坐标是2,−3,∴z=2.小明选择骑行的概率为1−253.sinπ+α4.抛物线y=3x2的标准方程为:x2=13y,故抛物线y5.由a2>3,可得a>3或a<−3,“a>3或a<−3”不能推出“a>3”,而“a>3”能推出“a6.∵函数y=2cos212x+π7.由题意得,函数fx=x−ax,定义域为x∈[0,+∞),f1=1−a×1=1−a,f′x=8.取AC的中点O,连接BO,DO,∵DO⊥AC,BO⊥AC,DO∩BO=O,∴∠DOB为二面角D−AC−B的平面角,∠DOB=2π3,取BC,BD的中点M、N,连接OM,ON,MN,则二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ABDACDBC9.平面向量a=1,2,b=−2,3,所以a+b=1−210.因为sinB=sin2A,所以sinB=2sinAcosA,由正弦定理可得b=2acosA,又b=22a,所以cosA11.设双曲线的右焦点为F′，因为2FB=7FA，所以FB=72F′B.又FB−F′B=2a，解得FB=145a,F′B=45a,因为∠AFB=2π3,所以∠FBF′=π3.由余弦定理得2c2=145a2+45a2−2⋅三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)题号121314答案x4−12.由已知可得A=xA13.由题意可得,a1=1,设公比为q,则14.由题意,f′x=6lnxx+2a,fx=3lnx2+2ax有2个极值等价于f′x有2个变号零点.令gx=6lnxx+2a,g′x=61−lnxx2,当0<x<e时,四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)(1)解:由数列an的前n项和Sna5解得k=2当n=1时,a当n≥2时,a经验证,a1=3满足上式,故(2)证明:1anT(13分)16.(本小题满分15分)解:(1)由题意可得:x=(2分)sx2=i=(5分)(2)(i)由(1)可得x−y当k=1.5,n=1001>0.3,可认为甲算法显著优于乙.(ii)由(i)可得sx(13分)故k的最大整数值为4.(15分)17.(本小题满分15分)解:(1)A−3m,0,则k1(4分)解得m=2(2)设直线AP:x=ty−6联立x26+y22=1解得y1因为BP⋅BQ=−4,即12t(11分)S(15分)18.(本小题满分17分)(1)证明:如图，连接CD1，E是BC所以A1D1//EC，且A1所以AE//CAEC平面CDD1C1,所以A1E//平面(2)解:因为底面ABCD是正方形，且AA1⊥平面ABCD，所以AB，AD，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z(5分)则E4∴A设平面A1AE的一个法向量为m=x,y,z,则m⋅AA(7分)设平面D1AE的一个法向量为则n⋅AD1=0n⋅AE=0,设平面A1AE与平面D1AE则cosθ故平面平面AAE与平面D1AE夹角的正弦值为4(3)解:设球O的半径为r，三棱锥D1−A1AE的体积为AD1=13,所以sin∠D(15分)由等体积法可得,1r(17分)19.(本小题满分17分)(1)(i)解:由题得，fx=则f′xx∈0,π2(3分)所以fx在0,π2(ii)解:存在x∈0令Fx(7分)由(i)可得sinx+cosx=2令Gx所以Gx在