吉林省长春市2026届高三下学期二模数学试卷（含解析）

吉林省长春市2026届高三质量监测（二）数学试卷一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．13 B．15 C．17 D．194．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（

）A．1 B．3 C．7 D．95．的展开式中的系数为160，则（

）A．-2 B． C． D．26．某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（

）

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.67．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知实数，若且，则（

）A．9 B．21 C．27 D．30二、多选题9．已知复数，则下列结论正确的有（

）A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限C． D．10．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（

）A．B．为函数图象的一条对称轴C．将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象D．函数的单调递减区间为三、单选题11．景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（

）A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为四、填空题12．已知函数，若，则的取值范围是___________．13．在中，，，，的面积为______________.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是___________．五、解答题15．为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）．性别身高合计低于170cm不低于170cm男82432女12618合计203050(1)依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87916．在数列中，．(1)求证：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和．17．如图，三棱柱的所有棱长均为2，且．(1)证明：；(2)若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值．18．已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．(1)求的方程；(2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．19．在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征．定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数．(1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）．(2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由．(3)设．求证：无最大值．参考答案及解析1．B解析：因为，所以2．A解析：因为，所以，所以，解得.3．C解析：设等差数列的公差为，则，解得，故.故选：C.4．D解析：由题意知，，所以.在双曲线中，有，所以，又，所以.由双曲线定义知，，即，所以或.又，即，所以.综上，.5．D解析：二项式展开式的通项公式为，令，则可得展开式中的系数为，所以，解得.6．C解析：由题意知，，整理得，解得.所以任取一个垫片为合格品的概率为：.7．B解析：设球的半径为，圆台上底面半径，下底面半径.因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高；球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长；由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：，代入已知量得，解得；代入球的表面积公式，得.8．D解析：设，则，由于，则，故由可得，即，解得，舍去，故，即得，又，则，即，结合，得，故，则.9．BD解析：，的虚部是，故A错误；在复平面内对应的点，在第二象限，故B正确；故C错误；，故D正确．10．AC解析：设函数的最小正周期为，由函数的第一个最低点为，可知；因为函数图象经过点，则，即，且，则；又因为函数在y轴右侧的第一个零点为，则，即，且，则，解得，所以，对于选项A：，故A正确；对于选项B：因为，不为最值，所以不为函数图象的一条对称轴，故B错误；对于选项C：将的图象向右平移个单位长度，得，为偶函数，故C正确；对于选项D：令，解得，所以函数的单调递减区间为，故D错误.11．BCD解析：设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件，则，，且，，可得，.对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件，其概率为，故A错误；对于选项B：因为，即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确；对于选项C：因为，所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确；对于选项D：因为，则，所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确.12．解析：已知函数，则，是奇函数，是增函数，是增函数，是增函数，因为，，即，是单调递增函数，，解得．所以的取值范围是.13．/解析：由正弦定理得，解得,因为，所以,所以.所以,所以的面积为.故答案为：.14．解析：椭圆的离心率为，由椭圆定义得，因为，所以，，圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，则由切线长定理得，，，由得，代入，得，又，即，因此有，整理得，因为，，所以，即，两边同时除以得，即，因为，所以，所以.15．(1)可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．(2)解析：（1），依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．（2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率16．(1)证明见解析(2)解析：（1）由题意，故，，结合可知为递增数列，可得故，即数列是公比为3的等比数列．（2）由（1）可得，即，采用分组求和方式．设为数列的前项和．为数列的前项和．则①②①-②可得：即．又．故．17．(1)证明见解析(2)解析：（1）取中点，连接，，又因为是等边三角形，所以，又因为，，所以是等边三角形，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1．即,解得，即，所以，又，所以以为原点．以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，设平面的法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，又设平面的法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，.即平面与平面所成角的余弦值为．18．(1)(2)解析：（1）抛物线的焦点，准线为，抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为．（2）由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得，则，，则，的中点在直线上，即，即，由弦长公式可知，点到直线的距离为，即的面积为，令，，则，则，令，则令可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此在处取得最大值，即的最大值为，即面积的最大值为．19．(1)在内的所有极值点皆为使得的点，波动量的增长率为0．(2)满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数，证明见解析(3)证明见解析解析：（1）由函数，则．在上，令，则和，当，当时，，则为极小值点，为极大值点，在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量