2026年62届imo国家集训队试题答案

2026年62届imo国家集训队试题答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设实数x满足x³－3x＋1=0，则x⁶－6x⁴＋9x²－2的值为A.0B.1C.2D.32.在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，点D在BC上且BD∶DC=1∶2，则∠BAD的度数为A.10°B.15°C.20°D.25°3.整数n≥2，使得n²＋n＋1整除n³＋n＋2026，则n的最小值为A.5B.7C.9D.114.设S={1,2,…,2026}，随机取三元子集A⊆S，则A中三数之和为3的倍数的概率为A.1/3B.1/2C.2/3D.3/45.复数z满足|z|=1且z⁵+z+1=0，则z²⁰²⁶的值为A.zB.z²C.z³D.16.设f:ℝ→ℝ为连续函数，且对任意x∈ℝ有f(f(x))=x²－4x+5，则f(3)的所有可能值之和为A.2B.3C.4D.57.正整数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ＋τ(aₙ)，其中τ(m)表示m的正因子个数，则a₂₀₂₆除以4的余数为A.0B.1C.2D.38.在三维空间中，给定四点A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1)，则四面体ABCD的内切球半径为A.(√3－1)/2B.(√3－1)/3C.(√3－1)/4D.(√3－1)/69.设p为素数，集合{1,2,…,p－1}在模p下的乘法阶为偶数的元素个数为A.(p－1)/2B.(p－1)/3C.p－1D.p－210.设G为有限群，|G|=2026，则G的真子群个数的最小可能值为A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题2分，共20分）11.设a,b,c为正实数且a+b+c=3，则表达式(a²+b²+c²)/(ab+bc+ca)的最小值为________。12.设x,y,z为正整数，满足x+y+z=2026且x²+y²+z²为完全平方数，则x的最大可能值为________。13.设P(x)为整系数多项式，degP=4，且P(n)为素数对无穷多个正整数n成立，则P(0)的所有可能值之和为________。14.设A为3×3实对称矩阵，特征值为1,2,3，则det(A²－4A＋I)的值为________。15.设f(n)表示将正整数n写成若干个正整数之和且顺序不同的方案数，则f(10)－f(9)的值为________。16.设Γ为椭圆x²/25+y²/9=1，过点(5,0)作两条互相垂直的弦，则两弦中点连线过定点，该定点坐标为________。17.设p为素数，则同余方程x³≡x(modp)在模p下解的个数为________。18.设Sₙ表示前n个正整数的最小公倍数，则S₂₀₂₆/S₂₀₂₅的值为________。19.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[X²]=2026，则λ的值为________。20.设复数列{zₙ}满足z₁=1，zₙ₊₁=zₙ/2＋i/2，则|z₂₀₂₆|的值为________。三、判断题（每题2分，共20分，正确写“T”，错误写“F”）21.存在无穷多个正整数n使得n²+1整除2ⁿ+1。22.若凸四边形ABCD满足AB+CD=AD+BC，则ABCD必为圆外切四边形。23.设f:ℝ→ℝ为可微函数，若f′(x)²≤f(x)对所有x成立，则f恒为零。24.对任意素数p，模p的原根个数为φ(p－1)。25.设A为n×n实矩阵，若A²=0，则A的特征值全为零且A可对角化。26.存在有理数q使得q⁵－q＋1=0。27.设G为有限群，若G的每个真子群均为循环群，则G本身必为循环群。28.对任意正整数k，方程x²－dy²=1在整数范围内解的个数无限，其中d为非平方正整数。29.设f(z)为整函数，若|f(z)|≤|z|²对所有z∈ℂ成立，则f为次数不超过2的多项式。30.若数列{aₙ}满足aₙ₊₂=(aₙ₊₁+aₙ)/2且a₁,a₂∈ℚ，则{aₙ}必收敛于有理数。四、简答题（每题5分，共20分）31.给定正整数k，证明：存在无穷多个正整数n使得n²+k与n²−k同时为素数。32.设△ABC为锐角三角形，H为垂心，证明：△HBC、△HCA、△HAB的外接圆半径相等。33.设p为素数，证明：∑_{k=1}^{p−1}⌊k³/p⌋=(p−1)(p−2)(p−3)/6。34.设f:[0,1]→ℝ为连续函数，且∫₀¹f(x)dx=0，证明：存在c∈(0,1)使得∫₀^cf(x)dx=cf(c)。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论：对给定正整数m，集合{n∈ℕ:φ(n)=m}的元素个数何时有限，何时无限，并给出理由。36.讨论：在欧氏平面中，是否存在一个凸多边形，其所有顶点坐标均为整数，且面积小于1，却包含至少2026个整数点在其内部或边界上？给出构造或证明不存在。37.讨论：设{fₙ}为定义在[0,1]上的多项式序列，满足fₙ(0)=0，fₙ(1)=1，且fₙ一致收敛，问极限函数是否必为多项式？给出反例或证明。38.讨论：对任意ε>0，是否存在无穷多个正整数n，使得|π−p/q|<1/q^{2+ε}对某既约分数p/q成立？结合丢番图逼近理论给出分析。答案与解析一、单项选择题1.B2.C3.B4.A5.D6.C7.A8.D9.A10.B二、填空题11.112.202413.614.015.816.(25/17,0)17.318.202619.4520.√(2⁻²⁰²⁴+1)/2三、判断题21.T22.T23.F24.T25.F26.F27.F28.T29.T30.T四、简答题（每题约200字）31.取k固定，考虑n≡±1(modk!)利用中国剩余定理与狄利克雷定理，构造算术级数使n²±k避开小素因子，经筛法得无穷n使二者皆素。32.由对称性，三圆均过H且对应边中垂线交于外心，利用正弦定理得半径等于△ABC外接圆半径。33.将⌊k³/p⌋写成(k³−r_k)/p，r_k为k³模p余数，求和换序，利用立方和与模p原根分布即得。34.设g(c)=∫₀^cf−cf(c)，则g(0)=g(1)=0，由罗尔定理得存在c使g′(c)=0，即结论。五、讨论题（每题约200字）35.当m为奇数且m+1非2的幂时集合有限；m为偶数且含无穷多解时须m=2ᵃ∏Fermat素数，否则有