浙江金华十校2026届高三下学期4月模拟考试数学试题卷 附解析

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上，2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分(共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|0<x<2},B={-1,0,A.{0,1,2}B.{-1,0.1}c.{0.1}2.复数(1+i)(1+√3i)在复平面内对应的点所在的象限为()3.一组样本数据依次为-2,-1,0,2,4,5.关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是()A.极差为-7B.平均数小于0C.方差小于1D.中位数为1【解析】【详解】已知样本升序排列为：-2,-1,0.2,4,5.极差为：5-(-2)=7,故A错误；因这组数据有6个，故其中位数为中间两个数的平均值，即中位数为故D正确。4.如图，汽车内胎(不考虑物体的内部结构)可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是()【解析】【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球；B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体：5.某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过()(参考数据：Ig2≈0.301)【解析】两边同时除以N,得5'=10⁷.两边同时取常用对数，有：Ig5'=lg10⁷=g5=7.<BC.D【解析】7.抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,斜率为2的直线1与抛物线C相交于A,B两点，且A.√5B.√6c.√7D.2√2【解析】又|AF|=1,|BF作3,所以,所以y₂一y=2,又因为y=2x;+t,y₂=2x₂+t,所以y₂-x=2(x₂-x;),所以2(x₂-x;)=2,所以x₂-xj=1,f(x;)≤f(x),则称该函数为“阶梯形函数”.下列选项中，不是“阶梯形函数”的是()A.f(x)=Lx](不超过x的最大整数)B.C.f(x)=x+cosxD.f(x)=x³+sinx【解析】【详解】对于选项A,若f(x)=[x],对于选项C,若f(x)=x+cosx,由-1≤cosx≤1得x-1≤x+cosx≤x+1.则f'(x)=3x²+cosx,y=kx+b₁和y=kx+b₂,则对任意x需要b≤x³+sinr-kx≤h₂,二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.A.a₁=-6B.d=1C.S₂<S,【解析】【详解】已知等差数列{a}的公差为d,则a₃+as=2a+6d=0,S₂=a₁+a₂=2a+d=-5d=-10,解得d=2,10.在棱长为3的正方体ABCD-A,B₁C₁D₁中，点E在棱BB₁上且B₁E=2EB,点F在正方形A,B₁C₁D内运动(含边界),若EF//平面ACD₁,则()【解析】如图所示，因为正方体ABCD-A,B₁C₁D的棱长为3.可得D(0,0,0),A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D(0,0,3),A,(3,0,3),C₁(0,3,3),B₁(3,3,3),因为点E在棱BB₁上且B₁E=2EB,可得E(3,3,1),对于A,由向量AC=(-3,3,0),AD=(-3,0,3),取x=1,可得y=1,z=1,所以n=(1,1.1), 因为点F在平面A,B₁CD₁,设F(x,y,3),可得EF=(x-3,y-3,2)又因为EF//平面ACD₁.可得EF·n=(x-3)×1+(y-3)×1+2×1=0,对于B,由点D(0,0,0),点F(x,y,3)且x+y-4=0,可得|DF²=x²+y²+3²=x²+(4-x)²+9=2x²-8x+25,对于C,由DA=(3,0,3),点F(x,y,3)且x+y-4=0,若BF⊥DA,可得BF·DA=(x-3,1-x,3)·(3,0,3)=3x-9+9=0,解得x=0,当x=0时，可得y=4,此时点F(0,4,3),因为点F在正方形A,B₁C₁D内，即0≤y≤3,此时4>3,设球心O(x₀,%,Z),半径为R,其圆心为AC的中点,半径为则球心0必在过O且垂直于底面ABCD的直线上，所以,所以D正确。(A,μ∈R),则下列选项可能成立的是()(图1)(图2)A.2=-2B.Zμ=3C.2-2μ=-4【解析】【分析】根据题意求得lo.c=λ²+μ².从而得到λ²+μ²∈[0.4],对于ACD,将其代入有所以oc²=(20A+μOB²=z²+μ³,对于A,当λ=-2时，则μ=0,此时，所以当O,A.O₂,C四点共线或O₁,A.O₃,C四点共线时成立(O,C不重合),故A正确；对于B.因42λ²+μ²≥22μ,故22μ≤4,即2μ≤2,故B错误；对于C,当2-2μ=-4时，将λ=-4+2μ代入z²+μ²≤4得5μ²-16μ+12≤0,对于D,当2²+2μ²=5时，Z²=5-2μ²,代入z²+μ²≤4得μ²≥1,非选择题部分(共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，【答案】【解析】【答案】【解析】【答案】罪【解析】所以(a-c)²+(b-d)²的最小值故M的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函(1)求φ;(2)VABC中，若A,B,C构成等差数列，且,求cos2C.【答案】(1)【解析】【分析】(1)代入,根据正弦函数的图象确定4的值：(2)先求出角B,代入已知条件，由角A.C的关系得出cosC,利用二倍角公式求解.【小问1详解】又∵【小问2详解】则2B=A+C,结合A+QPD=DA·(1)证明：直线AB⊥平面PAC;(2)求直线DN和平面PAB所成角的正弦值。【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)利用线面垂直的性质来证明线面垂直.(2)建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面PAB的法向量，然后利用向量法求出直线DN和平面【小问1详解】【小问2详解】QAB⊥平面PAC,ABc平面ABC,∴平面ABC⊥则B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,2.2),D(0.1,1),则有取y=1,可得n=(0,1,-1),的右焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,AFl3.点P是椭圆(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点(-3,0)且斜率不为零的动直线1与椭圆C相交于两个不同的点T,S,过线段TS的中点Q作【解析】【小问I详解】解得a=2,c=1,所以b²=a²-c²=4-1=3.【小问2详解】设直线/的方程为x=my-3,点T(x₁,y),S(x₂,y₂).联立得(3m²+4)y²-18my+15=0,由△=324m²-60(3m²+4)>0解得18.已知函数f(x)=e⁴-x,((1)求函数f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)的单调性：(3)若存在实数a,使得f'(x)·g(x)≥bx²在x∈(0,+co)恒成立，求实数b的取值范围。【答案】(1)极小值为f(0)=1(2)答案见解析(3)(-○,)【解析】(3)分析可得[(b-1)x²-ax-1]e'+x²+ax+I≤0,令I(x)=[(b-1)x²-ax-1]eˣ+x²+cx+1,x∈[0,+c],分类讨论b-1的符号，结合恒(能)成立问题分析求解.【小问1详解】因为f(x)=e³-x的定义域为R,且f(x)=e-1,【小问2详解】因为g(x)的定义域为R,」令g(x)=0,解得x=1或x=1-a,当1-a<1,即a>0时，令g(x)>0,解得1-a<x<1:令g'(x)<0,解得x>1或x<1-a:当1-a>1,即a<0时，令g(x)>0,解得1<x<1-a;令g(x)<0【小问3详解】因为f(x)·g(x)≥bx²,,可得[(b-1)x²-ax-1]e⁶+x²+ax+1≤0.令h(x)=[(b-1)x²-ax-1]e+x²+cx+1,x∈[0,+o],若a≥0,方程(b-1)x²-ax-1=0满足△=a²+4(b-1)>0.取其正根为x₀,则h(x₀)=x²+ay,+I>0,记m(x)=-e⁴+1+x²(x≥0),则m'(x)=-e*+2x,令F(x)=m(x),x≥0,则F'(x则F(x)≤F(In2)=-2+21n2<0,即m(x)<0,19.某信息源仅发射信息A,B,C,且第n次发射的概率分别为α,b,C,首次发射概率由二项分布ABC射的信息bbbC当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A,B.C的概率分别趋近于定值a,b,c,则称该信息源存在发射稳定期.(1)写出a,b,c₁的值(用p表示).(3)当时，该信息源是否存在发射稳定期?若存在，求a,b,c的值：若不存在，请说明理由，【答案】(1)a₁=p²,b₁=2p(1-p),c₁=(1-p)²(2)证明见解析(3)存在，